湖南省湘西自治州2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷

这是一份湖南省湘西自治州2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷
答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡上“贴条形码区”．
作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．涂写在本试卷上无效．
作答非选择题时，使用 0.5 毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．书写在本试卷上无效．
保持答题卡的整洁．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（为虚数单位）的虚部为（）
B. 5C. D.
若集合 ， ，则 （）
B. C. D.
如图，向量 等于（）
B. C. D.
函数的奇偶性（）
仅取决于 的值B. 与 的值无关而与的值有关
C. 与和 的值有关而与 A 的值无关D. 与 A、、 的值都有关
抛掷一颗质地均匀的骰子，设事件 “点数不大于 4”， “点数大于 3 且小于 6”， “点数是
3 的倍数”， “点数为奇数”， “点数为偶数”，则（）
A. A，B 为互斥事件B. B，C 为对立事件
C. C，D 为互斥事件D. D，E 为对立事件
一个封闭的正三棱柱容器，内装水若干，水面高度为 3（如图（1），底面处于水平状态）．将容器放倒（如图（2），一个侧面处于水平状态），若此时水面与各棱的交点 E，F，， 分别为所在棱的中点，则该正三棱柱容器的高为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 4.5
如图，四棱锥 中， 面，四边形为正方形， ， 与平面
所成角的大小为 ，且，则四棱锥 的外接球表面积为（）
26πB. 28π
C. 34πD. 14π
在锐角 中，角 、 、 的对边分别为、 、， ，则的最小值为（）
A.B. C. D.
多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
下列选项中，正确的是（）
若两个相等的非零向量的起点相同，侧它们的终点可能不同
若向量 ，则
或
，则
若向量 ，满足
若非零向量 与 共线，则 ， ， 三点共线
有一组样本数据， ，…，，其平均数、中位数、方差、极差分别记为，，， ，由这组数据得到新样本数据， ，…， ，其中 （ ，2，…，n 且 ），其平均数、中位数、方差、极差分别记为 ，，， ，则（ ）
B. C. D.
如图 1，已知矩形中， ， ，E 为 中点，现将 沿 翻折后得到如图
2 的四棱锥 ，点 F 是线段 上（不含端点）的动点，则下列说法正确的是（）
当 F 为线段 中点时， 平面
不存在点 F，使 平面
当 F 为线段 中点时，过点 A，E，F 的截面交 于点 M，则
填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
；
欧拉公式 （e 为自然对数的底数，i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．若复
数 ，且复数 z 满足 ，则的最大值为；
已知非零向量 ，的夹角为，.对于任意的 ， 恒成立，则
， 的最小值为.
解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
已知，
若，求 与 夹角的余弦值；
若 ，求的值.
（身体质量指数）是目前国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准，其计算公式
是：．中国成人的 数值参考标准为： 为偏瘦；
为正常；为偏胖； 为肥胖．某公司为了解公司员工的身体肥胖情况，研究人员从公司员工体检数据中，采用分层随机抽样的方法抽取了 60 名男员工，40 名女员工的身高体重数据，通过计算男女员工的 值，整理得到如下的频率分布直方图．
求频率分布直方图中 a 的值，并估计该公司员工为肥胖的百分比；
估计该公司员工的 值的众数，中位数；
已知样本中 60 名男员工 值的平均数为 ，根据频率分布直方图，估计样本中 40 名女员工 值的平均数．
如图，在四棱锥 中，底面是边长为 2 的菱形， ， 是正三角形，
E 为线段的中点，F 为线段 的中点．
求证： 平面 ；
求证： 平面 ；
若平面 平面，求异面直线 与 所成角的余弦值．
A、B 两队进行围棋比赛，A 队有甲、乙、丙三位棋手，B 队只有丁一位棋手．比赛规则如下：A 队的三位棋手分别与丁对弈一盘，若一队棋手连胜两盘（负一盘）或连胜三盘，则该队获胜，若三盘比赛中没有
一队获得连胜，则两队打平．已知甲、乙、丙分别与丁比赛且获胜的概率为、 、，各盘比赛相互独
立，且各盘比赛没有平局.丁连胜两盘、负一盘的概率为 ，连胜三盘的概率为．
若 A 队按甲、乙、丙的出场顺序与 B 队进行比赛，求；
若 A 队按甲、乙、丙的出场顺序与 B 队进行比赛，求 A、B 两队打平的概率；
通过计算判断 A 队怎样安排出场顺序对丁最有利．
若
已知
，
布洛卡点是三角形内部的一特殊的点，由法国数学家亨利·布洛卡于 19 世纪提出，它通过等角条件联系三角形边与顶点，其角度和位置揭示了三角形的对称性与比例特性，是经典几何学中兼具美学与实用价值的点.其定义如下：设是 内一点，若 ，则称点 为 的布洛卡点，角 为 的布洛卡角.如图，在 中，记它的三个内角分别为 A，B，C，其对边分别为 的面积为，点为 的布洛卡点，其布洛卡角为 ，请完成以下各题：
，求；
①若，求 的值；
②若 ，求 S.
2026 年上学期高一年级期末试卷数学
本试卷共 6 页，19 个小题．满分 150 分，考试用时 120 分钟．
注意事项：
答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡上“贴条形码区”．
作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．涂写在本试卷上无效．
作答非选择题时，使用 0.5 毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．书写在本试卷上无效．
保持答题卡的整洁．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（为虚数单位）的虚部为（）
B. 5C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先“分母实数化”，再整理化简，最后判断虚部即可.
【详解】因为,所以虚部是：5，故选：B.
若集合 ， ，则 （）
B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由补集运算即可得解.
【详解】∵，，∴.
故选：C.
如图，向量等于（）
B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】由图知， .
函数的奇偶性（）
仅取决于 的值B. 与 的值无关而与的值有关
C. 与和 的值有关而与 A 的值无关D. 与 A、、 的值都有关
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数的性质及诱导公式即可判断.
【详解】由于 ， 不影响函数的奇偶性，
仅影响函数值的大小，仅影响函数的周期，
当 时， ，此时函数为偶函数；当时，，此时函数为
奇函数.
【点睛】
抛掷一颗质地均匀的骰子，设事件 “点数不大于 4”， “点数大于 3 且小于 6”， “点数是
3 的倍数”， “点数为奇数”， “点数为偶数”，则（）
A. A，B 为互斥事件B. B，C 为对立事件
C. C，D 为互斥事件D. D，E 为对立事件
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意写出样本空间和各事件的样本点，再根据互斥和对立的定义，判断各选项正误.
【详解】抛掷一颗质地均匀的骰子，向上的点数为基本事件，则样本空间 ．
．
因为，所以 A 与 B 不互斥，A 错误．
因为，所以 B 与 C 互斥，但不对立，B 错误．因为 ，所以 C 与 D 不互斥，C 错误．
因为，所以 D 与 E 对立，D 正确．
故选：D.
一个封闭的正三棱柱容器，内装水若干，水面高度为 3（如图（1），底面处于水平状态）．将容器放倒（如图（2），一个侧面处于水平状态），若此时水面与各棱的交点 E，F，， 分别为所在棱的中点，则该正三棱柱容器的高为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 4.5
【答案】A
【解析】
【详解】设正三棱柱的底面棱长为，高为 ，
则
，
，
则水的体积为，得 ，
故该正三棱柱容器的高为
如图，四棱锥 中， 面，四边形为正方形， ， 与平面 所成角的大小为 ，且，则四棱锥 的外接球表面积为（）
26πB. 28π
C. 34πD. 14π
【答案】C
【解析】
【分析】依题意可将四棱锥 补成长方体 ，则四棱锥 的外接球也是
长方体 的外接球，由可求出 的长，进而可求 ，即为外接球的直径，从而可得外接球的表面积.
【详解】如图，因为 面，四边形为正方形，所以可将四棱锥 补成长方体 ，
则四棱锥 的外接球也是长方体 的外接球.
由
面
，所以 就是 与平面所成的角 ，
则，所以，
设四棱锥 的外接球的半径为 ，
因为长方体 的对角线 的长即为其外接球的直径，
所以，所以，
所以四棱锥 的外接球的表面积为 .
故选：C
在锐角 中，角 、 、 的对边分别为、 、， ，则的最小值为（）
B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用余弦定理、正弦定理结合三角恒等变换化简得出 ，利用正弦函数的单
调性化简得出 ，代入结合诱导公式以及基本不等式求解即可.
【详解】由 及余弦定理可得 ，整理可得 ，由正弦定理可得
，
因为、，所以， 因为，故，
因为正弦函数 在上为增函数，所以 ，故 ，
所以
，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故的最小值为.
多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
下列选项中，正确的是（）
若两个相等的非零向量的起点相同，侧它们的终点可能不同
若向量 ，则
或
，则
若向量 ，满足
若非零向量 与 共线，则 ， ， 三点共线
【答案】BD
【解析】
【分析】根据相等向量的定义即可判断选项 A；若向量 ，则根据向量的运算法则可得
，即可判断选项 B；由向量的定义即可判断选项 C；根据共线向量的定义即可判断选项 D.
【详解】由相等向量定义可得：若两个相等的非零向量的起点相同，其终点一定相同，故选项 A 错误；
若向量，则，所以，故选项 B 正确；
由向量的定义可得向量 ，满足时，向量 ，可能共线也可能不共线，故选项 C 错误；若非零向量 与 共线，则 ，， 三点共线，故选项 D 正确.
故选：BD.
有一组样本数据， ，…，，其平均数、中位数、方差、极差分别记为，，， ，由这组数据得到新样本数据， ，…， ，其中 （ ，2，…，n 且 ），其平均数、中位数、方差、极差分别记为 ，，， ，则（ ）
B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于 A，根据中位数的定义讨论即可判断；对于 B，由方差的性质即可判断；对于 C，由极差的定义判断即可；对于 D，由方差、平均数的定义验算即可.
【详解】对于 A，设， ，…， 已经从小到大排列好了，则， ，…， 是从小到大排列的或从大到小排列的，
若 是偶数，则，
而无论如何最中间两个数总是，
，
若 是奇数，则 ，
而无论如何最中间的数总是 ，所以，所以 ，
时，
，
对于 B，由方差的性质可得， ，故 B 正确；对于 C，当
当 时，，故 C 错误；
对于 D，，
所以 ，故 D 正确.
故选：ABD.
如图 1，已知矩形中， ， ，E 为 中点，现将 沿 翻折后得到如图
2 的四棱锥 ，点 F 是线段 上（不含端点）的动点，则下列说法正确的是（）
当 F 为线段 中点时， 平面
不存在点 F，使 平面
当 F 为线段 中点时，过点 A，E，F 的截面交 于点 M，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于 A，只需证明平面 平面 ，再结合面面平行的性质即可判断；对于 BC，利用反正法说明错误即可；对于 D，首先得 E，C 分别为 的中点，进一步根据几何形状判断即可.
【详解】对于 A，取 中点 N，连接， ，
因为 F 为的中点，所以 ，因为 平面， 平面 ，所以平面 ，
在矩形中， ， ，故四边形为平行四边形， 所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
平面
，
又
，
平面 ，
所以平面 平面 ，所以 平面 ，故 A 正确；
平面
，
对于 B，假设存在某个位置，使 ，取 中点 O，连接 ， ，显然 ，而， ，
，
平面
∴ 平面 ，∴ ，则 ，
但， ，不可能相等，所以不可能有 ，所以 B 选项错误；
对于 C，假设存在点 F，使得 平面成立，因为 平面，所以 ，
又因为
平面 ，所以 平面 ，
，
，
且
又因为 平面 ，那么，
，
，
又因为，则直角边大于斜边，矛盾，所以 C 选项正确；对于 D，由题意得， 平面
由 平面 ，得 平面 ，
延长 ， 交于点 H，连接 ，则平面 平面 ，
所以
，故
，
由 ， ，得 E，C 分别为 的中点，若 F 为的中点，则 ，
所以，即 ，故 D 正确.
故选：ACD.
填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
；
【答案】##
【解析】
【详解】.
欧拉公式 （e 为自然对数的底数，i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．若复数 ，且复数 z 满足 ，则的最大值为；
【答案】##
【解析】
【详解】因为，则，
因为 ，所以，等号成立时当且仅当复数所对应的向量同向，故的最大值为.
已知非零向量 ，的夹角为，.对于任意的 ， 恒成立，则
， 的最小值为.
【答案】①. ②.
【解析】
【分析】将不等式两边平方得，进而 对于任意的 恒成立，利用 即可求解答题空 1；再结合图形，利用几何意义及对称性即可求解答题空 2.
【详解】由两边平方可得，即 ，
∴对于任意的 恒成立，
∴
，
，即
.
∴
∵
，∴
，∴.
，
，
如图所示，设， ，
，
，
则
∴.
作点 关于 的对称点，连接 ，如图所示，则 ，
∴当，， 三点共线时， 取得最小值.
，
，
，
此时， 在 中，由余弦定理可得
，故.
∴ 的最小值为.
故答案为：；.
解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
已知，
若，求 与 夹角的余弦值；
若 ，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出坐标，由，求得 ，根据向量夹角公式求解；
（2）由两向量平行的坐标关系求得，又 ，结合诱导公式和二倍角余弦公式求解.
【小问 1 详解】
由题：，
所以，解得，
所以，
所以.
【小问 2 详解】
，解得，
，
故
.
（身体质量指数）是目前国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准，其计算公式是：．中国成人的数值参考标准为： 为偏瘦；
为正常；为偏胖； 为肥胖．某公司为了解公司员工的身体肥胖
情况，研究人员从公司员工体检数据中，采用分层随机抽样的方法抽取了 60 名男员工，40 名女员工的身高体重数据，通过计算男女员工的 值，整理得到如下的频率分布直方图．
求频率分布直方图中 a 的值，并估计该公司员工为肥胖的百分比；
估计该公司员工的 值的众数，中位数；
，
已知样本中 60 名男员工 值的平均数为 ，根据频率分布直方图，估计样本中 40 名女员工 值的平均数．
【答案】（1）
（2）众数为，中位数为
（3）
【解析】
【分析】（1）利用频率之和为 1 可计算的值，再结合频率分布直方图即可得肥胖的百分比；
利用频率分布直方图即可估计众数，中位数；
先计算整体的平均数，然后由分层抽样平均数的公式即可得解．
【小问 1 详解】
由题， ，解得： ，
由频率分布直方图可得，该公司员工为肥胖的百分比为 ；
【小问 2 详解】
，
，
由频率分布直方图可得，众数为，因为
故中位数在 ，设为，则；
【小问 3 详解】
设样本平均数为 ，
则由频率分布直方图可得；
，
又
，
即，解得：．
如图，在四棱锥 中，底面是边长为 2 的菱形， ， 是正三角形，
E 为线段的中点，F 为线段 的中点．
求证： 平面 ；
求证： 平面 ；
若平面 平面，求异面直线 与 所成角的余弦值．
【答案】（1）证明：连接，交于点 ，连接，
因底面是边长为 2 的菱形，则点 是 的中点，又因 F 为线段 的中点，则有 ，
平面 ， 平面 ，可得 平面 .
（2）证明：因 是正三角形，E 为线段的中点，则有 ，又 ， ，即 为正三角形，且 ，
因 平面，则 平面，又因 ，故得 平面.
（3）
【解析】
【分析】（1）连接 ，交 于点 ，连接 ，证明 ，由线线平行证明线面平行即可；
利用等腰三角形的三线合一可证 ， ，由线线垂直即可证得线面垂直；
取 的中点，连接 ，得到 即 与 所成角或其补角，利用余弦定理求得 ，通过证明 平面得到 ，求出，在 中，结合 ，
，利用余弦定理即可求得答案.
【小问 1 详解】略
【小问 2 详解】略
【小问 3 详解】
如图，取 的中点，连接 ，则 ，且 ，所成角或其补角.
与
即
故
因，由余弦定理， ，
又因平面 平面，平面 平面 ， ， 平面 ，故 平面，又 平面，则 ，又,故
，
，则
，
由（2）已得 平面 ，因 平面 ，故
又，则在 中，由余弦定理，，
即异面直线 与 所成角的余弦值为.
A、B 两队进行围棋比赛，A 队有甲、乙、丙三位棋手，B 队只有丁一位棋手．比赛规则如下：A 队的三位棋手分别与丁对弈一盘，若一队棋手连胜两盘（负一盘）或连胜三盘，则该队获胜，若三盘比赛中没有一队获得连胜，则两队打平．已知甲、乙、丙分别与丁比赛且获胜的概率为 、 、 ，各盘比赛相互独
立，且各盘比赛没有平局.丁连胜两盘、负一盘的概率为 ，连胜三盘的概率为．
若 A 队按甲、乙、丙的出场顺序与 B 队进行比赛，求；
若 A 队按甲、乙、丙的出场顺序与 B 队进行比赛，求 A、B 两队打平的概率；
通过计算判断 A 队怎样安排出场顺序对丁最有利．
【答案】（1）
（2）
（3）A 队按乙、丙、甲或甲、丙、乙的出场顺序与 B 队进行比赛时对丁最有利
【解析】
【分析】（1）因为 A 队按甲、乙、丙的出场顺序与 B 队进行比赛，所以丁连胜两盘、负一盘，则其中第二盘必胜，即丁对乙必胜，计算出 ，再计算出连胜三盘的概率，从而计算出；
设 A、B 两队打平的概率为，那么分两种情况，事件 C：第二盘为丁胜，第一、三盘分别为甲、丙胜；事件 D：第二盘为乙胜，第一、三盘都是丁胜，则 C 与 D 为互斥事件；
设丁获胜的概率为 p．分别计算出 A 队按甲、乙、丙的出场顺序与 B 队进行比赛、A 队按丙、乙、甲
的出场顺序与 B 队进行比赛与 A 队按乙、甲、丙或丙、甲、乙的出场顺序与 B 队进行比赛丁获胜的概率，从而得到 A 队怎样安排出场顺序对丁最有利.
【小问 1 详解】
因为 A 队按甲、乙、丙的出场顺序与 B 队进行比赛，
所以丁连胜两盘、负一盘，则其中第二盘必胜，即丁对乙必胜，所以．
故
．
【小问 2 详解】
设 A、B 两队打平的概率为．
记事件 C：第二盘为丁胜，第一、三盘分别为甲、丙胜．
记事件 D：第二盘为乙胜，第一、三盘都是丁胜，则 C 与 D 为互斥事件，
则．
【小问 3 详解】
设丁获胜的概率为 p．
若 A 队按甲、乙、丙的出场顺序与 B 队进行比赛，则．
同理，若 A 队按丙、乙、甲的出场顺序与 B 队进行比赛，则．若 A 队按乙、甲、丙或丙、甲、乙的出场顺序与 B 队进行比赛，
则
．
若 A 队按乙、丙、甲或甲、丙、乙的出场顺序与 B 队进行比赛，则．
因为，所以 A 队按乙、丙、甲或甲、丙、乙的出场顺序与 B 队进行比赛时对丁最有利．
布洛卡点是三角形内部的一特殊的点，由法国数学家亨利·布洛卡于 19 世纪提出，它通过等角条件联系三角形边与顶点，其角度和位置揭示了三角形的对称性与比例特性，是经典几何学中兼具美学与实用价值的点.其定义如下：设是 内一点，若 ，则称点 为 的布洛卡点，角 为 的布洛卡角.如图，在 中，记它的三个内角分别为 A，B，C，其对边分别为
若
已知
，
的面积为，点为 的布洛卡点，其布洛卡角为 ，请完成以下各题：
，求；
①若，求 的值；
②若 ，求 S.
【答案】（1）
（2）①12；②
【解析】
【分析】（1）由题，可得，在 ，中，分别由正弦定理可得
， ，运算得解；
，
，
（2）由，可得 ，①在 中由余弦定理可得，运算得解；②由
，结合①可得
，平方展开运算得解.
【小问 1 详解】
在
中，
，所以
，
所以
，
在 中，，所以，
在 中，，所以 ，
，故
.
所以
【小问 2 详解】
因为 ，所以，即 ，
①，所以
在 中，，
在 中，，
在 中，，
三式相加得
，
整理得： .
②又
又由①知 ，
所以，
故
，
整理得： ，
即
，
所以 ，即 ，
所以.