八年级数学下册专题09特殊的平行四边形中的最值模型之将军饮马模型(原卷版+解析)

这是一份八年级数学下册专题09特殊的平行四边形中的最值模型之将军饮马模型(原卷版+解析)，共49页。试卷主要包含了求两条线段和的最小值， 求多条线段和最小值等内容，欢迎下载使用。

将军饮马问题从本质上来看是由轴对称衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，本专题就特殊的平行四边形背景下的将军饮马问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。在解决将军饮马问题主要依据是：两点之间，线段最短；垂线段最短；涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。
模型1.求两条线段和的最小值（将军饮马模型）
【模型解读】在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；
（1）点A、B在直线m两侧： （2）点A、B在直线同侧：

【最值原理】两点之间线段最短。 上图中A’是A关于直线m的对称点。
例1．（2023·山西运城·九年级统考期中）如图，正方形的对角线交于点O，点E是直线上一动点．若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
例2．（2023·广东广州·八年级校考期中）如图，正方形中，，连接，的平分线交于点E，在上截取，连接，分别交于点G，H，点P是线段上的动点，于点Q，连接，以下结论：①；②；③；④的最小值是，其中正确的结论有（ ）．
A．1B．2C．3D．4
例3．（2022·湖南娄底·中考真题）菱形的边长为2，，点、分别是、上的动点，的最小值为______．
例4．（2023下·江苏·八年级专题练习）如图，已知菱形的面积为20，边长为5，点、分别是边、上的动点，且，连接、，、和点不重合，则的最小值为（ ）

A．B．C．10D．
例5．（2023上·福建漳州·九年级校考期中）如图，矩形中，点为的中点．点为对角线上的一动点．则的最小值等于（）

A．B．6C．D．8
例6．（2022上·重庆大渡口·九年级校考期末）如图，在矩形中，，点E在上，点F在上，且，连结，则的最小值为 ．

例7．（2023上·福建龙岩·九年级校考期中）如图，在平行四边形中，，，，点E是边上且．F是边上的一个动点，将线段绕点E逆时针旋转，得到，连接、，则的最小值 ．
模型2. 求多条线段和（周长）最小值
【模型解读】在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。
（1）两个点都在直线外侧： （2）一个点在内侧，一个点在外侧：

（3）两个点都在内侧：

（4）台球两次碰壁模型
1）已知点A、B位于直线m,n 的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短.
2）已知点A位于直线m,n 的内侧, 在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.

【最值原理】两点之间线段最短。
例1．（2023·四川广元·一模）如图，已知正方形边长为3，点E在边上且，点P，Q分别是边，的动点（均不与顶点重合），当四边形的周长取最小值时，四边形的面积是（ ）
A．B．C．D．
例2．（2023.无锡市初三数学期中试卷）方法感悟：如图①，在矩形中，，是否在边上分别存在点G、H，使得四边形的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由．
问题解决：
例3．（2023春·湖北黄石·八年级统考期中）如图，在矩形中，，，、分别是和上的两个动点，为的中点，则的最小值是________；
例4．（2022上·山东临沂·八年级校考阶段练习）如图，在四边形中，是边的中点，，，，若，则线段长度的最大值是 ．
模型3.求两条线段差最大值
【模型解读】在一条直线m上，求一点P，使PA与PB的差最大；
（1）点A、B在直线m同侧：

延长AB交直线m于点P，根据三角形两边之差小于第三边，P’A-P’B＜AB，而PA-PB=AB此时最大，
因此点P为所求的点。
（2）点A、B在直线m异侧：

过B作关于直线m的对称点B’,连接AB’交点直线m于P,此时PB=PB’，PA-PB最大值为AB’
【最值原理】三角形两边之差小于第三边。
例1．（2023·四川成都·七年级统考期末）四边形ABCD是轴对称图形，对称轴为直线BD，AB＝AD＝4，∠ABD＝30°，点M、N分别为BD、BC的中点，点P、Q分别是线段AB、MN上的动点，则AP﹣PQ的最大值为 ．
例2．（2023春·湖南永州·八年级统考期中）如图，在矩形中，，O为对角线的中点，点P在边上，且，点Q在边上，连接与，则的最大值为____________，的最小值为__________．
例3．（2023·福建福州·八年级校考期中）如图，四边形中，，，点为直线左侧平面上一点，的面积为则的最大值为 ．
课后专项训练
1．（2022·四川广安·统考中考真题）如图，菱形ABCD的边长为2，点P是对角线AC上的一个动点，点E、F分别为边AD、DC的中点，则PE + PF的最小值是（ ）
A．2B．C．1.5D．
2．（2022下·广东广州·八年级校考期末）如图，菱形中，P为对角线上一动点，E，F分别为中点，若，，则的最小值为（ ）

A．3B．C．5D．
3．（2023上·广东佛山·九年级校考阶段练习）如图，已知正方形的边长为4，点E是边的中点，点P是对角线上的动点，则的最小值是（ ）

A．B．C．D．
4．（2023春·福建厦门·八年级校联考期中）如图，在▱ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠D＝60°，点P、Q分别是AC和BC上的动点，在点P和点Q运动的过程中，PB+PQ的最小值为（ ）
A．4B．3C．2D．4
5．（2023·山东烟台·统考一模）如图，在矩形中，，，点在上，点在上，且，连结，，则的最小值为（ ）
A．26B．25C．24D．22
6．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在菱形中，，，点E为的中点，点F在上，且，点G为直线上一动点，的最大值是 ．

7．（2023春·成都市九年级期中）如图，在矩形ABCD中，，，E、F分别是边AB、BC上的动点，且，M为EF中点，P是边AD上的一个动点，则的最小值是______．
8．（2023下·四川达州·八年级校考期末）如图，，在的同侧，，，，点为的中点，若，则的最大值是 ．

9．（2023·湖北孝感·九年级校考开学考试）如图，四边形是矩形纸片，，对折矩形纸片，使与重合，折痕为．展平后再过点B折叠矩形纸片，使点A落在上的点N，折痕与相交于点Q，再次展平，延长交与点G，P为线段上一动点，有如下结论①；②；③是等边三角形；④若H是的中点，则的最小值是．其中正确结论是 （填序号）
10．（2023·江苏无锡·统考二模）如图，矩形中，，点E、F分别边上的点，且，点G为的中点，点P为上一动点，则的最小值为 ．

12．（2023上·江苏泰州·八年级校联考阶段练习）长方形中，，E为边上的动点，F为的中点，连接，则的最小值为 ．

13．（2023·广西梧州·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，点P是对角线上的一个动点，已知，则的最小值是_________________
14．（2022·黑龙江·统考中考真题）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，，，AH是的平分线，于点E，点P是直线AB上的一个动点，则的最小值是________．
15．（辽宁省铁岭市2022-2023学年八年级下学期期中数学试题）如图，在矩形中，，，点E，F，G，H分别在矩形的各边上，且，，则四边形周长的最小值为 ．
16．（2023·广东惠州·校考三模）如图，正方形的边长为，点，分别是对角线的三等分点，点是边上一动点，则的最小值是________.

17．（2023·陕西铜川·统考三模）如图，正方形的对角线相交于点，，点在上，且，点是上一动点，则的最小值为 ______ ．
18．（2023·山东德州·校考一模）如图，在菱形中，，，，分别是边和对角线上的动点，且，则的最小值为______．
19．（2023·北京海淀·九年级人大附中校考开学考试）如图，中，，过A点作的平行线与的平分线交于点，连接．

(1)求证：四边形是菱形；(2)过点作的平行线交直线于点，连接，，点是线段上的动点，若，请直接写出的最小值．
20．（2023上·广东深圳·九年级校考阶段练习）【问题情境】
（1）我们曾经研究过这样的问题：已知正方形，点在的延长线上，以为一边构造正方形，连接和，如图1所示，则和的数量关系为______，位置关系为______
【继续探究】（2）如图2所示，若正方形的边长为4，点是边上的一个动点，以为一边在的右侧作正方形，连接、，连接，若，求线段的长度．
【拓展提升】（3）在（2）的条件下，如图3，当点在射线上运动时，求的最小值为______
21．（2023·安徽宿州·八年级校联考期中）小明同学在做作业时，遇到如下问题：如图1，已知：等边，点在上，以为边作等边，连接，求证：．

(1)请你解答小明的这道题；(2)在这个问题中，当在上运动时，点是否在一条线段上运动？（直接答“是”或“不是”）;(3)如图2，正方形的边长为2，是直线上的一个动点，以为边作正方形按逆时针排列）．当在直线上运动时，点是否在一条直线上运动？如果是，请你画出这条直线并证明；如果不是，也请说明理由；(4)连接，．①求证：是定值；②求的最小值（直接写出答案即可）．
专题09 特殊的平行四边形中的最值模型之将军饮马模型
“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。
将军饮马问题从本质上来看是由轴对称衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，本专题就特殊的平行四边形背景下的将军饮马问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。在解决将军饮马问题主要依据是：两点之间，线段最短；垂线段最短；涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。
模型1.求两条线段和的最小值（将军饮马模型）
【模型解读】在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；
（1）点A、B在直线m两侧： （2）点A、B在直线同侧：

【最值原理】两点之间线段最短。 上图中A’是A关于直线m的对称点。
例1．（2023·山西运城·九年级统考期中）如图，正方形的对角线交于点O，点E是直线上一动点．若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查轴对称最短路径，勾股定理的综合，理解图示，作出对称点，运用勾股定理是解题的关键．作点A关于直线的对称点，其与的交点即为点E，过点O作于点F，，O，E在同一条线上的时，最小，此时：，再结合正方形的性质和勾股定理，即可求解．
【详解】解：如图所示，作点A关于直线的对称点，其与的交点即为点E，过点O作于点F，∴，，O，E在同一条线上的时，最小，
此时：，
∵正方形，点O为对角线的交点，∴，∴，
∵A与关于对称，∴，∴，
在中，，故选：D．
例2．（2023·广东广州·八年级校考期中）如图，正方形中，，连接，的平分线交于点E，在上截取，连接，分别交于点G，H，点P是线段上的动点，于点Q，连接，以下结论：①；②；③；④的最小值是，其中正确的结论有（ ）．
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】本题综合考查了正方形的性质，全等三角形的性质，能够合理选择正方形的性质找到全等三角形是解题的关键.
①利用正方形的性质证明得到进而可证；②利用正方形的性质证明，得到，证明，进而可证；③求得的长度，然后求出，进而可证；④证明垂直平分，过点作，利用垂线段最短可知的长度为最小值，利用等面积法可求.
【详解】∵正方形，∴， ，∴，
在和中,，∴，
∴，，∴，∴，故①正确；
∵平分，∴，在和中，，
∴，∴，
∵正方形，∴，∴，∴，
∵，∴，∴，
∴，故②正确；
∵，∴
，，
，即，结论③错误；
，，，∴垂直平分，，
当时，有最小值，过点作，
则的长度为的最小值，
，即的最小值为，故④正确．
正确的为: ①②④，个数为3故选：C
例3．（2022·湖南娄底·中考真题）菱形的边长为2，，点、分别是、上的动点，的最小值为______．
【答案】
【分析】过点C作CE⊥AB于E，交BD于G，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知CE为FG+CG的最小值，当P与点F重合，Q与G重合时，PQ+QC最小，在直角三角形BEC中，勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，过点C作CE⊥AB于E，交BD于G，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知CE为FG+CG的最小值，当P与点F重合，Q与G重合时，PQ+QC最小，
菱形的边长为2，，中，
PQ+QC的最小值为故答案为：
【点睛】本题考查菱形性质，勾股定理，轴对称的性质，掌握轴对称的性质求线段和的最小值是解题关键．
例4．（2023下·江苏·八年级专题练习）如图，已知菱形的面积为20，边长为5，点、分别是边、上的动点，且，连接、，、和点不重合，则的最小值为（ ）

A．B．C．10D．
【答案】D
【分析】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．过点作于点，延长到点，使，根据菱形的性质和勾股定理可得，以点为原点，为轴，垂直于方向为轴，建立平面直角坐标系，可得，，，，，然后证明，可得，连接，，，由，可得，，三点共线时，取最小值，所以的最小值的最小值，利用勾股定理即可解决问题．
【详解】解：如图，过点作于点，延长到点，使，
四边形是菱形，，，
菱形的面积为20，边长为5，，
在中，根据勾股定理得：，
以点为原点，为轴，垂直于方向为轴，建立平面直角坐标系，

，，，，，，，，
在和中，，，，
连接，，，，，，三点共线时，取最小值，
的最小值的最小值．
但是当，，三点共线时，点不在边上，．故选：D．
例5．（2023上·福建漳州·九年级校考期中）如图，矩形中，点为的中点．点为对角线上的一动点．则的最小值等于（）

A．B．6C．D．8
【答案】B
【分析】作点于直线的对称点，连接、、，在取一点，使得点与点关于直线成抽对称，则,，，，当点、、三点共线时，的值最小，利用勾股定理及等边三角形的性质求出即可．
【详解】解：作点于直线的对称点，连接、、，在取一点，使得点与点关于直线成抽对称，则,，，，当点、、三点共线时，的值最小，

∵四边形是矩形，∴,,
∵,∴，，
∴,,∴是等边三角形，
∵，∴,∴,
∴的最小值等于故选：B．
【点睛】本题主要考查轴对称和最短路线问题，矩形的性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，确定点的位置是解答本题的关键．
例6．（2022上·重庆大渡口·九年级校考期末）如图，在矩形中，，点E在上，点F在上，且，连结，则的最小值为 ．

【答案】
【分析】证得，作点关于的对称点，则，据此即可求解．
【详解】解：连接，作点关于的对称点，连接由题意得：

∵∴∴
∵∴
∴的最小值为 故答案为：
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、矩形的性质等．通过证全等和作对称得出是解题关键．
例7．（2023上·福建龙岩·九年级校考期中）如图，在平行四边形中，，，，点E是边上且．F是边上的一个动点，将线段绕点E逆时针旋转，得到，连接、，则的最小值 ．
【答案】
【分析】取得中点N，连接，，，作交的延长线于点H，先求出，，，再说明是等边三角形，根据“”证明≌，可求，即可得出点G的运动轨迹是射线，然后证明≌，可确定的最小值，根据勾股定理求出答案即可．
【详解】解：如图，取得中点N，连接，，，作交的延长线于点H．
由题意，得，，．
∵点N是的中点，∴，∴．∵，∴是等边三角形，
∴，，，∴．
∵，，∴，∴，
∴，∴点G的运动轨迹是射线．
∵，，，∴，
∴，∴．
在中，，，，
∴，，∴．
根据勾股定理，得，
∴，∴的最小值是．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行四边形与旋转的综合问题，全等三角形的性质和判定，三角形三边关系，勾股定理等，确定点G的运动轨迹是解题的关键．
模型2. 求多条线段和（周长）最小值
【模型解读】在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。
（1）两个点都在直线外侧： （2）一个点在内侧，一个点在外侧：

（3）两个点都在内侧：

（4）台球两次碰壁模型
1）已知点A、B位于直线m,n 的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短.
2）已知点A位于直线m,n 的内侧, 在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.

【最值原理】两点之间线段最短。
例1．（2023·四川广元·一模）如图，已知正方形边长为3，点E在边上且，点P，Q分别是边，的动点（均不与顶点重合），当四边形的周长取最小值时，四边形的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】作E关于BC的对称点，点A关于的对称点，连接，四边形的周长最小，根据，即可解．
【详解】解：如图1所示，作E关于BC的对称点，点A关于的对称点，连接，四边形的周长最小，
∵，，∴，．
∵，D是的中点，∴是的中位线，
∴，，∵，∴，
∴，即，，，
，故选：B．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，轴对称的性质，三角形相似的判定和性质，中位线的性质，三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，找出四边形的周长最小时，P、Q的位置．
例2．（2023.无锡市初三数学期中试卷）方法感悟：如图①，在矩形中，，是否在边上分别存在点G、H，使得四边形的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由．
问题解决：
【答案】（1）存在得四边形的周长最小，最小值为；（2）当所裁得的四边形部件为四边形时，裁得了符合条件的最大部件，这个部件的面积为，
【分析】作E关于的对称点，作F关于BC的对称点，连接，交于G，交于H，连接，得到此时四边形的周长最小，根据轴对称的性质得到，于是得到，求出即可得到结论；
【详解】解：（1）存在，理由：作E关于的对称点，作F关于的对称点，连接，交于G，交于H，连接，∴，则此时四边形的周长最小，
由题意得：，∴，
∴，
∴四边形的周长的最小值2，
∴在边上分别存在点G、H，使得四边形的周长最小，最小值为；
例3．（2023春·湖北黄石·八年级统考期中）如图，在矩形中，，，、分别是和上的两个动点，为的中点，则的最小值是________；
【答案】 /
【分析】延长作点D的关于点A的对称点，延长作点M的关于点C对称点，作，且，即为最小值；
【详解】解：如下图所示，延长作点D的关于点A的对称点，延长作点M的关于点C对称点，作，且，
可得，∴，∴的最小值为，
∵，且，四边形为矩形，∴四边形为矩形，
∵为的中点∴，，
∴；
【点睛】本题考查轴对称-最短路线问题、矩形的性质，根据题意找到使所求线段的和最小时点的位置是解题的关键．
例4．（2022上·山东临沂·八年级校考阶段练习）如图，在四边形中，是边的中点，，，，若，则线段长度的最大值是 ．
【答案】14
【分析】作关于的对称点，关于的对称点，连接，，，，，得出是等边三角形，当、、、共线时的值最大，最大值为．
【详解】解：作关于的对称点，关于的对称点，连接，，，，，如图所示：∴， ∴，，，
同理可证：，，，
是边的中点，，，
，．．
．是等边三角形．，
，即，
当、、、共线时的值最大，最大值为故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，正确的作出辅助线是解题的关键．
模型3.求两条线段差最大值
【模型解读】在一条直线m上，求一点P，使PA与PB的差最大；
（1）点A、B在直线m同侧：

延长AB交直线m于点P，根据三角形两边之差小于第三边，P’A-P’B＜AB，而PA-PB=AB此时最大，
因此点P为所求的点。
（2）点A、B在直线m异侧：

过B作关于直线m的对称点B’,连接AB’交点直线m于P,此时PB=PB’，PA-PB最大值为AB’
【最值原理】三角形两边之差小于第三边。
例1．（2023·四川成都·七年级统考期末）四边形ABCD是轴对称图形，对称轴为直线BD，AB＝AD＝4，∠ABD＝30°，点M、N分别为BD、BC的中点，点P、Q分别是线段AB、MN上的动点，则AP﹣PQ的最大值为 ．
【答案】2
【分析】如图，连接CM，CP，CQ．证明△CMN是边长为2的等边三角形，再证明PA=PC，推出PA-PQ=PC-PQ≤CQ，求出CQ的最大值，可得结论．
【详解】解：如图，连接CM，CP，CQ．
∵四边形ABCD是轴对称图形，对称轴为直线BD，
∴AB=BC，AD=DC，∠ABD=∠CBD，∠ADB=∠CDB，
∵AB=AD=4，∠ABD=30°，∴AB=BC=AD=DC=4，∠ABD=∠CBD=∠CDB=30°，
∴四边形ABCD是菱形，∠BCD=120°，∵CB=CD=4，BM=DM，∴CM⊥BD，∴CM=BC=2，
∵BN=CN，∴MN=BN=NC=2，∴CM=CN=MN=2，∴△CMN是等边三角形，
∵A，C关于BD对称，∴PA=PC，∴PA-PQ=PC-PQ≤CQ，
∵点Q在线段MN上，∴当点Q与M或N重合时，CQ的值最大，最大值为2，
∴PA-PQ≤2，∴PA-PQ的最大值为2，故答案为：2．
【点睛】本题考查轴对称最短问题，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题．
例2．（2023春·湖南永州·八年级统考期中）如图，在矩形中，，O为对角线的中点，点P在边上，且，点Q在边上，连接与，则的最大值为____________，的最小值为__________．
【答案】
【分析】①连接并延长交于点Q，则这个点Q满足使的值最大，最大值为的长度，证明四边形是矩形可得，，，再利用勾股定理进行计算即可；
②过点O作关于的对称点，连接交于点Q，的值最小，
的最小值为的长度，延长交于点G，根据对称的性质可得，再根据，点O是的中点，可得，从而求得，再利用勾股定理进行计算即可．
【详解】解：①连接并延长交于点Q，则这个点Q满足使的值最大，最大值为的长度，
∵四边形是矩形，∴，，∴，
∵点O是的中点，∴，
又∵，∴，∴，，
∵，∴，过点P作于点P，
∵，∴四边形是矩形，
∴，，∴，
∴，∴；

②过点O作关于的对称点，连接交于点Q，的值最小，
的最小值为的长度，延长交于点G，
∵，点O是的中点，∴，
∴，，∴，，
∴，∴的最小值为：，故答案为：；．
【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及轴对称−最短路径，熟练掌握相关知识是解题的关键．
例3．（2023·福建福州·八年级校考期中）如图，四边形中，，，点为直线左侧平面上一点，的面积为则的最大值为 ．
【答案】10
【分析】如图，过点F作FH⊥EC于H.过点F作直线l//EC，作点C关于直线l的对称点C'，连接AC'交直线l于F'，此时|F'A−F'C'|的值最大，即|FA−FC|的值最大，最大值为线段AC'的长．
【详解】解：如图，过点F作 FH⊥EC 于H．
∵△CFE的面积为8，即EC⋅FH=8，CE=8，∴FH=2，
过点F作直线l//EC，作点C关于直线l的对称点C'，连接AC'交直线l于F'，此时|F'A−F'C'|的值最大，即|FA−FC|的值最大，最大值为线段AC'的长，过点C'作C'K⊥AB于K．∵∠C'KB=∠KEC=∠ECC'=90° ，
∴四边形CEKC'是矩形，∴CC'=EK=4，EC=KC'=8，
∵AE=10，∴AK=AE−EK=10−4=6，∴AC'=，
∴|FA−FC|的最大值为10．故答案为10．
【点睛】本题考查轴对称−最短问题，三角形的面积，直角梯形等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决
课后专项训练
1．（2022·四川广安·统考中考真题）如图，菱形ABCD的边长为2，点P是对角线AC上的一个动点，点E、F分别为边AD、DC的中点，则PE + PF的最小值是（ ）
A．2B．C．1.5D．
【答案】A
【分析】取AB中点G点，根据菱形的性质可知E点、G点关于对角线AC对称，即有PE=PG，则当G、P、F三点共线时，PE+PF=PG+PF最小，再证明四边形AGFD是平行四边形，即可求得FG=AD．
【详解】解：取AB中点G点，连接PG，如图，
∵四边形ABCD是菱形，且边长为2，∴AD=DC=AB=BC=2，
∵E点、G点分别为AD、AB的中点，
∴根据菱形的性质可知点E、点G关于对角线AC轴对称，∴PE=PG，∴PE+PF=PG+PF，
即可知当G、P、F三点共线时，PE+PF=PG+PF最小，且为线段FG，
如下图，G、P、F三点共线，连接FG，
∵F点是DC中点，G点为AB中点，∴，
∵在菱形ABCD中，，∴，∴四边形AGFD是平行四边形，
∴FG=AD=2，故PE+PF的最小值为2，故选：A．
【点睛】本题考查了菱形的性质、轴对称的性质、平行四边形的判定与性质等知识，找到E点关于AC的对称点是解答本题的关键．
2．（2022下·广东广州·八年级校考期末）如图，菱形中，P为对角线上一动点，E，F分别为中点，若，，则的最小值为（ ）

A．3B．C．5D．
【答案】C
【分析】设交于O，作点E关于的对称点N，连接，交于P，则此时的值最小，根据菱形的性质推出N是中点，P与O重合，推出，根据勾股定理求出的长即可．
【详解】设交于O，作点E关于的对称点N，连接，交于P，则此时的值最小，∴，∵四边形是菱形，

∴，
∵E为的中点，∴N在上，且N为的中点，
∵，∴，
∵，N为中点，F为中点，∴，
在和中，，，
∴，∴，即P为中点，
∵O为中点，∴P、O重合，即过O点，
∵，∴四边形是平行四边形，∴，
∵菱形，，，∴，
，∴，则的最小值为5．故选：C
【点睛】本题考查了轴对称-最短问题，勾股定理，菱形的性质，解答本题的关键是理解题意确定出P的位置和求出，题目比较典型，综合性比较强．
3．（2023上·广东佛山·九年级校考阶段练习）如图，已知正方形的边长为4，点E是边的中点，点P是对角线上的动点，则的最小值是（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】连接，，由得就是的最小值，求出即可．
【详解】解：如图，连接，，

∵，，，∴，∴，
∵，∴就是的最小值，
∵正方形的边长为4，点E是边的中点，∴，，
∴，∴的最小值是．故选：A．
【点睛】本题考查正方形的性质、最短路径问题、全等三角形的判定与性质，解决此题的关键是将转化为．
4．（2023春·福建厦门·八年级校联考期中）如图，在▱ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠D＝60°，点P、Q分别是AC和BC上的动点，在点P和点Q运动的过程中，PB+PQ的最小值为（ ）
A．4B．3C．2D．4
【答案】C
【分析】取BC的中点G，连接AG．首先证明∠BAC＝90°，作点B关于AC的对称点F，连接GF，证FG⊥BC，则FG的长即为PB+PQ的最小值．
【详解】解：取BC的中点G，连接AG．在▱ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠D＝60°，
∴AB＝BG＝2，∠ABG＝∠D＝60°，∴△ABG是等边三角形，
∴AG＝GC＝2，∠AGB＝∠BAG＝60°，∴∠GAC＝∠GCA＝30°，∴∠BAC＝90°，
作点B关于AC的对称点F，连接GF， 交AC于点P，由对称可知，B、A、F在一条直线上，AG＝AF，
∵∠BAG＝∠F+∠AGF＝60°，∴∠F＝∠AGF＝30°，∴∠FGB＝90°，
当点Q与点G重合时，PB+PQ=PF+PG=FG，FG的长即为PB+PQ的最小值，
∵∠F＝∠AGF＝30°，AG＝GC＝2，∴BF＝4，，
∴BP+PQ的最小值为2．故选：C．
【点睛】本题主要考查了轴对称﹣最短路线问题，勾股定理，等边三角形的性质，根据垂线段最短作出辅助线，确定点P，Q的位置是解答此题的关键．
5．（2023·山东烟台·统考一模）如图，在矩形中，，，点在上，点在上，且，连结，，则的最小值为（ ）
A．26B．25C．24D．22
【答案】A
【分析】先连接，将转化为，再利用将军饮马解决问题即可．
【详解】解：如图，连接，∵四边形是矩形，∴，，
∵，∴，∴，∴，
如图，作点关于A点的对称点，连接，即为的最小值，
∵，，∴，，∴，
∴的最小值为26，故A正确．故选：A．
【点睛】本题考查矩形的性质、勾股定理、将军饮马问题、全等三角形的判定与性质等内容，综合性较强，将转化为是解题的关键．
6．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在菱形中，，，点E为的中点，点F在上，且，点G为直线上一动点，的最大值是 ．

【答案】
【分析】取的中点，连接，，过点作于H点．解直角三角形求出，根据可得结论．
【详解】解：取的中点，连接，，过点作于H点．

∵四边形是菱形，，，∴，，
∵点E为的中点，点为的中点，∴，，
∵四边形是菱形，，且，，
∴点E与点关于对称，∴，
∵，，∴，，
∴，∴在中，，
∵，当且仅当F、G、三点共线时取等号，
∴，∴的最大值为．故答案为：．
【点睛】本题考查轴对称﹣最短问题，解直角三角形，勾股定理以及菱形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最值问题，属于中考常考题型．
7．（2023春·成都市九年级期中）如图，在矩形ABCD中，，，E、F分别是边AB、BC上的动点，且，M为EF中点，P是边AD上的一个动点，则的最小值是______．
【答案】11
【分析】作点C关于AD的对称点G，连接PG、GD、BM、GB，则当点P、M在线段BG上时，GP+PM+BM最小，从而 CP+PM最小，在Rt△BCG中由勾股定理即可求得BG的长，从而求得最小值．
【详解】如图，作点C关于AD的对称点G，连接PG、GD、BM、GB
由对称的性质得：PC=PG，GD=CD ∵GP+PM+BM≥BG∴CP+PM=GP+PM≥BG－BM
则当点P、M在线段BG上时，CP+PM最小，且最小值为线段BG－BM
∵四边形ABCD是矩形∴CD=AB=6，∠BCD=∠ABC=90° ∴CG=2CD=12
∵M为线段EF的中点，且EF=4 ∴
在Rt△BCG中，由勾股定理得：
∴GM=BG－BM=13－2=11 即CP+PM的最小值为11．
【点睛】本题是求两条线段和的最小值问题，考查了矩形性质，折叠的性质，直角三角形斜边上中线的性质，两点间线段最短，勾股定理等知识，有一定的综合性，关键是作点C关于AD的对称点及连接BM，GP+PM+BM的最小值转化为线段CP+PM的最小值．
8．（2023下·四川达州·八年级校考期末）如图，，在的同侧，，，，点为的中点，若，则的最大值是 ．

【答案】
【分析】作点关于的对称点，点关于的对称点，由，可推出为等边三角形，再根据三角形三边关系即可推出结论．
【详解】解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接，，，，，

，，∴，∴，
∵，∴为等边三角形，
点为的中点，，，
∵，的最大值为，故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，三角形的三边关系等知识，正确作出辅助线利用三角形的三边关系求解是解题的关键．
9．（2023·湖北孝感·九年级校考开学考试）如图，四边形是矩形纸片，，对折矩形纸片，使与重合，折痕为．展平后再过点B折叠矩形纸片，使点A落在上的点N，折痕与相交于点Q，再次展平，延长交与点G，P为线段上一动点，有如下结论①；②；③是等边三角形；④若H是的中点，则的最小值是．其中正确结论是 （填序号）
【答案】①③④
【分析】本题是几何变换综合题，考查了折叠的性质，矩形的性质，等边三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，锐角三角函数，勾股定理，两点之间线段最短．
①首先根据垂直平分，可得；然后根据折叠的性质，可得，据此判断出为等边三角形，即可得出的度数；
②首先根据，，求出；然后在中，根据，即可求出求出的长度；
③根据，，推得，即可作出判定；④点H是的中点，根据折叠可知E点和H点关于称可得，因此P与Q重合时，，据此求出的最小值是多少即可．
【详解】①如图，连接，

∵对折矩形纸片，使与重合，折痕为，
∴垂直平分，即点E是的中点，∴，
∵过点B折叠矩形纸片，使点A落在上的点N，折痕与相交于点Q，
∴，，，，
∴，∴为等边三角形．∴，，即结论①正确；
②∵，，，∴，
∴，即结论②不正确；
③∵，，∴，
∴，∴，
∴，∴为等边三角形，即结论③正确．
④如图，连接，∵点H是的中点，点E是的中点，

又∵过点B折叠矩形纸片，使点A落在上的点N，折痕与相交于点Q，即和关于对称，∴点E和点H关于对称，∴，
∴点P与点Q重合时，的值最小，此时，
∵，∴的最小值是，即结论④正确；
∴正确结论的序号是①③④．故答案为：①③④．
10．（2023·江苏无锡·统考二模）如图，矩形中，，点E、F分别边上的点，且，点G为的中点，点P为上一动点，则的最小值为 ．

【答案】4
【分析】此题考查矩形的性质，勾股定理，轴对称最短路径问题，先利用直角三角形斜边中线的性质得到，作A关于的对称点，连接，交于P，当点，P，G，D共线时，的值最小，最小值为的长；勾股定理求出，减去即可得到答案，熟练掌握各知识点是解题的关键．
【详解】∵四边形是矩形，∴
，点G为的中点，∴，作A关于的对称点，连接，交于P，当点，P，G，D共线时，的值最小，最小值为的长；
，
，，，∴，
∴；∴的最小值为4；故答案为：4．
12．（2023上·江苏泰州·八年级校联考阶段练习）长方形中，，E为边上的动点，F为的中点，连接，则的最小值为 ．

【答案】20
【分析】作关于的对称点，连接，交于点, 则的长即为的最小值，然后利用勾股定理解题即可.
【详解】作关于的对称点，连接，交于点, 则的长即为的最小值.

长方形中, , 为的中点, ， ，
，即的最小值为.故答案为:.
【点睛】本题考查了轴对称一最短路线问题，矩形的性质，正确的找出点E， 的位置是解题的关键.
13．（2023·广西梧州·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，点P是对角线上的一个动点，已知，则的最小值是_________________
【答案】
【分析】点B的对称点是点D，连接，交于点P，再得出即为最小值，解答即可．
【详解】解：连接，如图，
∵四边形是菱形，∴垂直平分，∴点B的对称点是点D，
连接交于点P，连接，∴，∴即为的最小值，
∵点A的坐标为，点，∴故答案为
【点睛】此题考查菱形的性质，关键是根据两点坐标得出距离．
14．（2022·黑龙江·统考中考真题）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，，，AH是的平分线，于点E，点P是直线AB上的一个动点，则的最小值是________．
【答案】/
【分析】作点O关于AB的对称点F，连接OF交AB于G，连接PE交直线AB于P，连接PO，则PO=PF，此时，PO+PE最小，最小值=EF，利用菱形的性质与直角三角形的性质，勾股定理，求出OF，OE长，再证明△EOF是直角三角形，然后由勾股定理求出EF长即可．
【详解】解：如图，作点O关于AB的对称点F，连接OF交AB于G，连接PE交直线AB于P，连接PO，则PO=PF，此时，PO+PE最小，最小值=EF的长，
∵菱形ABCD，∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，AD=AB=3，
∵∠BAD=60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD=AB=3，∠BAO=30°，
∴OB==，∴OA=，∴点O关于AB的对称点F，
∴OF⊥AB，OG=FG，∴OF=2OG=OA=，∠AOG=60°，
∵CE⊥AH于E，OA=OC，∴OE=OC=OA=，∴∠AEC=∠CAE，
∵AH平分∠BAC，∴∠CAE=15°，∴∠AEO=∠CAE=15°，
∴∠COE=∠AEO+∠CAE=30°，∴∠COE+∠AOG=30°+60°=90°，∴∠FOE=90°，
∴由勾股定理，得EF=,
∴PO+PE最小值=．故答案为：．
【点睛】本题考查菱形的性质，利用轴对称求最短距离问题，直角三角形的性质，勾股定理，作点O关于AB的对称点F，连接OF交AB于G，连接PE交直线AB于P，连接PO，则PO=PF，则PO+PE最小，最小值=EF的长是解题的关键．
15．（辽宁省铁岭市2022-2023学年八年级下学期期中数学试题）如图，在矩形中，，，点E，F，G，H分别在矩形的各边上，且，，则四边形周长的最小值为 ．
【答案】
【分析】先证明四边形是平行四边形，延长，使得，连接，，则E和关于对称，由得，当、F、G共线时取等号，此时，最小，最小值为的长，过G作于P，则四边形是矩形，进而可得，，由勾股定理求得，则最小值为，由四边形周长为求解即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，∴，，，
∵，，∴，，∴，，
∴，，∴四边形是平行四边形，
延长，使得，连接，，则E和关于对称，
∴，∴，当、F、G共线时取等号，此时，最小，最小值为的长，过G作于P，则，
∴四边形是矩形，∴，，
在中，，
由勾股定理得，∴最小值为，
则四边形周长的最小值为，故答案为：．
【点睛】本题考查矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性、最短路径问题、勾股定理等知识，证明四边形是平行四边形，以及为的最小值是解答的关键．
16．（2023·广东惠州·校考三模）如图，正方形的边长为，点，分别是对角线的三等分点，点是边上一动点，则的最小值是________.

【答案】
【分析】作点关于边所在直线的对称点，连接交于点，此时有最小值，利用正方形的性质得出，再利用勾股定理求解．
【详解】解析：如图，作点关于边所在直线的对称点，连接交于点，

此时有最小值，∵四边形是正方形，关于边所在直线的对称点，
∴，∴，∴，
∵点，分别是对角线的三等分点，∴，
∴的最小值，故答案为：．
【点睛】本题考查的是最短路线问题及正方形的性质、勾股定理，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．
17．（2023·陕西铜川·统考三模）如图，正方形的对角线相交于点，，点在上，且，点是上一动点，则的最小值为 ______ ．
【答案】
【分析】过点作的对称点，连接，作于点，连接则此时为的最小值，最后利用勾股定理及正方形的性质即可解答．
【详解】解：过点作的对称点，连接，作于点，
∵在正方形中，∴是等腰直角三角形，∴，
∵，∴四边形是正方形，∴，
∵，∴，∵，∴，
∵，∴，∴，
∴的最小值为；故答案为．
【点睛】本题考查了轴对称—最短路径问题，勾股定理，正方形的性质，正确做出辅助线是解题的关键．
18．（2023·山东德州·校考一模）如图，在菱形中，，，，分别是边和对角线上的动点，且，则的最小值为______．
【答案】
【分析】在的下方作，截取，使得，连接，．证明，推出，，根据求解即可．
【详解】解：如图，的下方作，截取，使得，连接，．
四边形是菱形，，，，
，，，，，
，，
，，
，，的最小值为，故答案为．
【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
19．（2023·北京海淀·九年级人大附中校考开学考试）如图，中，，过A点作的平行线与的平分线交于点，连接．

(1)求证：四边形是菱形；(2)过点作的平行线交直线于点，连接，，点是线段上的动点，若，请直接写出的最小值．
【答案】(1)证明见解析部分；(2)
【分析】（1）两条全等三角形的性质证明，推出四边形是平行四边形，可得结论；
（2）延长交的延长线于点，连接，，过点作于点，利用面积法求出，再利用勾股定理求出，由，可得结论．
【详解】（1）证明：，平分，，，，
在和中，，，，
，四边形是平行四边形，，四边形是菱形；
（2）解：延长交的延长线于点，连接，，过点作于点

四边形是菱形，，，，
，，，，，，，
，，，
，，，
，，，，的最小值为．
【点睛】本题考查轴对称最短问题，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．
20．（2023上·广东深圳·九年级校考阶段练习）【问题情境】
（1）我们曾经研究过这样的问题：已知正方形，点在的延长线上，以为一边构造正方形，连接和，如图1所示，则和的数量关系为______，位置关系为______
【继续探究】（2）如图2所示，若正方形的边长为4，点是边上的一个动点，以为一边在的右侧作正方形，连接、，连接，若，求线段的长度．
【拓展提升】（3）在（2）的条件下，如图3，当点在射线上运动时，求的最小值为______

【答案】（1），；（2）；（3）
【分析】（1）由“”可证，可得结论．
（2）过点作，交延长线于点，，得出，，求出，根据勾股定理求出；
（3）说明点的运动轨迹是直线，直线与直线之间的距离为4，作点关于直线的对称点，连接，．在中，可得．根据求解即可．
【详解】解：（1）如图1中，延长交于，

四边形是正方形，四边形是正方形，
，，，
，，，
，，即，
，故答案为：，．
（2）如图，过点作，交延长线于点，
∵，∴，∵，∴，
又∵，∴，∴，
∴，∴．
（3）解：如图4中，
由（2）可知，，点的运动轨迹是直线，直线与直线之间的距离为4，作点关于直线的对称点，连接，．在中，，，，
，，，，
，的最小值为．故答案为：．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用轴对称解决最值问题，属于中考压轴题．
21．（2023·安徽宿州·八年级校联考期中）小明同学在做作业时，遇到如下问题：如图1，已知：等边，点在上，以为边作等边，连接，求证：．

(1)请你解答小明的这道题；(2)在这个问题中，当在上运动时，点是否在一条线段上运动？（直接答“是”或“不是”）;(3)如图2，正方形的边长为2，是直线上的一个动点，以为边作正方形按逆时针排列）．当在直线上运动时，点是否在一条直线上运动？如果是，请你画出这条直线并证明；如果不是，也请说明理由；(4)连接，．①求证：是定值；②求的最小值（直接写出答案即可）．
【答案】(1)见解析(2)是(3)是．证明画图见解析(4)①是定值，，证明见解析；②
【分析】（1）证明，由全等三角形的性质得出．
（2）证得，则在以为一条边的角的另一边上，当点与重合，与重合；当点与重合时，的长最长，可得出结论；
（3）过作于，证明，得出．则可得出结论．
（4）①延长交直线于，证得四边形是矩形，得出，，在中，得出，则答案得出．②过作关于的对称点，连接，交直线于，则，由勾股定理求出即可得出答案．
【详解】（1）证明：和是等边三角形，
，，，，，
即，，．
（2）解：是；证明：，，，
在以为一条边的角的另一边上，当点与重合，与重合；
当点与重合时，的长最长，即为的长；故点在一条线段上运动．
（3）解：是． 证明：过作于，

四边形和四边形是正方形，，，，
，，，
又，，，．
又，点是在与的距离为2的直线上，过作直线，即点在直线上运动．
（4）①延长交直线于，由（1）可得，．

，，，
又，四边形是矩形，，，
在中，，是定值．
②过作关于的对称点，连接，交直线于，则，
在△中，，，．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了等边三角形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，轴对称的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．