小学数学苏教版（2024）四年级上册（2024）四 混合运算与数量关系（二）精品学案

这是一份小学数学苏教版（2024）四年级上册（2024）四 混合运算与数量关系（二）精品学案，文件包含第二单元_测试卷-原卷docx、第二单元_测试卷-解析卷docx、第二单元_测试卷-答案卷docx等3份试卷配套教学资源，其中试卷共13页， 欢迎下载使用。
一、学习目标
1. 能正确选择面积单位、计算面积并进行合理估计
2. 能正确测量和计算长方形、正方形的周长
3. 能区分周长与面积的含义，理解同一图形周长和面积的区别
4. 能发现并描述面积一定时周长变化、周长一定时面积变化的规律
二、重点
• 面积概念与面积单位
• 面积计算公式
• 周长概念与周长公式
• 周长与面积的区分
• 周长与面积的变化规律
三、难点
• 周长与面积的含义区分
• 面积相同周长不同的理解
• 周长与面积变化规律的发现
学习支架
周长与面积的对比
周长公式与面积公式的对比
四、知识要点
1. 面积的概念与比较方法
面积是指一个物体表面或封闭图形的大小。比较两个图形面积的大小，可以先把它们重叠在一起，观察哪个图形多出来的部分更大；也可以用同样大小的正方形纸片去铺，谁用的正方形纸片多，谁的面积就大。之所以选择正方形而不是圆形或三角形来测量面积，是因为正方形可以无缝隙、无重叠地铺满整个面，而圆形之间会留有空隙，三角形虽然也能铺满但摆放方向不好控制。比较面积时，如果两个图形形状不同、大小接近，直接看容易出错，一定要借助重叠或铺方格的方法才能准确比较。在方格纸上数格子也是常用的比较方法：把图形放在方格纸上，数一数图形覆盖了多少个完整的格子，格子数多的面积就大。遇到不满一格的情况，可以把两个半格合起来算一格。
2. 面积单位及进率
常用的面积单位有平方厘米（cm²）、平方分米（dm²）和平方米（m²）。边长1厘米的正方形，面积是1平方厘米××大约一个指甲盖的大小；边长1分米的正方形，面积是1平方分米××大约一个手掌的大小；边长1米的正方形，面积是1平方米××大约半张课桌的大小。面积单位之间的进率是100：1平方分米＝100平方厘米，1平方米＝100平方分米。这个进率和长度单位的进率不同××长度单位之间的进率是10（1分米＝10厘米），但因为面积是“面的大小”，要在两个方向上都扩大10倍，所以面积单位之间的进率是10×10＝100。换算时，从大单位到小单位要乘100，从小单位到大单位要除以100。例如3平方分米＝300平方厘米，500平方分米＝5平方米。选择面积单位时，要联系实际物体的大小：邮票、指甲盖等小物体用平方厘米，课本封面、手掌等中等物体用平方分米，教室地面、操场等大面用平方米。
3. 面积计算公式
长方形面积＝长×宽，用字母表示为S＝a×b。这个公式是怎样来的呢？想象用边长1厘米的小正方形铺满一个长方形：如果长是5厘米，一排就可以铺5个小正方形；宽是3厘米，可以铺3排。一共铺了5×3＝15个小正方形，所以面积是15平方厘米。也就是说，长告诉了我们每排能铺几个，宽告诉了我们能铺几排，长乘宽就得到了小正方形的总个数，也就是面积。正方形是长和宽相等的特殊长方形，所以正方形面积＝边长×边长，用字母表示为S＝a×a。使用公式计算时要注意：第一，必须知道长和宽的长度，而且单位要统一；第二，长和宽是指长方形两条不同方向的边，不要把长和长相乘；第三，计算结果要带上面积单位（如平方厘米），不能只写数字。如果题目给的不是标准的长和宽，而是其他条件（如周长和一条边），需要先求出未知的边长再计算面积。
4. 面积的估算
在实际生活中，有时不需要精确测量，只需要估计一个面的面积大约是多少。估算面积有几种常用方法。第一种是身体尺估测法：先用已知面积的身体部位作为参照××例如一拃（张开的大拇指与中指之间的距离）大约是1分米，手掌面积大约是1平方分米，然后用它去量一量、比一比。第二种是已知面积推算法：例如知道教室一块地砖的面积是1平方分米，数一数要估计的面大约有几块地砖那么大，就能算出大约的面积。第三种是参照物比较法：例如知道数学书封面大约是5平方分米，把报纸和数学书封面比一比，发现报纸大约是4个数学书封面那么大，就能估计报纸面积大约是20平方分米。估算时关键是找到合适的参照物，然后说清楚比较的过程。估算结果不需要完全精确，但数量级要对××不能用平方厘米来描述操场的面积，也不能用平方米来描述橡皮的面积。
5. 周长的概念
周长是指一个封闭图形一周边线的总长度。注意这里有两个关键词：一是“一周”，意思是从起点出发沿着边走一圈回到起点，不能走半圈或多走；二是“边线”，意思是只量边缘的长度，不管面有多大。理解周长可以动手操作：取一根细线，让它沿着书签的边缘刚好绕一圈，在细线上做好记号，然后把细线拉直，用直尺量出两个记号之间的长度，这就是书签的周长。对于规则图形（如长方形、正方形），可以直接测量每条边的长度再相加；对于不规则图形（如树叶的轮廓），通常用细线法××先绕一圈再量直线的长度。周长表示的是“边有多长”，是一个长度，所以单位是厘米、分米、米等长度单位，而不是面积单位。
6. 周长的测量方法
测量周长要根据图形的特点选择合适的方法。对于由直边组成的图形（如三角形、长方形），可以用直尺分别量出每条边的长度，然后把它们加起来。例如测量一个三角形，先量出三条边分别是3厘米、4厘米、5厘米，那么周长就是3＋4＋5＝12厘米。对于有弯曲边的图形（如树叶轮廓、硬币的边），直尺无法直接量出弯曲部分的长度，这时需要用细线法：把细线沿着图形边缘绕一圈，做好起点和终点的记号，再把细线拉直用直尺量出长度。还有一种方法是用直尺和圆规配合：先用圆规量出三角形一条边的长度，再把这条边“展开”画到一条直线上；接着依次展开另外两条边，最后量出三条边展开后的总长度。无论用哪种方法，测量时都要从同一个起点开始，沿边走一圈回到起点，确保量的是一周的完整长度。
7. 周长计算公式
长方形周长＝（长＋宽）×2，用字母表示为C＝（a＋b）×2。这个公式的含义是：长方形有两条长和两条宽，先把一条长和一条宽加起来（得到相邻两边长度之和），再乘2就是四条边的总长度。正方形周长＝边长×4，用字母表示为C＝a×4。因为正方形四条边都相等，所以用一条边的长度乘4就行了。使用公式计算时要注意几点：第一，长方形周长公式中的括号不能丢掉，必须先算长加宽的和，再乘2；如果忘了括号先乘后加，就会算出错误的结果。第二，不要把周长公式和面积公式混淆××周长是（长＋宽）×2，面积是长×宽，它们计算的量和使用的运算完全不同。第三，如果题目只给了周长和一条边，想求另一条边，可以先用周长除以2得到长与宽的和，再减去已知的边。例如周长是24厘米、长是8厘米，那么宽就是24÷2＝8＝4厘米。
8. 周长的多种算法
计算长方形的周长不止一种方法。例如一个长方形，长6厘米，宽4厘米。方法一：把四条边依次相加，6＋4＋6＋4＝20厘米。方法二：两条长和两条宽分别计算再相加，6×2＋4×2＝12＋8＝20厘米。方法三：先算一条长加一条宽的和，再乘2，（6＋4）×2＝10×2＝20厘米。三种方法结果完全相同，但方法三最简便××它只需要一次加法和一次乘法。这三种方法在道理上是相通的：方法一最直接，一条一条边加起来；方法二利用了对边相等的特征；方法三进一步把“一对长和宽”看成一个整体。做题时，如果题目没有指定方法，选自己最熟练、最不容易出错的方法就好。如果使用公式，推荐（长＋宽）×2这种写法，因为它既简便又能推广到以后学过的其他图形。
9. 周长与面积的含义区分
周长和面积描述的是同一个图形的两个不同方面。周长是“边有多长”××沿着图形边缘走一圈的长度；面积是“面有多大”××图形内部被覆盖了多少。可以从两个角度区分它们。第一，看测量的对象：周长量的是边线（一条线），面积量的是表面（一个面）。第二，看使用的单位：周长用长度单位（厘米、分米、米），面积用面积单位（平方厘米、平方分米、平方米）。在同一个长方形上，描出它一周的边线，这些边线的总长度就是周长；涂上颜色填满的部分，就是面积。一个有趣的事实是：两个图形的周长相等，面积不一定相等；两个图形的面积相等，周长也不一定相等。比如一个长方形长6厘米、宽2厘米，周长是16厘米、面积是12平方厘米；另一个长方形长5厘米、宽3厘米，周长也是16厘米、但面积是15平方厘米。它们周长相同，面积却不同。
10. 周长与面积的计算对比
同一个长方形，周长和面积的计算方法和结果完全不同。以长5厘米、宽3厘米的长方形为例：周长＝（5＋3）×2＝16厘米，这是把四条边的长度加起来；面积＝5×3＝15平方厘米，这是用长乘宽算出里面能铺多少个1平方厘米的正方形。周长计算的是“一圈的长度”，结果是长度数值加上长度单位；面积计算的是“里面有多大”，结果是面积数值加上面积单位。正方形同样如此：边长4厘米的正方形，周长＝4×4＝16厘米，面积＝4×4＝16平方厘米。虽然数字都是16，但它们的含义和单位完全不同××周长16厘米是四条边长度之和，面积16平方厘米是里面能铺16个1平方厘米的小正方形。千万不能因为数字相同就说周长和面积相等，因为它们的意义和单位都不一样。
11. 面积相同，周长可以不同
用同样数量的小正方形拼成不同形状的图形，它们的面积相同，但周长可能不同。例如用4个边长1厘米的正方形拼图：拼成一个2×2的大正方形，面积是4平方厘米，周长是2×4＝8厘米；拼成一个4×1的长条，面积也是4平方厘米，但周长是（4＋1）×2＝10厘米。为什么面积一样周长却不同呢？关键在于小正方形之间的拼接方式。拼得越“紧凑”，被遮住、藏在里面的边就越多，露在外面的边（也就是周长）就越短。拼成2×2的正方形时，每两个正方形之间有4条边被遮住了；拼成4×1的长条时，只有3条边被遮住。所以紧凑图形的周长更短。这个规律告诉我们：面积相等的图形，形状不同，周长就可能不同。反过来也成立：周长相等的图形，面积也可能不同。
12. 面积相同时周长的变化（拼接）
用6个边长1厘米的小正方形拼成不同的图形，每种拼法的面积都是6平方厘米（因为都用了6个小正方形），但周长各不相同。例如拼成6×1的长条，周长是（6＋1）×2＝14厘米；拼成3×2的长方形，周长是（3＋2）×2＝10厘米。拼成的图形越长、越窄，周长就越长；越接近正方形，周长就越短。这是因为越长的图形中，小正方形之间共用的边越少，露在外面的边就越多。可以发现：面积一定时，拼成的图形越“紧凑”（越接近正方形），周长就越短。这个发现对后面的规律学习很重要。
13. 面积一定时，长和宽越接近周长越短
用36个边长1厘米的正方形拼长方形或正方形，面积固定是36平方厘米。可以拼成不同的长和宽：长36厘米宽1厘米，周长是（36＋1）×2＝74厘米；长18厘米宽2厘米，周长是（18＋2）×2＝40厘米；长12厘米宽3厘米，周长是（12＋3）×2＝30厘米；长9厘米宽4厘米，周长是（9＋4）×2＝26厘米；长6厘米宽6厘米（即正方形），周长是6×4＝24厘米。观察这些数据可以发现一个明显的规律：面积都是36平方厘米，但长和宽越接近，周长就越短。当长和宽相等（拼成正方形）时，周长最短。这个规律不只对36成立，对任何固定的面积都成立：面积一定时，长和宽的差距越小，周长越短；拼成正方形时周长最短。
14. 周长一定时，长和宽越接近面积越大
反过来看，如果周长固定，面积会怎样变化呢？例如画周长是16厘米的长方形或正方形。可以列出：长7厘米宽1厘米，面积是7×1＝7平方厘米；长6厘米宽2厘米，面积是6×2＝12平方厘米；长5厘米宽3厘米，面积是5×3＝15平方厘米；长4厘米宽4厘米（正方形），面积是4×4＝16平方厘米。可以看到：周长都是16厘米，但面积各不相同。长和宽越接近，面积越大；拼成正方形时面积最大。这与前面“面积一定时长和宽越接近周长越短”的规律恰好是同一个道理的另一个方向。
15. 周长与面积变化规律总结
通过前面的学习，可以得到两条重要的结论。第一，面积相等的长方形，周长不一定相等；拼成的图形越接近正方形，周长越短。第二，周长相等的长方形，面积不一定相等；长和宽越接近，面积越大，拼成正方形时面积最大。这两条规律说明周长和面积之间虽然有联系，但并不是一一对应的关系××不能只看周长就确定面积，也不能只看面积就确定周长。要判断一个图形的周长和面积，必须分别计算，不能混淆。在做题时，如果遇到“用固定数量的方砖铺地”这类问题，面积是固定的，可以通过改变排列方式来比较不同方案的周长；如果遇到“用固定长度的篱笆围菜地”这类问题，周长是固定的，可以通过改变长和宽来比较不同方案的面积。灵活运用这两条规律，能帮助我们找到最优方案。
易错汇总
易错点 1
【错因】混淆了长度单位进率（10）和面积单位进率（100），没有理解面积是“两个方向都扩大10倍”
【自检方法】画一个边长1分米的正方形，分成1厘米×1厘米的小格，数一数一共有多少格××10×10＝100格
易错点 2
【错因】把周长公式和面积公式混淆，没有分清“算边的总长度”和“算面的大小”是两种不同的计算
【自检方法】先判断题目问的是“一圈多长”还是“里面多大”，再选对应公式
易错点 3
【错因】忽略了括号的作用，按照从左到右的运算顺序先算了乘法
【自检方法】写公式时先画括号，填入长和宽的值，确认先做加法再做乘法
易错点 4
【错因】只关注了数字相同，忽略了单位不同、含义不同
【自检方法】分别写出带单位的结果，检查单位名称是否相同××长度单位和面积单位不同，不能比较大小
易错点 5
【错因】只关注了面积相同，没有考虑到形状变化会影响边的排列方式
【自检方法】用小正方形拼一拼、算一算，看不同拼法的周长是否相同
易错点 6
【错因】对“一周”理解不到位，把一条边或一部分当成了全部
【自检方法】用手指沿着图形边缘走一圈，确认是否从起点出发又回到起点
易错点 7
【错因】直觉上觉得“长”就更“大”，没有用数据验证
【自检方法】列出周长相同但长宽不同的几种情况，分别算面积进行比较
五、易错精讲
【例1】
一块正方形地砖的边长是3分米，小明说它的周长和面积都是9，所以周长和面积相等。你同意吗？请说明理由。
【例2】
用6个边长1厘米的小正方形拼长方形，有几种拼法？分别算出每种拼法的面积和周长，哪种拼法周长最短？
【例3】
一个长方形花坛的周长是28米，长是9米。求这个花坛的面积。
【例4】
用一根长24厘米的铁丝围成一个正方形，这个正方形的面积是多少平方厘米？
【例5】
周长相等的两个长方形，面积一定相等吗？请举例说明。
【例6】
一块长方形菜地，长10米，宽6米。要在菜地四周围上篱笆，其中一面靠墙不需要围。求至少需要多少米篱笆？
易 错 专 练
基础辨析
1. 边长1厘米的正方形，面积是（________）；边长1分米的正方形，面积是（________）。
2. 3平方分米＝（________）平方厘米，500平方分米＝（________）平方米。
3. 长方形面积＝长＋宽。（ ）
4. 周长相等的两个长方形，面积一定相等。（ ）
5. 正方形是特殊的长方形，所以正方形面积也可以用“长×宽”来计算。（ ）
6. 一个长方形，长12厘米，宽5厘米。求它的周长和面积。
7. 一个正方形，边长8分米。求它的周长和面积。
8. 一个长方形的长是7厘米，宽是3厘米，它的周长是（________）厘米。
方法巩固
9. 下面哪个单位是面积单位？
A. 厘米 B. 分米
C. 平方分米 D. 米
10. 一个长方形长6厘米、宽4厘米，下面哪种计算周长的方法是错误的？
A. 6＋4＋6＋4＝20（厘米）
B. 6×4＝24（厘米）
C. （6＋4）×2＝20（厘米）
D. 6×2＋4×2＝20（厘米）
11. 用4个边长1厘米的小正方形拼成下面的图形，哪种拼法周长最长？
A. 拼成2×2的正方形 B. 拼成4×1的长条
C. 它们的周长一样长
12. 一间教室的地面是长方形，长9米、宽6米。用边长3分米的正方形地砖铺满教室地面，至少需要多少块地砖？
13. 一个长方形的周长是36厘米，长是宽的2倍。求这个长方形的长和宽各是多少厘米。
14. 小华计算一个长方形（长8厘米、宽5厘米）的面积时，写成了（8＋5）×2＝26厘米。指出他的错误并改正。
15. 一个正方形花圃的周长是20米，它的面积是多少平方米？
16. 一个长方形的面积是48平方厘米，长是8厘米，宽是（________）厘米，周长是（________）厘米。
综合易错
17. 一块长方形草地，长15米，宽10米。如果在草地中间修一条宽1米的小路（沿长的方向穿过），剩下部分的面积是多少平方米？
18. 用16个边长1厘米的正方形拼成长方形或正方形，怎样拼周长最短？请说明理由，并计算最短周长。
19. 李叔叔用24米长的篱笆靠墙围一个长方形菜地（墙足够长，靠墙的一面不需要篱笆）。如果菜地的长是10米，菜地的宽是多少米？
20. 一张长方形纸，长20厘米，宽15厘米。从这张纸上剪下一个最大的正方形，剩下部分的面积和周长各是多少？
21. 小明说：把一个长方形剪成两个小长方形，每个小长方形的面积是原来的一半，周长也是原来的一半。你同意吗？请说明理由。
22. 请用两种不同的方法说明：为什么面积是16平方厘米的长方形，周长不一定相同？可以画图、列表或举例。周长
面积
一周边线的长度之和，沿边测量，单位是长度单位（厘米、分米、米）
一周边线围成的面的大小，沿面铺满，单位是面积单位（平方厘米、平方分米、平方米）
周长公式
面积公式
长方形周长 C=(a+b)×2
正方形周长 C=a×4
长方形面积 S=a×b
正方形面积 S=a×a
常见错误
正确认识
把面积单位之间的进率记成10，如1平方分米＝10平方厘米
面积单位之间的进率是100：1平方分米＝100平方厘米，1平方米＝100平方分米
常见错误
正确认识
计算长方形周长时用长×宽，或计算面积时用（长+宽）×2
周长用（长＋宽）×2，面积用长×宽
常见错误
正确认识
计算长方形周长时忘记加括号，写成 长＋宽×2，先算了宽×2再加长
必须先算长加宽的和，再乘2，即（长＋宽）×2
常见错误
正确认识
看到一个图形的周长和面积数字相同时（如正方形边长4，周长16面积16），说周长和面积相等
周长16厘米和面积16平方厘米的含义和单位都不同，不能说它们相等
常见错误
正确认识
认为面积相等的两个图形周长一定相等
面积相等的图形，周长不一定相等；拼法越紧凑（越接近正方形），周长越短
常见错误
正确认识
计算不规则图形周长时只量了一条边或半圈的长度
周长是一周边线的总长度，必须从起点沿边走一圈回到起点
常见错误
正确认识
周长一定时，认为长越大面积越大
周长一定时，长和宽越接近面积越大；正方形面积最大