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专题04 特殊的平行四边形中的最值模型之将军饮马模型-2023-2024学年八年级数学下册常见几何模型全归纳（苏科版）
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这是一份专题04 特殊的平行四边形中的最值模型之将军饮马模型-2023-2024学年八年级数学下册常见几何模型全归纳（苏科版），文件包含专题04特殊的平行四边形中的最值模型之将军饮马模型原卷版docx、专题04特殊的平行四边形中的最值模型之将军饮马模型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共53页， 欢迎下载使用。
将军饮马问题从本质上来看是由轴对称衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，本专题就特殊的平行四边形背景下的将军饮马问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。在解决将军饮马问题主要依据是：两点之间，线段最短；垂线段最短；涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。
模型1.求两条线段和的最小值（将军饮马模型）
【模型解读】在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；
（1）点A、B在直线m两侧： （2）点A、B在直线同侧：
【最值原理】两点之间线段最短。 上图中A’是A关于直线m的对称点。
例1．（2023·湖南湘西·统考三模）如图所示，正方形的边长为2，点为边的中点，点在对角线上移动，则周长的最小值是（ ）
A．B．C．D．
例2．（2022下·广东广州·八年级校考期中）如图，正方形中，，连接，的平分线交于点E，在上截取，连接，分别交于点G，H，点P是线段上的动点，于点Q，连接，以下结论：①；②；③；④的最小值是，其中正确的结论有（ ）．
A．1B．2C．3D．4
例3．（2022·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，菱形，点、、、均在坐标轴上，，点，点是的中点，点是上的一动点，则的最小值是（ ）
A．3B．5C．D．
例4．（2023下·江苏·八年级专题练习）如图，已知菱形的面积为20，边长为5，点、分别是边、上的动点，且，连接、，、和点不重合，则的最小值为（ ）
A．B．C．10D．
例5．（2023上·江苏南通·九年级海南中学校考阶段练习）如图，点为矩形的对角线上一动点，点为的中点，连接，，若，，则的最小值为 ．
例6．（2023上·山东·九年级专题练习）如图，在矩形中，，，点E在上且．点G为的中点，点P为边上的一个动点，F为的中点，则的最小值为 ．
例7．（2023上·福建龙岩·九年级校考期中）如图，在平行四边形中，，，，点E是边上且．F是边上的一个动点，将线段绕点E逆时针旋转，得到，连接、，则的最小值 ．
模型2. 求多条线段和（周长）最小值
【模型解读】在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。
（1）两个点都在直线外侧： （2）一个点在内侧，一个点在外侧：
（3）两个点都在内侧：
（4）台球两次碰壁模型
1）已知点A、B位于直线m,n 的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短.
2）已知点A位于直线m,n 的内侧, 在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.
【最值原理】两点之间线段最短。
例1．（2023·四川广元·一模）如图，已知正方形边长为3，点E在边上且，点P，Q分别是边，的动点（均不与顶点重合），当四边形的周长取最小值时，四边形的面积是（ ）
A．B．C．D．
例2．（2023.无锡市初三数学期中试卷）方法感悟：如图①，在矩形中，，是否在边上分别存在点G、H，使得四边形的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由．
问题解决：
例3．（2023春·湖北黄石·八年级统考期中）如图，在矩形中，，，、分别是和上的两个动点，为的中点，则的最小值是________；
例4．（2024上·江苏镇江·八年级校考阶段练习）如图，、在的同侧，点为线段中点，，，，若，则的最大值为（ ）
A．18B．16C．14D．12
模型3.求两条线段差最大值
【模型解读】在一条直线m上，求一点P，使PA与PB的差最大；
（1）点A、B在直线m同侧：
延长AB交直线m于点P，根据三角形两边之差小于第三边，P’A-P’B＜AB，而PA-PB=AB此时最大，
因此点P为所求的点。
（2）点A、B在直线m异侧：
过B作关于直线m的对称点B’,连接AB’交点直线m于P,此时PB=PB’，PA-PB最大值为AB’
【最值原理】三角形两边之差小于第三边。
例1．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在菱形中，，对角线交于点，，点为的中点，点为上一点，且，点为上一动点，连接，则的最大值为________．
例3．（2023春·湖南永州·八年级统考期中）如图，在矩形中，，O为对角线的中点，点P在边上，且，点Q在边上，连接与，则的最大值为____________，的最小值为__________．
例4．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，四边形中，，，，，，点为直线左侧平面上一点，的面积为，则的最大值为______ ．
课后专项训练
1．（2023春·河南安阳·八年级统考期中）如图，在菱形中，，，点P是菱形内部一点，且满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．6D．
2．（2023春·福建厦门·八年级校联考期中）如图，在▱ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠D＝60°，点P、Q分别是AC和BC上的动点，在点P和点Q运动的过程中，PB+PQ的最小值为（ ）
A．4B．3C．2D．4
3．（2022·四川资阳·中考真题）如图，正方形的对角线交于点O，点E是直线上一动点．若，则的最小值是( )
A．B．C．D．
4．（2022·山东菏泽·统考中考真题）如图，在菱形ABCD中，，M是对角线BD上的一个动点，，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．2
5．（2022·安徽合肥·二模）如图，在矩形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA上的动点(不与端点重合)，若四点运动过程中满足AE=CG、BF=DH，且AB=10、BC=5，则四边形EFGH周长的最小值等于（ ）
A．10B．10C．5D．5
6．（2023上·湖北武汉·九年级校考期中）如图，平行四边形中，，，，是边上一点，且，是边上的一个动点，将线段绕点顺时针旋转，得到，连接、，则的最小值是（ ）
A．B．C．14D．
7．（2023上·辽宁朝阳·九年级校考阶段练习）如图，在矩形中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点N，M；②分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在矩形内交于点G；③作射线，若，F为边的中点，E为射线上一动点，则的最小值为（ ）
A．3B．C．D．5
8．（2023上·安徽宿州·九年级校联考期中）已知菱形的两条对角线长分别为和，、分别是边，的中点，是对角线上一点，则的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
9．（2023·安徽·统考二模）如图，在矩形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA上的动点(不与端点重合)，若四点运动过程中满足AE=CG、BF=DH，且AB=10、BC=5，则四边形EFGH周长的最小值等于（ ）
A．10B．10C．5D．5
10．（2022·山东泰安·二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E、F分别是边BC、CD上的动点，且EF＝4，点M是EF的中点，点Q是AB的中点，连接PQ、PM，则PQ+PM的最小值为（ ）
A．10B．C．8D．
11．（2024上·江苏泰州·八年级统考期中）如图，已知点在线段上，点是直线上方的一动点，且，连接，过点作，以点为圆心，为半径作弧交手点，连接．若，则的最大值是 ．
12．（2023上·湖北·九年级校考周测）如图，已知菱形的周长为8，面积为为的中点，若为对角线上一动点，记的最大值为，记的最小值为，则 ．
13．（2022·辽宁大连·统考一模）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，F分别在对角线AC和边AD上，连接DE，EF，若AC=4，BD=2，则DE，EF之和的最小值为______．
14．（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）如图，己知长方体，是棱上任意一点，是侧面对角线上一点，则的最小值是________．
15．（2022·四川眉山·中考真题）如图，点为矩形的对角线上一动点，点为的中点，连接，，若，，则的最小值为________．
16.如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60º，AC与BD交于点O，点N在AC上且AN＝2，点M在BC上且BM＝BC,P为对角线BD上一点，则PM－PN的最大值为 .
17．（2023·山东日照·校考二模）如图，在边长为1的正方形中，E为边上一动点（点E，B不重合），以为直角边在直线上方作等腰直角三角形，，连接，则在点E的运动过程中，周长的最小值是______．
18．（2022·河北邯郸·九年级校考期中）已知正方形，，点E是射线BC上一动点（不与点B重合），连接，线段绕点E顺时针旋转，得到线段，垂直于线段的延长线于点H，连接．(1)求证：．(2)求的度数．(3)连接，直接写出的最小值．
19．（2023下·海南·九年级校联考期中）如图1，已知四边形为正方形，连接．
(1)求证：；(2)如图2，若正方形的边长为4，是边上的一个动点．
①请判断线段与有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；
②连接，若，求线段长；③求的最小值．
20．（2023·山东青岛·九年级校联考期中）几何模型：条件：如图1，A、B是直线l同旁的两个顶点．
问题：在直线l上确定一点P，使的值最小．
方法：作点关于直线的对称点，连接交于点，则的值最小（不必证明）
模型应用：(1)如图2，已知平面直角坐标系中两定点和，P为x轴上一动点，则当的值最小时，点P的横坐标是___________，此时___________．
(2)如图3，正方形的边长为2，为的中点，是上一动点，连接，由正方形对称性可知，与关于直线对称，则的最小值是___________．
(3)如图4，正方形的面积为，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一动点，则的最小值为___________．
(4)如图5，在菱形中，，，点是边边的中点，点，分别是，上的两个动点，则的最小值是___________．
将军饮马问题从本质上来看是由轴对称衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，本专题就特殊的平行四边形背景下的将军饮马问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。在解决将军饮马问题主要依据是：两点之间，线段最短；垂线段最短；涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。
模型1.求两条线段和的最小值（将军饮马模型）
【模型解读】在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；
（1）点A、B在直线m两侧： （2）点A、B在直线同侧：
【最值原理】两点之间线段最短。 上图中A’是A关于直线m的对称点。
例1．（2023·湖南湘西·统考三模）如图所示，正方形的边长为2，点为边的中点，点在对角线上移动，则周长的最小值是（ ）
A．B．C．D．
例2．（2022下·广东广州·八年级校考期中）如图，正方形中，，连接，的平分线交于点E，在上截取，连接，分别交于点G，H，点P是线段上的动点，于点Q，连接，以下结论：①；②；③；④的最小值是，其中正确的结论有（ ）．
A．1B．2C．3D．4
例3．（2022·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，菱形，点、、、均在坐标轴上，，点，点是的中点，点是上的一动点，则的最小值是（ ）
A．3B．5C．D．
例4．（2023下·江苏·八年级专题练习）如图，已知菱形的面积为20，边长为5，点、分别是边、上的动点，且，连接、，、和点不重合，则的最小值为（ ）
A．B．C．10D．
例5．（2023上·江苏南通·九年级海南中学校考阶段练习）如图，点为矩形的对角线上一动点，点为的中点，连接，，若，，则的最小值为 ．
例6．（2023上·山东·九年级专题练习）如图，在矩形中，，，点E在上且．点G为的中点，点P为边上的一个动点，F为的中点，则的最小值为 ．
例7．（2023上·福建龙岩·九年级校考期中）如图，在平行四边形中，，，，点E是边上且．F是边上的一个动点，将线段绕点E逆时针旋转，得到，连接、，则的最小值 ．
模型2. 求多条线段和（周长）最小值
【模型解读】在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。
（1）两个点都在直线外侧： （2）一个点在内侧，一个点在外侧：
（3）两个点都在内侧：
（4）台球两次碰壁模型
1）已知点A、B位于直线m,n 的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短.
2）已知点A位于直线m,n 的内侧, 在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.
【最值原理】两点之间线段最短。
例1．（2023·四川广元·一模）如图，已知正方形边长为3，点E在边上且，点P，Q分别是边，的动点（均不与顶点重合），当四边形的周长取最小值时，四边形的面积是（ ）
A．B．C．D．
例2．（2023.无锡市初三数学期中试卷）方法感悟：如图①，在矩形中，，是否在边上分别存在点G、H，使得四边形的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由．
问题解决：
例3．（2023春·湖北黄石·八年级统考期中）如图，在矩形中，，，、分别是和上的两个动点，为的中点，则的最小值是________；
例4．（2024上·江苏镇江·八年级校考阶段练习）如图，、在的同侧，点为线段中点，，，，若，则的最大值为（ ）
A．18B．16C．14D．12
模型3.求两条线段差最大值
【模型解读】在一条直线m上，求一点P，使PA与PB的差最大；
（1）点A、B在直线m同侧：
延长AB交直线m于点P，根据三角形两边之差小于第三边，P’A-P’B＜AB，而PA-PB=AB此时最大，
因此点P为所求的点。
（2）点A、B在直线m异侧：
过B作关于直线m的对称点B’,连接AB’交点直线m于P,此时PB=PB’，PA-PB最大值为AB’
【最值原理】三角形两边之差小于第三边。
例1．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在菱形中，，对角线交于点，，点为的中点，点为上一点，且，点为上一动点，连接，则的最大值为________．
例3．（2023春·湖南永州·八年级统考期中）如图，在矩形中，，O为对角线的中点，点P在边上，且，点Q在边上，连接与，则的最大值为____________，的最小值为__________．
例4．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，四边形中，，，，，，点为直线左侧平面上一点，的面积为，则的最大值为______ ．
课后专项训练
1．（2023春·河南安阳·八年级统考期中）如图，在菱形中，，，点P是菱形内部一点，且满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．6D．
2．（2023春·福建厦门·八年级校联考期中）如图，在▱ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠D＝60°，点P、Q分别是AC和BC上的动点，在点P和点Q运动的过程中，PB+PQ的最小值为（ ）
A．4B．3C．2D．4
3．（2022·四川资阳·中考真题）如图，正方形的对角线交于点O，点E是直线上一动点．若，则的最小值是( )
A．B．C．D．
4．（2022·山东菏泽·统考中考真题）如图，在菱形ABCD中，，M是对角线BD上的一个动点，，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．2
5．（2022·安徽合肥·二模）如图，在矩形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA上的动点(不与端点重合)，若四点运动过程中满足AE=CG、BF=DH，且AB=10、BC=5，则四边形EFGH周长的最小值等于（ ）
A．10B．10C．5D．5
6．（2023上·湖北武汉·九年级校考期中）如图，平行四边形中，，，，是边上一点，且，是边上的一个动点，将线段绕点顺时针旋转，得到，连接、，则的最小值是（ ）
A．B．C．14D．
7．（2023上·辽宁朝阳·九年级校考阶段练习）如图，在矩形中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点N，M；②分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在矩形内交于点G；③作射线，若，F为边的中点，E为射线上一动点，则的最小值为（ ）
A．3B．C．D．5
8．（2023上·安徽宿州·九年级校联考期中）已知菱形的两条对角线长分别为和，、分别是边，的中点，是对角线上一点，则的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
9．（2023·安徽·统考二模）如图，在矩形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA上的动点(不与端点重合)，若四点运动过程中满足AE=CG、BF=DH，且AB=10、BC=5，则四边形EFGH周长的最小值等于（ ）
A．10B．10C．5D．5
10．（2022·山东泰安·二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E、F分别是边BC、CD上的动点，且EF＝4，点M是EF的中点，点Q是AB的中点，连接PQ、PM，则PQ+PM的最小值为（ ）
A．10B．C．8D．
11．（2024上·江苏泰州·八年级统考期中）如图，已知点在线段上，点是直线上方的一动点，且，连接，过点作，以点为圆心，为半径作弧交手点，连接．若，则的最大值是 ．
12．（2023上·湖北·九年级校考周测）如图，已知菱形的周长为8，面积为为的中点，若为对角线上一动点，记的最大值为，记的最小值为，则 ．
13．（2022·辽宁大连·统考一模）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，F分别在对角线AC和边AD上，连接DE，EF，若AC=4，BD=2，则DE，EF之和的最小值为______．
14．（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）如图，己知长方体，是棱上任意一点，是侧面对角线上一点，则的最小值是________．
15．（2022·四川眉山·中考真题）如图，点为矩形的对角线上一动点，点为的中点，连接，，若，，则的最小值为________．
16.如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60º，AC与BD交于点O，点N在AC上且AN＝2，点M在BC上且BM＝BC,P为对角线BD上一点，则PM－PN的最大值为 .
17．（2023·山东日照·校考二模）如图，在边长为1的正方形中，E为边上一动点（点E，B不重合），以为直角边在直线上方作等腰直角三角形，，连接，则在点E的运动过程中，周长的最小值是______．
18．（2022·河北邯郸·九年级校考期中）已知正方形，，点E是射线BC上一动点（不与点B重合），连接，线段绕点E顺时针旋转，得到线段，垂直于线段的延长线于点H，连接．(1)求证：．(2)求的度数．(3)连接，直接写出的最小值．
19．（2023下·海南·九年级校联考期中）如图1，已知四边形为正方形，连接．
(1)求证：；(2)如图2，若正方形的边长为4，是边上的一个动点．
①请判断线段与有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；
②连接，若，求线段长；③求的最小值．
20．（2023·山东青岛·九年级校联考期中）几何模型：条件：如图1，A、B是直线l同旁的两个顶点．
问题：在直线l上确定一点P，使的值最小．
方法：作点关于直线的对称点，连接交于点，则的值最小（不必证明）
模型应用：(1)如图2，已知平面直角坐标系中两定点和，P为x轴上一动点，则当的值最小时，点P的横坐标是___________，此时___________．
(2)如图3，正方形的边长为2，为的中点，是上一动点，连接，由正方形对称性可知，与关于直线对称，则的最小值是___________．
(3)如图4，正方形的面积为，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一动点，则的最小值为___________．
(4)如图5，在菱形中，，，点是边边的中点，点，分别是，上的两个动点，则的最小值是___________．
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