北师大版八年级数学下册几何模型讲义专题03中点模型之三线合一模型、垂直平分线模型、平行线夹中点模型(原卷版+解析)

这是一份北师大版八年级数学下册几何模型讲义专题03中点模型之三线合一模型、垂直平分线模型、平行线夹中点模型(原卷版+解析)试卷主要包含了垂直平分线模型5，等腰三角形的“三线合一”模型7等内容，欢迎下载使用。
常见的中点模型：①垂直平分线模型；②等腰三角形“三线合一”模型；③“平行线+中点”构造全等或相似模型（与倍长中线法类似）；④直角三角形斜边中点模型；⑤中位线模型；⑥中点四边形模型。本专题就中点模型的前三类模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
TOC \ "1-4" \h \z \u \l "_Tc23281" PAGEREF _Tc23281 \h 1
\l "_Tc201321764" 模型来源 PAGEREF _Tc201321764 \h 1
\l "_Tc201321765" 真题现模型 PAGEREF _Tc201321765 \h 2
\l "_Tc201321766" 提炼模型4
\l "_Tc201321768" 模型运用5
\l "_Tc18467" 模型1.垂直平分线模型5
\l "_Tc3175" 模型2.等腰三角形的“三线合一”模型7
\l "_Tc22223" 模型3.“平行线+中点+对顶角”构造全等模型10
\l "_Tc18836" 14
垂直平分线模型和等腰三角形的“三线合一”模型源于垂直平分线定理和等腰三角形的性质定理；垂直平分线定理源于欧几里得《几何原本》中对对称性和等距点的研究，其核心性质与逆定理通过全等三角形证明；等腰三角形的性质定理源于等腰三角形的对称性，其性质在古希腊几何学中已有应用，现代证明通过全等三角形完成。“平行线+中点+对顶角”构造全等模型的核心是通过‌平行线性质‌与‌中点条件‌结合，利用‌对顶角相等‌或‌同位角/内错角相等‌，证明三角形全等。
（四川眉山·中考真题）如图，在中，，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，过点，作直线交于点，连接，则的周长为（ ）
A．7B．8C．10D．12
【答案】C
【详解】解：由作图知，垂直平分，，
的周长，
，，的周长，故选：C．
（2025·湖南·模拟预测）如图，在中，，平分交于点D，，，则的面积为 ．
【答案】15
【详解】解：在中，，平分交于点，，，
，，即的面积为，故答案为：．
（2026七年级下·山东烟台·期末）在等腰中，，点D，E在射线上，，过点E作，交射线于点F．请解答下列问题：
(1)如图1，当点E在线段上，是的角平分线时，线段之间存在怎样的数量关系？小颖通过观察、分析、思考，探究出了辅助线的添加方法：延长交于一点．从而很快地解决了问题．请写出本题的证明过程；
(2)如图2，当点E在线段的延长线上，是的角平分线时，若，则 ；（请直接写出结果）；
(3)如图3，当点E在线段的延长线上，是的外角平分线时，线段之间存在怎样的数量关系？请写出证明过程．
【答案】(1)，见解析(2)(3)，见解析
【详解】（1），理由如下：如图1，延长交于点M．，，

，，，，平分，，
，即，，，
，，，由得．
（2）如图2，延长相交于点N，
，，，，
，，，，
又，，，，，
平分，，，
即，，，
，，，
又，．故答案为：6．
（3），理由如下：如图3，延长与相交于点G，
，，，，
又，，，平分，，
，，，，
，，，
由得．
1）垂直平分线模型
条件：如图，在三角形ABC中，DE⊥BC，且D为BC中点，结论：BE=EC。
证明：∵DE⊥BC，∴∠BDE=∠CDE=90°，∵D为BC中点，∴BD=CD，
∵DE=DE，∴，∴BE=CE.

2）等腰三角形的“三线合一”模型
条件：如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，结论：①AD为BC边上的中线（即BD=CD）；②AD为∠BAC 的角平分线（即∠BAD =∠CAD）；③AD为BC边上的高线（即AD⊥BC）。
证明：我们不妨以①为结论证明，其他情况证明也是类似的证明全等即可。
由题意知：AB=AC，BD=CD，∵AD=AD，∴，∴∠BAD =∠CAD，AD⊥BC。
注意：其中三个结论已知其一便可证明其他两个结论。
3）“平行线+中点+对顶角”构造全等模型
我们把这种情况叫做平行线间夹中点.处理这种情况的一般方法是：延长过中点的线段和平行线相交，即“延长中线交平行”构造全等；当然有时候也需要自己构造平行线的辅助线求解。
条件：如图，AB//CD，点E是BC的中点，可延长DE交AB于点F。结论：。
证明：∵AB//CD，∴∠C=∠FBE，∠D=∠BFE，
∵点E是BC的中点，∴BE=CE，∴（AAS）。
模型1.垂直平分线模型
例1（2026八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，AD是边上的高线，CF是边AB上的中线，DE是线段CF的垂直平分线．已知，则 ．

【答案】30°/度
【详解】解：如图，连接，

∵，∴，∵是边上的中线，∴，
∵是线段的垂直平分线，∴，∴，
∴，∴，故答案为：．
例2（2026八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在中，是边的垂直平分线．若，则的周长为 ．
【答案】21
【详解】解：∵是边的垂直平分线，∴，
∴的周长为；故答案为：21．
例3（2026八年级上·重庆·期中）如图，等腰三角形底边的长为，面积是，腰AB的垂直平分线交于点，若为边上的中点，为线段上一动点，则的周长最短为 ．
【答案】8
【详解】解：如图所示，连接，
∵，为边上的中点，∴，，
∴，且，∴，
∵腰AB的垂直平分线交于点，∴，
∴的周长为，∵，
∴当点三点共线时，值最小，此时的周长最短，最短为，故答案为：8 ．
例4（2026八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，的角平分线与的垂直平分线相交于点D，，，垂足分别为E、F．(1)求证：；(2)若，求的周长．
【答案】(1)见解析(2)的周长为11．
【详解】（1）证明：连接，

∵D在的中垂线上，∴，∵，，平分，
∴，，∴，∴；
（2）解：∵平分，∴，∵，，∴，
又∵，∴，∴，由（1）可知，
∴的周长为：．
模型2.等腰三角形的“三线合一”模型
例1（2026八年级上·重庆·期末）如图，为等边三角形，，垂足为点E，则下列结论中，正确的个数是（ ）
①；②；③线段是的对称轴；④线段AE是的角平分线．
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【详解】解：∵为等边三角形，，
∴，，故结论①②正确，
∵为等边三角形，，∴所在直线是的对称轴，
∴“线段是的对称轴”不正确，故结论③错误；
∵为等边三角形，，∴，
∴线段是的角平分线，故结论④正确．故正确个数有3个．故选：C．
例2（2026八年级上·湖北襄阳·期末）如图，，，若，则 ．
【答案】/14度
【详解】解：∵，，∴，∴，
∵，∴，
∴，故答案为：．
例3（2026八年级下·陕西西安·期中）如图，在边长为10的等边中，点M在边的延长线上，点N在边上，且，若，则的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【详解】过M点作于D点，则，
∵是等边三角形，，，，
，，中，，，
，．故选：B
例4（2026上·山东·八年级统考期中）如图，在中，，D是边上一点，垂直平分，交于点E，交于点F，连接．(1)说明：；(2)若，求的度数．
【答案】(1)见详解(2)
【详解】（1）证明：∵垂直平分，
（2）解：∵，
平分
模型3.“平行线+中点+对顶角”构造全等模型
例1（2026七年级下·重庆大渡口·期末）如图，在中，点是边上一点，点是边的中点，过作，交的延长线于点，若，则的长为（ ）
A．10B．9C．8D．7
【答案】C
【详解】解：∵，∴，∴，
∵点是边的中点，∴，∵，∴，
在和中，，∴，∴，故选：C．
例2（2026八年级下·浙江温州·期中）如图，的顶点C在等边的边上，点E在的延长线上，G为的中点，连接．若，则的长为 ．
【答案】/2.5
【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，
∵，∴，∴，
∵是等边三角形，G为的中点，∴，延长交于点H，
∵，∴，在和中，，
∴，∴，∵，∴，
∵，∴是等边三角形，
∴，∴，故答案为：．
例3（2025·天津和平·二模）如图，在四边形中，，，，．
（1）的长为 ；（2）若点是的中点，点在边上，且，连接，则的长为 ．
【答案】
【详解】解：（1）在中，，，，
，故答案为：；
（2）如图，延长交的延长线于点，作于点，
，，四边形是矩形，，，
，，点是的中点，，
，，，
，，
，，故答案为：．
例4（2026八年级下·浙江湖州·期中）已知平行四边形，E为边上的中点，为边上的一点．(1)如图，连接并延长交的延长线于点，求证：；
(2)如图，若，求；
(3)如图，若为的中点，为的中点，，求线段的长．
【答案】(1)见解析(2)(3)
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
为边上的中点，，，；
（2）解：四边形是平行四边形，，
连接并延长交的延长线于点，

由（1）可得，，，
，，，，；
（3）解：连接并延长交的延长线于点，由（1）可得，
，，，
，，
，，，为直角三角形，
为的中点，为的中点，设，
，
，，，
，．
1．（2026八年级上·广东·期中）如图，在中，，，点D为的中点，于点E，则与的比值等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：连接，中，，，为中点，
，，，
∴，即
∴∴∴．故选：C．
2．（2026八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，，，则的值为（ ）
A．12B．10C．8D．6
【答案】A
【详解】解：过点 作，
∵，∴，在中， ，
在 中，，∴，
∴，∴，
化简得，∴，∴．故选：A．
3．（2026上·江苏·八年级专题练习）如图，中，是边上的中线，M是上的一个动点，作交于N，则的最小值为（ ）
A．10B．12C．D．
【答案】C
【详解】解：∵是边上的中线，∴，
∴是关于中线的对称点，作于，交于，
此时是的最小值，
∵是边上的中线，∴，∴，
∵，∴，
∴．∴的最小值为，故选：C．
4．（2026上·浙江金华·八年级校联考阶段练习）如图，已知，点P在边OA上，OP＝4，点M，N在边OB上，PM＝PN，且，则（ ）
A．8B．6C．D．
【答案】C
【详解】解：过作于C，
∵，，∴．∴，
∵，，∴，∴，故选：．
5．（2026八年级上·湖南衡阳·期中）如图，中，平分，垂直平分交于点E，交于点F，连接，若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：∵平分，，∴，，
又，∴，
∵垂直平分，∴，∴，
∴，故选：A．
6．（2026下·江苏徐州·八年级统考期末）在中，，于点，点为的中点，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：连接CE，并延长CE，交BA的延长线于点N，
∵四边形ABCF是平行四边形，∴AB∥CF，AB＝CF，∴∠NAE＝∠F，
∵点E是的AF中点，∴AE＝FE，
在△NAE和△CFE中， ，∴△NAE≌△CFE（ASA），∴NE＝CE，NA＝CF，
∵AB＝CF，∴NA＝AB，即BN＝2AB，∵BC＝2AB，∴BC＝BN，∠N＝∠NCB，
∵CD⊥AB于D，即∠NDC＝90°且NE＝CE，∴DE＝NC＝NE，
∴∠N＝∠NDE＝50°＝∠NCB，∴∠B＝80°．故选：D．
7．（2026八年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，，，的角平分线与的垂直平分线交于点D．，，垂足分别为E，F．则 ．
【答案】
【详解】解：如图，连接，，
是的平分线，，，，，
在和中，，，，，
∵点D在的垂直平分线上，．
在和中，，，
，．
，，．故答案为：．
8．（2026九年级上·辽宁沈阳·开学考试）如图， 在中，，， ， 求 ．
【答案】
【详解】解：在上取一点，使得，，作于点，于点，
，，是等腰三角形，，
又，，，
且是等腰三角形，
在中，，
，，，
在中，，，
在中，．故答案为：．
9．（2026八年级下·浙江金华·开学考试）如图，在中，，，
于P，则 ．
【答案】9.6
【详解】解：过点作，
∵，，∴，∴，
∵，∴，即：，∴，故答案为：9.6．
10．（2026八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，，点E是边AD上的点，平分平分有下列结论：①，②E为AD中点，③，④，其中正确的有 ．
【答案】②③④
【详解】解：∵平分平分∴，
∵，∴，∴
∴，∴，故④正确；如图，延长交CD延长线于，
∵CE平分，∴，∵，∴，
∴，∴，∵，∴，
∵，∴ (ASA)，∴，
∴，故③正确；
∵，∴，即点E为AD的中点，故②正确；
∵，∴，故①错误；故答案为：②③④
11．（2026上·江苏盐城·八年级校联考期中）如图，在中，，，是边上的中线，M为上一点，且，则 ．
【答案】15
【详解】解：∵，，∴，
∵，∴，
∵，是边上的中线，∴，
∴，故答案为：．
12．（2026上·黑龙江哈尔滨·九年级校考期中）如图，在四边形中，，，对角线，则线段的长为 ．

【答案】
【详解】解：如图，作，∵，∴，∵，
∴，∴，

∵，∴，∴，∴，根据勾股定理，，
∵，∴，∴，∴．故答案为：．
13．（2026上·辽宁营口·八年级校联考阶段练习）如图，在中，，，，平分，点分别是，边上的动点，则的最小值是 ．
【答案】
【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，连接、，
是、的对称轴，即是线段的垂直平分线，，
的最小值即为的最小值，即的最小值，
当时，即的值最小，此时与重合，与重合，最小值为的长，
在中，，，，
，的最小值是．故答案为：．
14．（2026八年级上·重庆长寿·阶段练习）如图，已知，，与的面积和为10， 则的平方 ．
【答案】76
【详解】解：如图，过点A作于点H，过点D作于点K．
，，
，，．
，．，，
又，，，
设，．与的面积和为10，
即，，
在中，，即，，
，．故答案为：76．
15．（2026九年级上·上海·开学考试）如图，D在的边上，，，，， 则的面积为 ．

【答案】36
【详解】解：如图，过作于，过作于，

∵，，，∴，∴，
∴，∴，∴，故答案为：
16．（2026·四川绵阳·八年级统考期中）如图，□ABCD的顶点C在等边的边BF上，点E在AB的延长线上，G为DE的中点，连接CG．若，，则BG的长为 ．
【答案】
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，CD＝AB，DC∥AB，
∵AD＝3，AB＝CF＝2，∴CD＝2，BC＝3，∴BF＝BC＋CF＝5，
∵△BEF是等边三角形，G为DE的中点，∴BF＝BE＝5，DG＝EG，
延长CG交BE于点H，连接BG，∵DC∥AB，∴∠CDG＝∠HEG，
在△DCG和△EHG中，，∴△DCG≌△EHG（ASA），∴DC＝EH，CG＝HG，
∵CD＝2，BE＝5，∴HE＝2，BH＝3，∵∠CBH＝60°，BC＝BH＝3，
∴△CBH是等边三角形，∴CH＝BC＝3，BG⊥CH，∴CG＝CH＝，
∴BG＝，故答案为：．
17．（2026八年级上·湖北武汉·阶段练习）四边形中，点为线段的中点．
(1)，平分．①如图1，若，，则_______；
②如图2，若，求证：平分；(2)和不平行时，，求证：．
【答案】(1)①；②证明见解析；(2)证明见解析
【详解】（1）解：①，，，，
，，点为线段的中点，，
在和中，，，
，，，
平分，，
，，，故答案为：；
② 如图，延长交的延长线于点，，，
在和中，，，，
平分，，，，
是的中点，平分；
（2）证明：如图，延长至点，使得，
在和中，，，，
，，，，．
18．（2026上·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）如图，在中，为钝角，边的垂直平分线分别交于点D，E．(1)若，求的大小；(2)若的平分线和边的垂直平分线相交于点F，过点F作垂直于的延长线于点G，求证：．
【答案】(1)(2)证明见解析
【详解】（1）解：如图1，连接，

∵为边的垂直平分线，∴，∴，
∵，∴，
∴为直角三角形，且，∴，
∴，
∴，即，∴；
（2）证明：如图2，在上截取，使，连接，，作于，
∵是的平分线，，，∴，，
∵，，，∴，∴，
∵是的垂直平分线，∴，∴，∴，
∵，，∴，∴，
∴，∴．
19．（2026八年级上·广西南宁·期中）如图．在中，，，分别垂直平分，交线段于，，的延长线交于点，设为中点，连接．(1)求的度数；(2)证明：；(3)连接，的周长为，的周长为，求的长．
【答案】(1)(2)见详解(3)
【详解】（1）解：，分别垂直平分，
，，
，，，
又，；
（2）连接，
，分别垂直平分，，
，点F在线段的垂直平分线上，又点为中点，；
（3），分别垂直平分，，，
的周长为，，的周长为，，
，，，．
20．（2026上·江苏苏州·八年级统考期中）在中，，，点为边上一动点，连接．

(1)边上的高的长度为 ；(2)如图1，若点从点出发，以每秒2个单位的速度向点运动，设运动时间为秒．是否存在值，使得为等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．(3)如图2，把沿着直线翻折，点的对应点为点，交边于点，当时，求的长度．
【答案】(1)2(2)或(3)
【详解】（1）解：过点A作于D，如图1，

∵，，∴
由勾股定理，得，∴边上的高的长度为2．
（2）解∶分两种情况∶
当时，则，∴解得∶ ；
当时，如图，则， ，由(1)知∶ ， ，∴，
由勾股定理，得，解得∶ ，

综上，当为等腰三角形时，t值为或．
（3）解：过点A作于D，过点A作于G，如图2，
由（1）知，，，由折叠知：，，
又∵，∴，
∴，，∵∴
在中，由勾股定理，得
∴．