北师大版八年级数学下册几何模型讲义专题08几何最值模型之逆等线模型(原卷版+解析)

这是一份北师大版八年级数学下册几何模型讲义专题08几何最值模型之逆等线模型(原卷版+解析)
TOC \ "1-4" \h \z \u \l "_Tc23281" PAGEREF _Tc23281 \h 1
\l "_Tc201321764" 模型来源 PAGEREF _Tc201321764 \h 1
\l "_Tc201321765" 真题现模型 PAGEREF _Tc201321765 \h 2
\l "_Tc201321766" 提炼模型3
\l "_Tc201321768" 模型运用6
\l "_Tc9092" 模型1.最值模型-逆等线模型（三角形边上的逆等线） PAGEREF _Tc9092 \h 2
\l "_Tc6471" 模型2.最值模型-逆等线模型（非边上的逆等线） PAGEREF _Tc6471 \h 16
\l "_Tc11976" 模型3.最值模型-逆等线模型（同边上的逆等线） PAGEREF _Tc11976 \h 24
\l "_Tc18836" 17
该模型并非源自某一特定历史文献或数学典籍，而是‌在中考数学命题实践中逐步总结形成的解题模型‌。并被一线教师和教研群体归纳为“逆等线”这一通俗名称。逆等线模型源于初中几何中的双动点最值问题‌，是解决“两条不相连线段相等且含动点”这类题型的典型方法，其核心思想是通过构造全等三角形实现线段转化，将复杂的双动点问题转化为可求解的折线段最短问题。
其理论基础可追溯到几何变换思想，如平移、翻折与旋转，通过构造SAS全等三角形，把原本分散的动线段“拼接”成共端点的路径，最终利用“两点之间线段最短”求解最值。这种思想也与“将军饮马”“胡不归”等经典模型一脉相承，体现了初中数学中“转化与构造”的核心思想。
逆等线：△ABC中，D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE，即逆向相等，则称AD和CE为逆等线。

逆等线模型特点：动线段长度相等，并且位置错开。
（2025·贵州铜仁·三模）【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在中，点、分别为、上的动点（不含端点），且．
【初步尝试】（1）如图1，当为等边三角形时，小李发现：将绕点顺时针旋转得到，连接，则，请思考并证明；
【类比探究】（2）小强尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，，于点，交于点，将绕点顺时针旋转得到，连接．求证：；
【拓展延伸】（3）潘老师提出新的探究方向：如图3，在中，，，连接、，求的最小值．
【答案】（1）见解析（2）见解析（3）
【详解】（1）证明∵为等边三角形，∴，
∵将绕点顺时针旋转得到，∴，∴，
∵，，∴，∴；
（2）证明：∵在中，，，∴是等腰直角三角形，
∴，由旋转的性质可得，
∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴，
∵，∴，∴，∴，
同理（1）证明，∴，∴，
∴，∴四边形是平行四边形，∴；
（3）解：∵，∴，，
如图所示，将绕点逆时针旋转得到，连接，则，，

，∴，
∵，∴，∴四边形是平行四边形，∴，
∵，∴，即，
在和中，，∴，
∴，∴，在中，，
当点三点共线时，，此时的值最小，
如图所示，过点作延长线于点，
∵，∴，
∴，∴，在中，，∴，
解得，（负值舍去），∴，∴，
在中，，∴的最小值为．
1）逆等线模型（三角形边上的逆等线）
条件：如图，在△ABC中，∠ABC＝，BC=m，AC=n，点D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE，求CD+BE的最小值。
证明：① AD在△ADC中，以CE为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等；
②即过点C作CF//AB，且CF=AC。（构造一边一角，得全等）；③构造出△ADC≌△CEF ( SAS)；证出EF=CD；
④CD+BE=EF+BE，根据两点之间，线段最短，连接BF，则BF即为所求，此时，B、E、F三点共线；
⑤求BF。构造直角三角形求出BG和FG，再利用勾股定理求出BF即可。
注意：题中的角度，在八年级能解决的只有一些特殊角度，如：30，45，60等。
2）逆等线模型（非边上的逆等线）
条件：已知三角形ABC中，AB=a，BC=b，CD为高，CE=BF，求AF+BE的最小值。

证明：①CE在△BEC中，以BF为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等；
②即过点B作BG//CE，且BG=BC=b。（构造一边一角，得全等）；
③构造出△BEC≌△GFB ( SAS)；证出EB=FG；
④AF+BE=AF+FG，根据两点之间，线段最短，连接AG，则AG即为所求，此时，A、F、G三点共线；
⑤求AG。在直角三角形求利用勾股定理求出AG即可。
3）逆等线模型（同边上的逆等线）
条件：已知在中，∠ACB=90°，AB=a，点E、D是线段AB上的动点，且满足AD=BE，
求CD+CE的最小值。

证明：①BE在△BEC中，以AD为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等；
②即过点A作AF//BC，且AF=BC=b。（构造一边一角，得全等）；
③构造出△BEC≌△ADF ( SAS)；证出CE=FD；
④CD+CE=CD+FD，根据两点之间，线段最短，连接CF，则CF即为所求，此时，F、D、C三点共线；
⑤求FC。在直角三角形求利用勾股定理求出FC即可，或利用全等证明FC=AB也可。
模型1.最值模型-逆等线模型（三角形边上的逆等线）
例1（2026九年级上·广东·阶段练习）在边长为4的等边中，分别为边上的动点，且总满足则的最小值 ．
【答案】
【详解】解：是等边三角形，，
，，，
当时，即时，最短，则有最小值，
此时，，，
的最小值为，故答案为：．
例2（2026九年级上·江苏无锡·期末）如图，在等腰△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，点 D、E 分别是 AB、AC 上两动点，且 AD=CE，连接CD、BE，CD+BE 最小值为 ．

【答案】
【详解】解：由题意可得如图所示：

过点A作AH∥BC，且AH=BC，连接DH，如图所示，∴∠HAD=∠ABC，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠HAD=∠BCE，
∵AD=CE，∴△HAD≌△BCE（SAS），∴HD=BE，∴CD+BE=CD+HD，
∴当CD+BE为最小时，即CD+HD为最小，
∴当点C、D、H三点共线时即为最小，连接CH，交AB于点M，过点M作MN⊥BC于点N，点A分别作AF⊥BC于点F，如图所示，即CH的长度为CD+BE的最小值，
∵AB=AC=5，BC=6，∴BF=CF=3，∴，
∵，∴，∵，
∴（AAS），∴，，
∵AF∥MN，点M是AB的中点，∴，
∴，∴在Rt△MNC中，，
∴，∴CD+BE的最小值为；故答案为．
例3（2026八年级下·广东江门·阶段练习）在中，分别为射线与射线上的两动点，且，连接，则最小值为 ．
【答案】
【详解】解：如图，过点作，使得，过点作于点，连接，
在中，，∴，∴，
∴，则当在线段上时，取的最小值，最小值为的长，
∵，，，∴
∵，∴，
在中，，∴，
∴，故答案为：．
例4（2026八年级上·江苏无锡·期中）锐角△ABC中，，，∠B＝60°，点D、E分别是边AB、AC上的动点，并且满足，则CD＋BE的最小值为 ．
【答案】．
【详解】解：如图作，使得．作交的延长线于．
，，，，，，
，的最小值为的长，
∵∴
∴在中，，，
，，∴
在中，．故答案为：．
例5（2026八年级上·重庆巫山·期中）如图：在中，，，，为，上的动点，且，连接，，当取得最小值时，线段的值为 ．（逆等线）
【答案】1
【详解】解：如图，作点C关于直线的对称点D，连接，，延长到H，使得，连接，，．
∵，，∴，
∵C，D关于对称，∴，，，
∴，∴四边形是矩形，∵，∴四边形是正方形，
∵在和中，，∴，∴，∴，
∵垂直平分线段，∴，∴，
∵，∴的最小值为线段的长，∴当点E在上时，取得最小值，
此时：在和中，，∴，
∴，∴，∴，∴的值为1，故答案为：1．
模型2.最值模型-逆等线模型（非边上的逆等线）
例1（2025·安徽宿州·校考二模）如图，是等边边上的高，在、上分别取一点E、F，使，连接、．若，设，则的最小值为（ ）

A．B．C．2D．3
【答案】B
【详解】解：如图1，过点C作，且在上取点，使得，连接．

是等边三角形，，，
，，，
，，，，
∴．连接，则，
共线时，m的值最小，为，如图2，．
∵在等边三角形中，，，∴，
∵，即，∴，
∴，∴在中，，即m的最小值为．故选：B．
例2（2026八年级上·湖北荆州·期中）如图，为等腰的高，其中分别为线段上的动点，且，当取最小值时，的度数为 ．
【答案】
【详解】解：如图1，作，且，连接交于M，连接，
是等腰三角形，，，，
，，，
，在与中，，
，∴当F为与的交点时，如图2，的值最小，
此时，，故答案为：．
例3（2026八年级下·湖北武汉·期末）如图，已知直线：分别交轴、轴于点两点，，分别为线段和线段上一动点，交轴于点，且．当的值最小时，则点的坐标为（ ）
A．B． C．D．
【答案】C
【详解】解：对于直线：，
当时，可有，当时，可有，解得，∴，
又∵，∴，如下图，取点，连接，
∵，∴，∴，∵，，∴，∴，
∵，，∴，∴，∴，
∵，∴的最小值为线段的长，即当共线时，的值最小，
设直线的解析式为，将点代入，
可得，解得，∴直线的解析式为，令，则，∴点，
∴当的值最小时，点的坐标为．故选：C．
模型3.最值模型-逆等线模型（同边上的逆等线）
例1（2026八年级下·湖北武汉·期中）如图，中，，，D、E为边上的两个动点（不与A、B点重合），且，连接、，若，则的最小值为 ．
【答案】
【详解】解：由题意知，∴，
如图，分别过、作、的垂线交于，则四边形是矩形，连接，
∴，，，∴，
∵，，，∴，∴，∴，
∴当三点共线时，最小，最小为，∴，
∴的最小值为，故答案为：．
例2（2026八年级上·浙江湖州·期末）知识呈现
请据此回答下面问题：
(1)如图1，在中，，，点、分别为线段、上的动点，且．
①求证：；②在点、运动过程中，求的最小值；
(2)如图2，在中，，，是斜边上的中线，、为线段上的两个动点，且，求的最小值；
(3)如图3，，在中，，，，点、分别为线段、上的动点，且，请直接写出的最小值．
【答案】(1)见解析；(2)2(3)
【详解】（1）解：∵，∴，，
在和中，，∴，∴．
如图，过点作，使得，过点作交的延长线于点，连接，，
∵，∴，在和中，∴，∴，
∴，∴当、、共线时，的最小值为，
∵∴是等边三角形，∴，
∵，，∴，∴，∴，
∴， ∴，，
∴，∴的最小值为．
（2）解：如图，延长到点，使得，连接，
∵是斜边上的中线，∴，∴，
∵，∴，即，
在和中，∴，∴，
∴，∴当、、共线时，的最小值为，∴的最小值为2．
（3）解：如图，在上截取，过点作交延长线于点，
同理（1）可得，∴，∴，
∴当，，共线时，最小值为，
∵，，∴，∴，
∴，∴，
∴，，
∴，∴最小值为．
1．（2025·安徽合肥·一模）如图，AD为等边△ABC的高，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE＝CF，当BF＋CE取得最小值时，∠AFB＝
A．112.5°B．105°C．90°D．82.5°
【答案】B
【详解】解：如图，作CH⊥BC，且CH＝BC，连接BH交AD于M，连接FH，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴AC＝BC，∠DAC＝30°，∴AC＝CH，
∵∠BCH＝90°，∠ACB＝60°，∴∠ACH＝90°﹣60°＝30°，∴∠DAC＝∠ACH＝30°，
∵AE＝CF，∴△AEC≌△CFH，∴CE＝FH，BF+CE＝BF+FH，
∴当F为AC与BH的交点时，如图2，BF+CE的值最小，
此时∠FBC＝45°，∠FCB＝60°，∴∠AFB＝105°，故选B．
2.（2025·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，，点，分别是边，上的动点，且，连接，，当的值最小时，的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：如图，将拼接到，连接交于点，

则，，，，
，当A，，三点共线，即点与点重合时，的值最小，
，，，，，
，即最小时，的度数为．故选：C．
4.（2026八年级上·北京朝阳·校考期末）如图，中，，，D，E为边上的两个动点，且，连接，，若，则的最小值为 ．
【答案】
【详解】过点，分别作的垂线和的垂线交于点，连接，，
，，，，，，
，，，，
，，，，
当，，三点不共线时，；当，，三点共线时，．
的最小值是的长，，，，
，，，的最小值是．故答案为：．
5.（2026七年级下·四川·期末）如图，在中，，，点为上一动点，在上取点，使，连接，，当的值最小时，的度数为 ．

【答案】
【详解】解：过点作，使，连接，交于点，

∵，∴，∴，∴，
当且仅当三点共线时，的值最小，此时点与点重合，
∵，，∴，
∴，∴，
∴；故答案为：．
6．（2026八年级下·江苏淮安·阶段练习）在等边△ABC中，AB＝4，点E在边BC上，点F在∠ACB的角平分线CD上，CE=CF，则AE+AF的最小值为 .
【答案】
【详解】过点C作CG⊥DC，并截取CG=AC，连接EG，如图所示：
∵为等边三角形，∴，，
∵CD平分，∴，
∵，∴，∴，
在和中，，，，
当A、G、E三个点在同一直线上时，的和最小，即最小，
的值最小为：．故答案为：．
7．（2025·四川乐山·二模）如图，等腰中，，平分，点N为上一点，点M为上一点，且，若当的最小值为4时，的长度是 ．
【答案】4
【详解】解：∵等腰中，，∴，
∵平分，∴，如图，作，使，连接，
∴，∵，，，
∴，∴，，∴，
∴当三点共线时，最小，即，
∵，，∴是等边三角形，∴，∴，故答案为：4．
8．（2026八年级上·山东济宁·期末）如图，为等腰的高，，，E、F分别为线段、上的动点，且，则的最小值为 ．
【答案】
【详解】如图，过点C作，且，并在的同侧，连接，交于点G，
连接，∵为等腰的高，∴，∴，∴，
又∵，∴，∴

∵为等腰的高，，∴，∴，
当F与点G重合时，取得最小值，
∴，∴，∴，∴，
∴．
9．（2026八年级下·福建宁德·期中）如图，在等边△ABC中，，点E在边BC上，点F在△ABC的角平分线CD上，，则的最小值是 ．
【答案】
【详解】解：如图：过点C作CG⊥AC，并截取CG=AC，连接EG，如图所示：
∵CD平分，∴，
∵为等边三角形，∴，，
∵，∴，∴，
在和中，，，
，当A、G、E三个点在同一直线上时，的和最小，即最小，
的值最小为：．故答案为：．
10．（2026八年级下·成都·期中）在中，，，，，分别为射线与射线上的两动点，且，连接，，则最小值为 ；的最大值为 ．
【答案】
【详解】解：如图，过点作，使得，过点作于点，连接，
在中，，∴，∴，
∴，则当在线段上时，取的最小值，最小值为的长，
∵，，，∴
∵，∴，
在中，，∴，
∴，如图所示，延长至使得，连接，则， ，
∴，故答案为：，．
11．（2025·陕西咸阳·二模）如图，在中，，，点P是边上的动点，在边上截取，连接，则的最小值为 ．

【答案】
【详解】解：过点C作，并截取，连接，设交于点E，
∵，∴，，∴，
∵，，，∴，∴，
∴，在中，，∴的最小值为，
如图，过点B作于F，∴，∴，∴，

∴，，∴，∴，故答案为：．
12．（2026八年级上·浙江·期中）如图，是边长为的等腰直角三角形，分别是上的点，，则的最小值为 ．
【答案】
【详解】解：要求的最小值及使最小，时，最短，
在是边长为的等腰直角三角形中，，
根据等面积法：，解得
的最小值为．故答案为：．
13．（2026八年级上·浙江金华·期中）如图，在，，点D、E分别是边、上的动点，满足，连接、，则的最小值为______________．
【答案】
【详解】解：过点C作，截取，连接，，

∵，∴，∴，
在和中，∴，∴，
∴，当B、D、F三点共线时，取最小值，
在中，，∴，
在中，，，∴，
∴的最小值为，故答案为：．
14．（2025·陕西西安·一模）如图所示，已知，，，点D和点E分别是和边上的动点，满足，连接，点F是的中点，则的最大值为 _________________．
【答案】/
【详解】解：过E作，且，连，．
取中点N，连、、．
∵，，∴.
∵，，∴，∴．
设，∵F为中点，∴，∴.
∵N为中点，∴．∴.
∵，∴最大值，∴.故答案为：.
15．（2026八年级上·浙江宁波·月考）如图，在直角坐标系中，轴于，连接，E，F分别是线段，上的动点，，则的最小值为__________．此时，点的坐标为__________．
【答案】
【详解】解：∵点，，轴于，∴，，，
∴，即垂直平分，，∴，
如图，在x轴上截取，连接，，则，
∵轴，∴轴，∴，∴，
在和中，，∴，∴，
∴，即当A，F，M三点共线时，为最小值，
∴，∴的最小值为；
∵，，设直线的表达式为：，
∴将点A，M代入表达式中，解得：，∴直线的表达式为：，
∵，∴直线的表达式为：，
联立，解得：，，∴此时，
∴，∴，则，∴．
16．（2026八年级下·重庆大渡口·期末）在中，于点D，点E是上一点，
(1)如图1，若，，求线段的长；
(2)如图2，若，连接，且，猜想，，之间的数量关系，并证明你的猜想；(3)如图3，若，，点F是线段上一点，且，连接交于点P，连接，当取最小值时，直接写出的面积．
【答案】(1)(2)；见解析(3)12
【详解】（1），，，，，
，，．
（2）；证明：如图，过作，作，两线交于点，则四边形是平行四边形．作于点，

设，则，，四边形是平行四边形，，，
，，，，
，，，，，
，，，，，
，．
（3）过作，且，
，，，，，
，，当、、三点共线时，最小
，，，，，
，，是等腰直角三角形，，，．
17．（2026八年级上·江苏南京·期末）回顾旧知（1）如图①，已知点A，B和直线l，如何在直线l上确定一点P，使最小？将下面解决问题的思路补充完整．
解决问题（2）如图②，在中，，E，F为上的两个动点，且，求的最小值．
变式研究（3）如图③，在中，，点D，E分别为上的动点，且，请直接写出的最小值．

【答案】（1）；两点之间，线段最短；（2）；（3）
【详解】解：（1）由对称可知：，
在中，根据两点之间，线段最短可知与的交点即为所求，
故答案为：；两点之间，线段最短；
（2）作，使得，连接交于点，连接，如图所示；∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∵，∴，，
∴，∴的最小值为；
（3）作，使得，作于点G，连接，如图所示：
∵，∴，
∵，，∴，∴，∴，
∵，，∴，
∵，∴，，
∴，∴，∴的最小值．
18．（2026八年级上·重庆·期中）如图1，已知等边，以为直角顶点向右作等腰直角，连接AD．(1)若，求点到AB边的距离；(2)如图2，过点作AD的垂线，分别交AD，CD于点，，探索，CF，之间的数量关系并证明；(3)如图3，点，分别为线段AD，BD上一点，，连接，，若，当取得最小值时，直接写出的面积．(提示：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方)
【答案】(1)(2)，证明见解析(3)
【详解】（1）解：过点作延长线于点，
是等边三角形，，，
是等腰直角三角形，，，
，，即点到AB边的距离为；
（2）解： 证明：证明：在上取，连接，，
是等边三角形，，，
是等腰直角三角形，，，，
，，，，，
，，垂直平分，，
，，，，
，，垂直平分AD，，
，，，
，，
在和中，，，，；
（3）解：过点作，且，连接，过点作于点，
，，，，
，，当、、三点共线时，最小，
由（2）知，，，，，，
，是等腰直角三角形，，
过点作于点，则是等腰直角三角形，，
，，，
，，，，
，即，解得：，．
我们已经学习过“将军饮马”问题（如下图），在解决该类问题时，常常利用“旋转”、“构造全等”等方法．
解决问题的思路
可以构造全等三角形，将两条线段集中到一个三角形中，据此，在l上任取一点，作点A关于l的对称点，与直线l相交于点C．连接，易知 ，从而有．这样，在中，根据“ ”可知与l的交点P即为所求．