专题17 将军饮马模型解读与提分精练-2024-2025学年七年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北师大版2024）

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TOC \ "1-4" \h \z \u \l "_Tc1298" PAGEREF _Tc1298 \h 2
\l "_Tc22700" 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动） PAGEREF _Tc22700 \h 2
\l "_Tc26551" 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动） PAGEREF _Tc26551 \h 29
\l "_Tc23998" 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动） PAGEREF _Tc23998 \h 53
\l "_Tc4134" 模型4.将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动） PAGEREF _Tc4134 \h 68
\l "_Tc425" PAGEREF _Tc425 \h 79
模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动）
条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。
模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧：

模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧：

图（1） 图（2）
模型（1）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。
模型（2）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段A’B的长度。
例1．（2024·福建·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C在直线MN上，∠BCN＝30°，点P为MN上一动点，连结AP，BP．当AP+BP的值最小时，∠CBP的度数为 _____．
例2．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，等边中，于点H，点D为的中点，，点E为上一点，连接，如果，那么m的最小值为 ．
例3．（23-24八年级上·河南商丘·期中）如图，在中，，，，D是中点，垂直平分，交于点E，交于点F，在上确定一点P，使最小，则这个最小值为（ ）

A．3B．6C．9D．12
例4．（23-24八年级上·山东济宁·期末）如图，在中，，，于点．是上的一个动点，于点，连接．若，则的最小值是（ ）

A．5B．6C．8D．9
例5．（23-24八年级上·湖北十堰·期末）如图，中，，点F、E分别是上的动点，则的最小值 ．

模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动）
条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值。
模型（1）：点A、B在直线m同侧： 模型（2）：点A、B在直线m异侧：


图（1） 图（2）
模型（1）：如图（1），延长AB交直线m于点P，当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|＜AB，当A、B、P共线时，有|PA-PB|=AB，故|PA-PB|≤AB，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB的长度。
模型（2）：如图（2），作点B作关于直线m的对称点B’，连接AB’交直线m于点P，此时PB=PB’。
当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|=|P’A-P’B’|＜AB’，
当A、B、P共线时，有|PA-PB|=|PA-PB’|=AB’，故|PA-PB|≤AB’，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB’的长度。
例1．（2024·安徽马鞍山·八年级期末）如图，两村在一条小河的同一侧，要在河边建水厂向两村供水．
（1）若要使自来水厂到两村的距离相等，厂址应选在哪个位置？
（2）若要使自来水厂到两村的输水管用料最省，厂址应选在哪个位置？
（3）自来水厂建好后，在招收职工的试卷中有道题“请你在河流上找出一点，使的值最大．”你能找到点吗？请将上述三点在下列各图分别标出，并保留尺规作图痕迹．
例2．（2024·江苏泰州·八年级专题练习）如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线交AC于点N，交AB于点M，AB＝12cm，△BMC的周长是20cm，若点P在直线MN上，则PA﹣PB的最大值为_______.
例3．（2023·江苏南通·模拟预测）如图，已知 为等腰直角三角形，，， 为 上的动点，则 的最大值为（ ）

A．4B．5C．6D．8
例4．（2024·湖北·八年级期中）如图，，为上一动点，，过作交直线于，过作交直线于点，若，当的值最大时，则 ________ ．
模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动）
如图，A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（AP+PQ+QA）最小。

证明：如上图，作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B,
根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’，
再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A’A’’的长度。
例1．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）如图，锐角中，，的面积是6，D、E、F分别是三边上的动点，则周长的最小值是（ ）
A．3B．4C．6D．7
例2．（2024·江苏·无锡八年级期末）如图，已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP＝4，点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于4，则α＝（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
例3．（2024·江苏九年级一模）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D，E，F分别是AB，BC，AC边上的动点，则△DEF的周长的最小值是（ ）
A．2.5B．3.5C．4.8D．6
模型4.将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动）
模型（1）：两定点+两动点
条件：A，B为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。
两个点都在直线外侧（图1-1）；内外侧各一点（图1-2）；两个点都在内侧（图1-3）

图1-1 图1-1 图1-1

图1-1 图1-1 图1-1
模型（1-1）（两点都在直线外侧型）
如图（1-1），连结AB,根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB的长度。
模型（1-2）（直线内外侧各一点型）
如图（1-2），作点B关于定直线n的对称点B’,连结AB’,根据对称得到：QB=QB’，故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’，
根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB’的长度。
模型（1-3）（两点都在直线内侧型）
如图（1-3），作点B关于定直线n的对称点B’,作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B’,
根据对称得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’，
根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段A’B’的长度。
例1．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，，，分别为，上的点，，，分别为，上的动点，则的最小值为 ．
例2．（2024·湖北·八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，以BC为边向左作等边△BCE，点D为AB中点，连接CD，点P、Q分别为CE、CD上的动点．
（1）求证：△ADC为等边三角形；（2）求PD+PQ+QE的最小值．
1．（2024·河南七年级期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为，平分，若、分别是、上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·甘肃白银·七年级期末）如图，在中，，，，，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任意一点，则周长的最小值是（ ）
A．7B．6C．12D．8
3.（2024•绵阳八年级期末）如图，在四边形ABCD中，∠C＝70°，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．70°
4．（23-24八年级上·辽宁铁岭·阶段练习）如图，已知，点M在边上，且，点N和点P分别是和上的一个动点，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．（23-24八年级上·安徽阜阳·期末）如图，在中，，，，是的角平分线，点、点分别是线段和边上的动点，点在边上，且，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·福建厦门·统考一模）小梧要在一块矩形场地上晾晒传统工艺制作的蜡染布．如图所示，该矩形场地北侧安有间隔相等的7根栅栏，其中4根栅栏处与南侧的两角分别固定了高度相同的木杆，，，，，．这些木杆顶部的相同位置都有钻孔，绳子穿过木杆上的孔可以被固定．小梧想用绳子在南侧的两条木杆，和北侧的一条木杆上连出一个三角形，以晾晒蜡染布．小梧担心手中绳子的总长度不够，那么他在北侧木杆中应优先选择（ ）
A．B．C．D．
7．（23-24八年级上·陕西延安·阶段练习）如图，，点为射线上一定点，为线段延长线上一定点，且，点A关于射线对称点为，连接，，，若为直线上一个动点，则周长的最小值为（ ）．

A．12B．24C．36D．48
8．（23-24四川省成都市七年级期末）如图，在面积为的锐角中，，，D是内部一点，E，F分别是边上的动点，连接．若的面积为1，则周长的最小值为 ．
9．（2024·陕西安康·八年级期末）如图，的面积为24，的长为8，平分，E、F分别是和上的动点，则的最小值为____________．
10．（2024·清远市八年级期中）如图，点D是锐角内一点，于点E，点F是线段的一个动点，点G是射线的一个动点，连接、、，当的周长最小时，与的数量关系式是________．

11．（2024·和平区·八年级期末）如图，，点M，N分别是边，上的定点，点P，Q分别是边，上的动点，记，，当的值最小时，的大小=___（度）．
12．（2024·湖南雨花·初二期末）如图，∠AOB=30°，点P是它内部一点，OP=2，如果点Q、点R分别是OA、OB上的两个动点，那么PQ+QR+RP的最小值是__________．
13．（2024·广东·八年级专题练习）如图，，，AD是∠BAC内的一条射线，且，P为AD上一动点，则的最大值是______．
14．（2024·福建福州·八年级期中）如图，在等边中，E是边的中点，P是的中线上的动点，且，则的最大值是________．
15．（23-24八年级上·广东东莞·期末）如图，等边三角形的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边中点．若，当取得最小值时，则的度数为 ．

16．（2024·山东青岛市·八年级期末）如图，等边（三边相等，三个内角都是的三角形）的边长为，动点和动点同时出发，分别以每秒的速度由向和由向运动，其中一个动点到终点时，另一个也停止运动，设运动时间为，，和交于点．
（1）在运动过程中，与始终相等吗？请说明理由；（2）连接，求为何值时，；
（3）若于点，点为上的点，且使最短．当时，的最小值为多少？请直接写出这个最小值，无需说明理由．
17．（23-24八年级下·北京西城·开学考试）（1）如图1，A、B是直线同旁的两个定点． 请你在直线上确定一点，使的值最小．
（2）如图2，，是内一点，． 请你在上找一点，在上找一点，使得的周长最小． 要求：画出图形，并计算这个最小值是 ．