北师大版八年级数学下册几何模型讲义专题01等腰三角形中的分类讨论模型(原卷版+解析)

这是一份北师大版八年级数学下册几何模型讲义专题01等腰三角形中的分类讨论模型(原卷版+解析)试卷主要包含了定义等内容，欢迎下载使用。

TOC \ "1-4" \h \z \u \l "_Tc23281" PAGEREF _Tc23281 \h 1
\l "_Tc201321764" 模型来源 PAGEREF _Tc201321764 \h 1
\l "_Tc201321765" 真题现模型 PAGEREF _Tc201321765 \h 2
\l "_Tc201321766" 提炼模型4
\l "_Tc201321768" 模型运用6
\l "_Tc18093" 模型1.等腰三角形中的分类讨论模型-对角（边）与高的分类讨论模型6
\l "_Tc8573" 模型2.等腰三角形中的分类讨论模型-对边的分类讨论模型7
\l "_Tc18836" 17
特殊三角形中的分类讨论模型源于动态特殊三角形（等腰、直角三角形等）的不确定性，强调分类讨论的逻辑性，后由教育工作者将其系统归纳形成了特殊三角形中的分类讨论模型。
（2025·广东深圳·模拟预测）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角度数为，则顶角的度数为（ ）
A．B．C．或D．以上都不对
（2025·江苏扬州·二模）如图，矩形纸片中，，，对角线、将矩形纸片分割成4个等腰三角形，除了这种方法外，还有 种不同的方法也能将这张矩形纸片完全分割成4个等腰三角形．
1）等腰三角形中的分类讨论模型-对角或高的分类讨论
（1）若等腰三角形没有明确角的种类，要分类讨论；从锐角等腰三角形和钝角等腰三角形的角度入手分顶角与底角两种情况进行分类讨论。当然有时候已知条件是以边的形式给出，我们讨论顶角和底角与讨论底和腰的原理相同。
（2）若等腰三角形没有明确高的位置，要分类讨论；从锐角等腰三角形和钝角等腰三角形的角度入手分腰上高与底边高、界内高与界外高两种情况进行分类讨论。
2）等腰三角形中的分类讨论模型-对边的分类讨论
1）等腰三角形没有明确边的种类，要分类讨论；结合三角形三边关系分腰与底边两种情况进行分类讨论。
2）坐标系中的等腰三角形的分类讨论。
等腰三角形的两种分类讨论方法
方法1. “两圆一线”；（一般符合“两个定点一个动点”的等腰三角形）。
如图：已知，两点是定点，在坐标轴上找一点构成等腰。
①以已知线段为底作它的垂直平分线，与坐标轴的交点即为点P（有2个）；
②以已知线段为腰：用线段的两个端点为圆心，线段长为半径，分别作圆。（以为圆心的有4个，以为圆心的有2个）。具体题目要通过计算这些点的坐标来考虑是否出现重叠现象。
方法2. “三边两两相等分三种情况”讨论，先列出三种情况，再首先选最简单的那种情况先解答。
若是“两个动点一个定点”，多采用第二种方法分类讨论。但就算是用第二种方法分类讨论，也可以先用“两圆一线”确定符合等腰三角形的点可能有几个及这些点的大致位置。
模型1.等腰三角形中的分类讨论模型-对角或高的分类讨论
例1（2026八年级上·江苏·阶段练习）已知等腰三角形的一个内角等于，则该三角形的一个底角是（ ）
A．B．或C．D．或
例2（2026八年级上·江苏无锡·期中）已知一个等腰三角形的两边长分别为，，则该等腰三角形的周长为 ．
例3（2026八年级上·湖北·专题练习）等腰三角形三边长分别为，，，则等腰三角形的周长为（ ）
A．10 B．7或10 C．7或4 D．10或7或4
例4（2026八年级上·重庆·期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则该等腰三角形的底角的度数为 ．
例5（2026八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为和两部分，那么这个等腰三角形的底边长是 ．
模型2.等腰三角形中的分类讨论模型-对边的分类讨论
例1（2025·江苏八年级期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B都是格点（小正方形的顶点叫做格点），若△ABC为等腰三角形，且△ABC的面积为1，则满足条件的格点C有( )
A．0个B．2个C．4个D．8个
例2（2026八年级上·湖北随州·期中）在平面直角坐标系中，已知，，若在坐标轴上取点C，使为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（ ）
A．5B．6C．7D．8
例3（2026·重庆·八年级校考期中）从一个等腰三角形的顶角引出的一条射线把这个等腰三角形分成两个等腰三角形，则这个等腰三角形的顶角为 ．
例4（江苏泰州·统考中考真题）如图，中，，，射线从射线开始绕点C逆时针旋转角，与射线相交于点D，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点E．若是等腰三角形，则的度数为 ．

例5（2026·江苏苏州·八年级校考期中）如图，中，，，，若点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒（）．

(1)若点在上，且满足，求此时的值；(2)若点恰好在的角平分线上，求此时的值：
(3)在运动过程中，当为何值时，为等腰三角形．
例6（2026八年级上·江西抚州·阶段练习）一次函数的图象分别与，轴交于，两点，正比例函数与交于点．(1)求的值及的解析式；(2)若点在轴上，使得的值，请求出点的坐标；(3)若点在轴上，使得为等腰三角形，请直接写出点的坐标．
1．（2026·陕西渭南·八年级校考期中）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则它的底角为（ ）
A．B．C．或D．或
2．（2026八年级上·吉林四平·期中）一个等腰三角形的一边长，一边长，则这个三角形的周长是（ ）
A．B．C．或D．无法确定
3．（八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图，中，将沿折叠，使得点B落在边上的点F处，若，且为等腰三角形，则的度数为（）
A．或B．或C．或D．或
4．（2026八年级上·河南新乡·阶段练习）在等边三角形所在的平面上找一点，使、，都是等腰三角形．那么满足条件的点有（ ）个
A．B．C．D．
5．（2026·河北衡水·九年级统考期中）“如图，是等腰三角形，，平分．是射线上一点，如果点满足是等腰三角形，求的度数．”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，则下列判断正确的是（ ）

A．只有甲正确 B．只有乙正确 C．甲、乙合在一起才正确 D．三人合在一起答案才完整
6．（2026·上海·七年级专题练习）在平面直角坐标系xy中，已知点A（2，﹣2），在y轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
7.（2026·四川达州·八年级统考期末）定义：在一个三角形中，如果一个内角度数是另一内角度数二倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形”．若等腰为“倍角三角形”，则的顶角度数为 ．
8．（2025·江苏盐城·八年级校考阶段练习）如图，中，，，，若点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒，当点在边上，当 时，是等腰三角形．

9．（2026湖北孝感·八年级统考期末）等腰三角形的一个外角是140°，则它的顶角的度数为 ．
10．（2026八年级上·甘肃武威·期中）一个等腰三角形的周长为11，其中一边为3，则其他两边长分别为 ．
11．（2026八年级上·成都市·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，四边形是长方形，点的坐标分别是，是的中点，点在边上运动．当是腰长为的等腰三角形时，点的坐标是 ．
12．（2026八年级下·河南南阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为，过点B分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为C，A，直线与AB交于点D，与y轴交于点E，动点M在线段上，动点N在直线上，若是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，则点N的坐标为 ．
13.（2026八年级上·江西九江·阶段练习）如图，在中，于点D，，，，点P从点C出发向点B运动，速度为每秒2个单位长度，当t为 秒时，为等腰三角形．
14．（2026·重庆市八年级期中）如图1，一副直角三角板△ABC和△DEF，∠BAC=∠EDF=90°，∠B=45°，∠F=30°，点B、D、C、F在同一直线上，点A在DE上．如图2，△ABC固定不动，将△EDF绕点D逆时针旋转α（0°＜α＜135°）得△E′DF'，当直线E′F′与直线AC、BC所围成的三角形为等腰三角形时，α的大小为___．
15．（2026八年级上·江苏南京·阶段练习）定义：如果1条线段将一个三角形分割成2个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“双等腰线”．如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这2条线段叫做这个三角形的“三等腰线”．如图1，是的“双等腰线”，、是的“三等腰线”．
(1)请在图2三个图中，分别画出的“双等腰线”，并做必要的标注或说明．
①；②，；③，
(2)如果一个等腰三角形有“双等腰线”，那么它的底角度数是________．
(3)如图3，中，，．画出所有可能的“三等腰线”，使得对取值范围内的任意值都成立，并做必要的标注或说明．（每种可能用一个图单独表示，如果图不够用可以自己补充）
16．（2026八年级下·重庆綦江·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，直线：经过点，且交轴于点，直线与直线交于点．
(1)求直线的解析式；(2)求的面积；(3)过点，作直线，并将直线向上平移个单位后交于点，连接，若点是轴上一动点，连结，当为等腰三角形时，请直接写出点的坐标．
17．（2026八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的边在轴上（点在点的左侧），点，的坐标分别为，，点在轴正半轴上，且，点是射线上一动点．(1)点的坐标是___________；(2)连接，若的面积为，求点的坐标；
(3)当点在线段上运动时，在轴负半轴上是否存在点使与全等？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；(4)当点在射线上运动时，若是等腰三角形，请直接写出点的坐标．
18．（2026·四川成都·八年级校考期中）如图，四边形是一张长方形纸片，将其放在平面直角坐标系中，使得点与坐标原点重合，点、分别在轴、轴的正半轴上，点的坐标为，的坐标为，现将纸片沿过点的直线折叠，使顶点落在线段上的点处，折痕与轴的交点记为．
(1)求点的坐标和的大小；(2)在轴正半轴上是否存在点，满足，若存在，求出点坐标，若不存在请说明理由；(3)点在直线上，且为等腰三角形，请直接写出点的坐标．