大单元教学设计：新人教版初中数学七上第二章 有理数的运算

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第二章 有理数的运算 大单元教学设计主备人课型新授时间课程标准课题第2章　有理数的运算课时课时大单元主题背景分析（教材分析）本章内容是学习了有理数的概念和分类之后，进一步深入学习有理数的加减乘除和乘方运算，是有理数概念的自然延续，也是今后学习代数式运算、方程、函数等内容的必要知识储备，因此本章内容的学习有着承上启下、铺路架桥的作用。学好这部分内容，对于学生理解“类比和化归”这些重要数学思想，应用“不完全归纳法”，发展学生数学探究能力，增强学生学习数学的信心都具有十分现实的意义.学生在小学时已熟知加法与减法、乘法与除法互为逆运算，而且也熟悉基本运算法的法则，这些知识和技能对于本章的学习是必备的基础，尤其探索、猜想、验证的手段，更是本节课继续学习的研究方法.但是学生对于有理数的乘方的概念比较陌生，科学记数法对于学生来说是一个全新的概念，因此教材在这节内容的编写上采用了生活中的实际问题，给学生创造了良好的学习环境。学生在小学阶段已经学过用四舍五入法取近似数，对精确度有一定的了解，对近似数的学习不是太困难。单元教学的目标一、知识与技能1.理解并掌握有理数加法的交换律和结合律，并能运用交换律和结合律化简有理数的加法运算；2.通过实例经历加法法则的产生过程，理解有理数加法的意义。掌握有理数加法法则，会利用加法法则求两个有理数的和，会在数轴上表示两个有理数相加；3.经历探索有理数的减法法则的过程，理解有理数的减法法则，并能熟练运用法则进行有理数的减法运算．4.掌握有理数乘法交换律、结合律，能正确运用有理数乘法运算律简化运算，掌握多个因数相乘的符号法则；5.理解有理数的除法及倒数的意义，掌握有理数的除法法则6.理解有理数乘方的概念，掌握有理数乘方的运算，掌握并能正确使用有理数乘方的符号法则；7.借助生活中的事物感受大数，了解科学记数法的意义，会用科学记数法表示大于10的数；已知用科学记数法表示的数，会写出原来的数；会解决与科学记数法有关的实际问题；8.了解近似数的概念，能按要求取近似数。二、数学思考1.通过探索、归纳、猜想和验证，体验加法运算律的形成过程，并能运用运算律解决简单的实际问题；2.经历由特例归纳出一般规律的过程，培养学生的抽象概括能力及表达能力；通过减法到加法的转化，让学生初步体会转化、化归的数学思想．3.通过学生做题,提高学生的灵活解题能力和运算技能；4.通过系数的逆运算，培养学生的逆向思维能力，使学生计算能力的到提高；5.培养学生的观察、比较、分析、归纳、概括能力，以及学生的探索精神.6.通过科学记数法的学习，让学生体会从多种角度感受大数，促使学生重视大数的现实意义，从而体会数学“转化思想”。三、问题解决1.在有理数加法法则的形成及运用过程中，培养学生分析问题和解决问题的能力，渗透数形结合的思想；2.能运用有理数的加法法则解决有关实际问题，能较为熟练地进行有理数的加法运算，并能解决简单的实际间题；3.经历由特例归纳出一般规律的过程，培养学生的抽象概括能力及表达能力；通过减法到会利用法则进行有理数的乘法运算并解决实际问题；4.通过师生共同的活动,培养学生的应用意识,训练学生的思维；5.通过学习除法法则，培养学生观察、归纳、概括及运算能力；6.感受有理数的乘方与实际问题之间的联系，发展把数学知识与实际问题联系的能力；7.通过对乘方意义的理解，培养学生观察、比较、分析、归纳、概括的能力，渗透转化的数学思想。四、情感态度通过观察、归纳、推断得到数学猜想，体验数学充满探索性和创造性，体会到运用知识解决问题的成功。在归纳有理数减法法则的过程中，通过讨论、交流等方式进行同伴间的合作学习，培养学生的合作精神．在探索过程中尊重学生的学习态度，树立学生学习数学的信心，培养学生严谨的数学思维能力．让学生体验到转化思维的魅力，对称感和美感，通过自主观察，分析，激发学生的求知欲望。了解数学的价值，体会数学在生活中的广泛应用.在学习过程中发展学生的分析能力和类推能力，发展学生的合作意识。学习活动设计活动一有理数的加法活动二有理数的减法活动三有理数的乘法活动四有理数的除法活动五有理数的乘方活动六科学记数法活动七近似数学习评价设计1.课堂观察与即时反馈：教师通过课堂观察，记录学生在小组讨论、问题解决活动中的参与度、合作情况及思维表现，及时给予口头反馈，鼓励学生积极思考与表达。2.形成性评价：随堂练习：设计包含基础题、提高题和拓展题的随堂练习，通过学生完成情况及错误分析，了解学生对知识点的掌握程度。学习日志：要求学生记录每日学习心得、遇到的难题及解决过程，教师定期查阅，评估学生的学习态度、自我反思能力及问题解决策略。3.总结性评价：单元测试：编制涵盖有理数运算、近似数处理、科学记数法应用的综合试卷，通过闭卷考试形式，全面评估学生的学习成果。项目作业：设计一个实际应用项目，如要求学生调查并计算某地区一年内某类资源的消耗量，使用科学记数法表示结果，并讨论如何通过近似处理简化计算过程。通过项目报告和口头汇报的形式进行评价，考察学生的综合应用能力、团队协作能力及口头表达能力。单元作业设计A组1．根据有理数加法法则，计算过程正确的是（　　）A．B．C．D．【答案】D【分析】本题主要考查了有理数的加法，掌握“将两个数的绝对值相减,结果的符号与绝对值较大的数的符号相同”成为解题的关键．根据将两个数的绝对值相减,结果的符号与绝对值较大的数的符号相同即可解答．【详解】解：．故选D．2．计算的结果（    ）A．2B．C．1D．0【答案】B【分析】本题主要考查了有理数的减法，根据有理数的减法法则直接计算即可．【详解】解：，故选：B．3．西安市2023年元旦这天的最高气温是8℃，最低气温是，则这天的最高气温比最低气温高（    ）A．10℃B．C．6℃D．【答案】A【分析】本题考查有理数减法的应用，用最高气温减去最低气温列式并求解是解答的关键．【详解】解：这天的最高气温比最低气温高，故选A．4．下列运算错误的是（　　）A． B．C．D．【答案】A【分析】本题考查了有理数的加减法，掌握相关的运算性质是解题的关键．根据有理数的加减法则对各选项依次计算判断即可．【详解】A．，原式计算错误，故此选项符合题意；B．，原式计算正确，故此选项不符合题意；C．，原式计算正确，故此选项的计算正确；D．，故此选项不符合题意；故选：A．5．与互为倒数，那么等于（    ）A．B．2C．D．【答案】A【分析】本题考查倒数的概念，关键是掌握倒数的定义．乘积是的两数互为倒数，由此即可得到答案．【详解】解：∵与互为倒数，，，故选：A．6．若的运算结果为正数，则内的数字可以为（    ）A．2B．1C．0D．【答案】D【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，根据有理数的乘法计算法则，分别计算出与四个选项中的数的乘积即可得到答案．【详解】解：，，，，四个算式的运算结果中，只有3是正数，故选：D．7．计算的结果是（    ）A．8B．C．2D．【答案】D【分析】题目主要考查有理数的乘除法混合运算，按照从左到右的顺序计算即可，熟练掌握运算法则是解题关键【详解】解：，故选：D8．某健康成年人心脏每分钟约跳次，每分钟流过的血液量约为，则分钟该成年人心脏流过的血液量用科学记数法表示约为（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】本题考查的知识点是科学记数法，解题关键是熟练掌握科学记数法．根据科学记数法的定义即可得解．【详解】解：每分钟流过的血液量约为，分钟该成年人心脏流过的血液量为．故选：．9．（    ）A．B．6C．D．8【答案】C【分析】本题考查有理数的乘方，一个负数的立方等于它的绝对值的立方的相反数．【详解】解：，故选C．10．（    ）A．2B．C．4D．【答案】D【分析】此题主要考查了有理数的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题的关键，根据运算法则计算即可．【详解】解：，故选：D．11．某会议参会人数准确数为人，新闻报道参会人数约为百人，下列说法正确的是（    ）A．人数统计精确到百位B．人数统计精确到十位C．人数统计精确到个位D．人数统计精确到十分位【答案】A【分析】本题考查了近似数，熟练掌握近似数精确到哪一位是解题的关键，近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位．运用近似数概念的定义解答即可．【详解】解：∵报道参会人数约为百人，末位数字为，∴在人中，在百位上，则精确到了百位，故选：．12．精确到个位，则近似值为（    ）A．1080B．C．1079D．1070【答案】C【分析】本题主要考查了求一个数的近似数，精确度个数即对十分位上的数字进行四舍五入，据此求解即可．【详解】解：精确到个位，则近似值为1079，故选：C．13．点在数轴上表示的数是，从点出发，沿数轴向右平移7个单位长度到达点，则点表示的数是 ．【答案】4【分析】本题考查的是数轴，有理数加法，熟练掌握数轴上各点的分布特点是解题的关键．根据题意可知，点在数轴上表示的数是，从点出发，沿数轴向右平移7个单位长度到达点，因此点表示的数是：．【详解】解：点在数轴上表示的数是，从点出发，沿数轴向右平移7个单位长度到达点，点表示的数是：，故答案为：4．14．计算下列各式：(1)(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了有理数的加减混合运算法，解决本题的关键是利用加法运算律进行简算．（1）根据有理数的加减运算法则计算，即可解答；（2）利用加法的结合律和交换律，即可解答．【详解】（1）解：；（2）解：．B组1．有一只蜗牛从数轴的原点出发，先向左（负方向）爬行9个单位长度，再向右爬行3个单位长度，用算式表示上述过程与结果，正确的是（  ）A．B．C．D．【答案】A【分析】本题主要考查了有理数的加法计算，有理数与数轴，根据向左移动为减，向右移动为加可知上述过程为，再根据有理数的加法计算法则求解即可．【详解】解：由题意得，用算式表示上述过程与结果为，故选：A．2．小明在一条东西向的跑道上先向东走了米，又向西走了米，规定向东为正，向西为负．这一过程在数轴上如图所示，则小明现在的位置A表示的数为（        ）A．B．C．D．【答案】B【分析】本题考查了相反意义的量，在数轴上表示有理数，有理数的加减运算等知识．熟练掌握相反意义的量，在数轴上表示有理数，有理数的加减运算是解题的关键．由题意知，，进而可得A表示的数为．【详解】解：由题意知，，∴A表示的数为，故选：B．3．下列各式计算正确的是（　　）A．B．C．D．【答案】B【分析】本题考查有理数加法法则：1．同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；2．绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0；3．一个数同零相加，仍得这个数．掌握理数加法法则是解题的关键．【详解】解：A． ，原计算错误，不符合题意；B． ，原计算正确，符合题意；C． ，原计算错误，不符合题意；D． ，原计算错误，不符合题意；故选：B．4．算式3的运算符号被遮盖了，若要使该式的计算结果最小，则被遮盖的运算符号为（    ）．A．＋B．C．×D．÷【答案】C【分析】本题考查有理数的运算，有理数大小的比较，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．将各个选项中的运算符号代入题干中的式子，计算出结果，然后比较结果，即可得到使得式子结果最小时的运算符号．【详解】解：，，，，∵∴的结果最小，故选：C．5．国家电影局2024年1月1日公布2023年中国电影行业重要指标．全年电影票房为549.15亿元，其中国产影片票房为460.05亿元，占比为；城市院线观影人次为12.99亿．其中460.05亿用科学记数法表示为（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】本题主要考查了科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是正整数，当原数绝对值小于1时，是负整数；由此进行求解即可得到答案．【详解】解：460.05亿．故选：D．6．中国高速磁悬浮列车亮相于2023年世界制造大会，该列车车头修长，与子弹头相似，时速可达，数据可用科学记数法表示为（   ）A．B．C．D．【答案】B【分析】本题主要考查了科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．科学记数法的表现形式为的形式，其中为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是正整数，当原数绝对值小于1时，是负整数；由此进行求解即可得到答案．【详解】解：∵，∴用科学记数法可表示为．故选：B．7．按如图所示的运算程序计算，若输入数字，则输出的结果是（   ）A．7B．C．D．【答案】C【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算和运用运算程序计算是解题的关键，根据题中提供的运算程序代入计算即可得到答案．【详解】解：由题意得：若输入数字，则，∵，∴，故选：C．8．用四舍五入法得到的近似数，其准确数a的范围是（ ）A．B．C．D．【答案】B【分析】本题考查了近似数，根据四舍五入法分析选项中的取值范围，即可作答．解答本题的关键是明确题意，利用四舍五入法解答．【详解】解：依题意，用四舍五入法得到的近似数，则准确数a的范围为，故选：B．9．一辆公交车上原有13人，经过3个站点时乘客上、下车情况如下（上车人数记为正，下车人数记为负，单位：人）；，；，；，．此时公交车上有 人．【答案】10【分析】本题考查正、负数的实际应用，有理数加减混合运算的实际应用，求出13人与所有上车下车人数的和，即可求解．【详解】解：（人），故答案为：10．10．点A、B在数轴上，且A与B的距离是5，如果点A对应的数为，那么点B所对应的数为 ．【答案】或3【分析】此题考查了数轴，弄清题意是解本题的关键．根据题意，结合数轴，求出B对应的数即可．【详解】解：如图，点A，B在数轴上，且A与B的距离是5，点A对应的数为，则点B所对应的数为或，即点B对应的数为或3故答案为：或31．如图所示，(1)数轴上的点A、B、C、D表示的数分别是______、______、______、______；(2)A、B两点间的距离是______个单位长度；(3)A、D两点间的距离是______个单位长度．【答案】(1)1；2.5；；(2)1.5(3)4【分析】此题考查数轴上点与数的一一对应关系，以及在数轴上求两点之间的距离的方法．（1）根据在数轴上点与数的对应写出即可；（2）在数轴上，求两点之间的距离，用右边的点表示的数减去左边的点表示得数即可；（3）在数轴上，求两点之间的距离，用右边的点表示的数减去左边的点表示得数即可．【详解】（1）解：由图可知：数轴上的点，，，表示的数分别是：1，2.5，，，故答案为：1，2.5，，；（2）， 所以，两点间的距离是1.5个单位长度；故答案为： 1.5；（3），所以，两点间的距离是4个单位长度．故答案为：4．12．计算下列各式：(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，根据有理数的加减计算法则求解即可．【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．13．拆项法．计算：．【答案】【分析】此题考查了有理数的加法计算，先将带分数拆分，利用加法交换律和结合律进行计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键．【详解】解：．C组1．若，且，则 ．【答案】或【分析】本题考查了有理数减法和绝对值，解题关键是先根据绝对值的意义确定字母的值，再计算即可．【详解】解：∵，∴，∵，∴，当时，；当时，；故答案为：或．2．计算： ．【答案】【分析】本题考查了有理数的乘方和乘法，根据有理数的乘方和乘法运算法则进行计算即可求解，熟练掌握运算法则是解题的关键．【详解】解：原式，故答案为：．3．将近似数1290000保留2个有效数字并用科学记数法表示为 .【答案】【分析】本题考查科学记数法与有效数字．关键是掌握用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法．用科学记数法（，n是正整数）表示的数的有效数字应该由首数a来确定，首数a中从左边第一个不为零的数字开始就是有效数字，由此即可得到答案．【详解】．故答案为：．4．随着人们环保意识的提高，新能源汽车市场持续增长．下面是某款新能源汽车充满电量状态下，汽车行驶过程中仪表盘显示电量y（）与行驶里程s（千米）之间的一组数据∶已行驶里程s（千米）0 80100140电量y（）100605030当显示电量时，已行驶里程为 千米．【答案】【分析】本题考查的是有理数的运算在是实际生活中的应用．先求出每的电量所走的里程，问题即可得解．【详解】解：由题意可得，每的电量所走的里程：（千米，当显示电量时，已行驶里程为（千米．故答案为：．5．如图，整数，，在数轴上分别对应点，，．  (1)若，求的值；(2)当点为原点，且时，求“”所表示的数．【答案】(1)．(2)“”表示的数是．【分析】本题考查的知识点是用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、有理数加减法运算，解题关键是理解如何用数轴上的点表示有理数．（1）依图得及三点间的距离后即可求解；（2）由为原点可得，结合图中三点间的距离即可得、，代入即可求解．【详解】（1）解：依图得：，且点和点之间距离为个单位长度，点和点之间距离为个单位长度，，，，．（2）解：为原点，，，，，．故“”表示的数为．6．折项法计算：．【答案】【分析】本题考查了有理数的加法运算，首先将带分数拆分，再按照有理数加法交换律和结合律进行简便计算即可．【详解】解：原式 ．反思性教学改进一、教学亮点回顾情境教学有效：通过引入贴近学生生活、时事热点的实例（如嫦娥六号、武汉暴雨等），成功激发了学生的学习兴趣，使他们能够更好地理解有理数运算的实际应用。互动性强：课堂上采用小组讨论、合作解题等方式，增强了学生之间的互动与合作，促进了思维的碰撞与深化。信息技术融合：利用多媒体和数学软件展示科学记数法的动态变化过程，帮助学生直观理解大数与小数的表示方法，提高了教学效果。二、存在问题分析概念理解深度不够：部分学生在掌握有理数运算规则时，仅停留在表面操作层面，缺乏对运算原理的深入理解。近似数处理灵活性不足：在解决需要近似处理的问题时，学生往往机械地套用公式或方法，缺乏根据问题实际灵活调整的能力。个体差异关注不够：教学过程中，对于学习进度较快和较慢的学生，未能给予足够的个性化指导和支持。三、教学改进策略加强概念教学：在教授有理数运算时，不仅要展示具体的操作步骤，更要深入剖析运算背后的数学原理，帮助学生建立坚实的概念基础。可以通过设计一些需要运用运算原理进行推理的题目，引导学生深入思考。培养近似处理能力：通过增加更多需要近似处理的实际问题，引导学生在解题过程中逐步掌握近似的原则和方法。同时，鼓励学生自己探索不同的近似策略，并比较其优劣，从而培养其灵活处理问题的能力。实施分层教学：针对不同学生的学习能力和进度，设计不同难度的学习任务和练习题目。对于学习进度较快的学生，可以提供更多挑战性的拓展内容；对于学习进度较慢的学生，则给予更多的个别指导和帮助，确保每位学生都能在适合自己的水平上得到发展。强化反馈与调整：在教学过程中，及时收集学生的反馈意见，了解他们的学习需求和困惑。根据反馈结果，及时调整教学策略和方法，确保教学目标的顺利实现。同时，鼓励学生之间相互评价和学习，形成良好的学习氛围。单元教学结构图教学设计课题　勾股定理及其逆定理学习活动设计教师活动学生活动设计意图情境引入：嫦娥六号探测器（Chang'e-6 lunar probe）是中国航天科技集团有限公司抓总研制的嫦娥探月计划第六个探测器。其任务是对预选着陆区月球背面南极-艾特肯盆地，进行形貌探测和地质背景勘察等工作，去发现并采集不同地域、不同年龄的月球样品。近日，中国探月工程嫦娥六号任务圆满成功，实现世界首次月球背面采样返回，带回月背样品1935.3克。月壤即月球的土壤，对地球人来说蕴藏着巨大的科学价值。为了去月球“挖土”，主要航天国家都“很拼”。1970年9月，苏联月球16号探测器从月球取回了一块101克的小样本，月球20号探测器和月球24号探测器则分别采集到了55克与170克样品。问题1：在材料中，探测器从月球一共取回了多少克的样本？问题2：在小学中我们学过哪些加法的运算律？问题3：加法的运算律是不是也可以扩充到有理数范围？大家觉得有理数的加法可以分成几种类型？以下是某公司建筑材料的进出货单据星期一进货5吨出货2吨星期二进货3吨出货4吨思考：1.从这张记录单上你能获得哪些信息？2.能否运用前面所学的知识把这份表格用更简洁的方式表达？根据新表回答：1.请说说表格中“+5”和“-4”的实际意义。2.星期一、星期二一共进货多少吨？一共出货多少吨？3.星期一、二结余多少吨？4.请在数轴上表示上述两个问题中的两个运算。（+5）+（+3）=+8（-2）+（-4）=-6请在数轴上表示以下两个运算，并写出结果。（+2）+（+7）= ， （-6）+（-1）= 。请在数轴上表示星期一、星期二中的两个运算。（+5）+（-2）=+3（+3）+（-4）=-1 请在数轴上表示以下两个运算，并写出结果。（+7）+（-3）= ， （-5）+（+4）= 。针对以下8个算式，教师提出以下问题：（+5）+（+3）=+8 （-2）+（-4）=-6（+2）+（+7）=+9 （-6）+（-1）=-7（+5）+（-2）=+3 （+3）+（-4）=-1（+7）+（-3）=+4 （-5）+（+4）=-1思考：上面的四个算式与下面的四个算式有何共同之处？思考：分别从符号和绝对值两个角度观察上面的四个算式，你能发现什么运算规律？（同号两数相加, 取与原来加数相同的符号, 并把绝对值相加。）思考：同号两数相加，运用法则进行运算时，一般分几个步骤完成？（先确定符号、再确定绝对值）思考：仔细观察下面的四个算式，你能发现异号两数相加时是如何确定符号和绝对值的吗？（异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。）例1.根据有理数加法法则，计算过程正确的是（　　）A．B．C．D．例2.计算 (1)（-32）+7+（-8）； (2) (4.37）+（-8）+(-4.37).(3) QUOTE 525+−27+435+(−257) 525+−27+435+(−257)(4)16＋(－25)＋24＋(－35)某台自动存取款机在某时段内处理了以下6项现款储蓄业务：存入200元、支出800元、支出1000元、存入2500元、支出500元、支出300元.问该自动存取款机在这一时段内现款增加或减少了多少元？ 思考：大家总结一下应用乘法运算律运算时常用的规律认真阅读，积极思考带着问题参与新课.学生口答结果加法结合律，加法交换律小学学过的加法交换律、结合律，在有理数范围内这两个运算律仍然适用.正数加正数，负数加负数，正数加负数（负数加正数），有理数加0（其中进货为正，出货为负）进出货数量星期一+5-2星期二+3-4学生分组进行计算，教师指正 学生思考，解答，教师给予指导根据教师的引导回答问题学生尝试总结有理数加法的法则总结有理数加法运算的步骤：先确定结果的符号，再计算结果的绝对值．解：．故选D．让学生能较为熟练地运用法则进行计算．1. 一般地，总是先把正数或负数分别结合在一起相加. 2.有相反数的可先把相反数相加，能凑整的可先凑整. 3.有分母相同的，可先把分母相同的数结合相加. 通过近期事实引导学生分析能激发学生的探索激情，调动学生学习的积极性和主动性教师提出尝试性问题，引发学生思考，使学生从感性认识上升到理性认识，培养学生的思维能力，使学生从被动的学习转到主动探索中，感受到学习与探索的乐趣。通过探究活动总结出异号两数相加的方法，培养学生观察，归纳的能力．通过探究活动总结出同号两数相加的方法，培养学生观察，归纳的能力． 通过例题教学，加深学生对法则的理解和认识。2、在运算的过程中，就让学生明确算理及书写格式。在实际情境中，理解有理数加法的运算律的意义，知道运用运算律可以使计算简便. 把主动权交给学生，让学生体验学习的乐趣.活动一：有理数的加法活动二：有理数的减法嫦娥六号探测器的返回过程堪称是一次前所未有的航天壮举。这次任务不仅成功地从月球背面采集了珍贵的样本并将它们顺利带回地球，而且还采用了一种独特而先进的半弹道跳跃式返回技术。这种技术允许飞行器以极高的速度进入地球大气层，然后通过一系列复杂的操作来减速和调整轨道，最终实现精确着陆。在这个过程中，嫦娥六号首先以接近第二宇宙速度进入地球大气层，进行初次气动减速。然后在下降到预定高度后，它在印度洋上空向上跃出大气层，达到最高点后开始滑行下降。之后返回器再次进入大气层，实施二次气动减速，最终在内蒙古四子王旗地区精确着陆。对于那些深谙航天技术的专家来说，这不仅仅是一次成功的样本返回任务，他们还联想到了一种无法拦截的洲际导弹。0km-如图，最高点175km和最低点-10km之间相差多远？思考：－3+（－5）=－8，变形：（－8）－（－3）=－5容易得到（－8）+（+3）=－5于是有：（－8）－（－3）=（－8）+（+3）（2）7+（ －3 ）=4变形：4－（－3）=7容易得到：4+3=7于是有：4－（－3）=4+3（3）7.6+（－7.6 ）=0变形：0－7.6=－7.6容易得到：0+（－7.6）=－7.6于是有：0－7.6=0+（－7.6）；（4）2+（ －5 ）=－3变形：－3－2=－5容易得到：－3+（－2）=－5于是有：－3－2=－3+（－2）；上述这些等式，你能发现什么规律？依照发现的规律解决情境引入的问题：175－（－10）=175+（+10）=185有理数的减法法则：文字表述：减去一个数，等于加上这个数的相反数。符号表述：；有理数减法转换为有理数加法来计算。转换时有两变：一是减号变成加号，二是减数变成相反数才能成为加数。例1.计算（－32）－（+5）7.3－（－6.8）（－2）－（－25）12－21思考：1、有理数减法法则是什么？2、有理数加法法则有哪些？例2.列式计算数轴上A、B两点表示的有理数分别是－6.2和4.9，求A、B两点间的距离；6.7的相反数与－4.8的绝对值的差是多少？－4.6的绝对值的相反数与+3.7的相反数的绝对值的差是多少？分析：1、如何表示数轴上两点之间的距离？2、如何表示一个数的相反数？例3.已知|m|=2，|a+3|+|b+5|=0，求m－a－b的值。思考：去绝对值的法则是什么？2、绝对值的性质是什么？例4.某银行储蓄所办理了8项现款储蓄业务：取出950元，存入500元，取出800元，存入1 200元，存入2 500元，取出1 025元，取出200元，存入400元．这时，银行现款是增加了，还是减少了？增加或减少了多少元？巩固练习1.计算：(1)7.8＋(－1.2)－(－0.2); (2)－5.3－(－6.1)－(－3.4)＋7；2.一家电脑公司仓库原有电脑100台，一个星期内调入、调出的电脑记录是：调入38台，调出42台，调入27台，调出33台，调出40台，则这个仓库现有电脑多少台？学生回顾加数+另一个加数=和和-加数=另一个加数学生交流讨论并叙述.有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数.解：（1）（－32）－（+5）=（－32）+（－5）=－37（2）7.3－（－6.8）=7.3+6.8=14.1（3）（－2）－（－25）=（－2）+25=23（4）12－21=12+（－21）=－9解：（1）4.9－（－6.2）=4.9+6.2=11.1；（2）－6.7－|－4.8|=－6.7－4.8=－6.7+（－4.8）=－11.5（3）－|－4.6|－|－（+3.7）|=－4.6－3.7=－4.6+（－3.7）=－8.3解：∵|m|=2，∴m=+2或－2；∵|a+3|+|b+5|=0，∴a=－3，b=－5；当m=2时，m－a－b=2－（－3）－（－5）=2+3+5=10；当m=－2时，m－a－b=（－2）－（－3）－（－5）=（－2）+3+5=6解：记存入为正，由题意，得－950＋500－800＋1 200＋2 500－1 025－200＋400＝(500＋1 200＋2 500＋400)＋(－950－800－1 025－200)＝4 600＋(－2 975)＝1 625(元).答：银行现款增加了，增加了1 625元.eq \a\vs4\al(解：原式＝7.8－1.2＋0.2,＝6.6＋0.2,＝6.8.) eq \a\vs4\al(解：原式＝－5.3＋6.1＋3.4＋7,＝－5.3＋16.5,＝11.2.)解：设调入为正，由题意，得100＋38－42＋27－33－40＝100＋38＋27－42－33－40＝165－115＝50(台).答：这个仓库现有电脑50台.通过学生感兴趣的话题激发学生的探索激情，调动学生学习的积极性和主动性学生的归纳可能不规范，教师可请学生互相交流、补充使之规范，从而培养学生的抽象概括能力及口头表达能力.为了帮助学生梳理知识，培养学生归纳总结和表达的能力。通过例题教学使学生巩固方法，初步具备解决问题的能力.讲解时注意让学生复述有理数法减法则，加深学生对法则的认识，并注意归纳有理数减法的规律，而不机械地将减法转化成加法，为今后进一步学习减法运算逐步省略化成加法的中间步骤作准备。渗透化归的思想：让学生归纳一些运算的规律、特征，有利于提高学生的运算能力.遵循巩固与发展相结合的原则，要求学生不但可以顺利完成此题，而且能有条理的说出出此题的解题过程。教师能及时查漏补缺，规范解题格式。活动三：有理数的乘法武汉暴雨2024年6月底，全国多地出现特大暴雨，湖北武汉和湖南长沙等地受灾严重。假设长江的水位每天升高10 cm，汉江的水位每天下降3 cm，4天后长江和汉江的水位的总变化量各是多少?如果用正号表示水位上升，那么4天后甲水库的水位变化量为：10 +01+10 + 01 =40 (cm)；10×4=40 (cm)如果用负号表示水位下降，那么4天后乙水库的水位变化量为：(-3) + (-3) + (-3) + (-3) =-12 (cm)(-3)×4 = -12 (cm)观察下面两个式子，你能发现什么？10×4=40 (cm)(-3)×4 = -12 (cm)把一个因数换成它的相反数，所得的积是原来的积的相反数.新知探究（-3）×4=-12（-3）× 3 =_____，（-3）× 2 =_____，（-3）× 1 =_____，（-3）× 0 =_____．一个因数减小1 时，积怎样变化？一个因数不变，另一个因数每次减小1，算式右边的积每次增加-3.你能写出下列结果吗？（ - 3）×（ - 1）=_____ ，（ - 3）×（ - 2）=_____ ，（ - 3）×（ - 3）=_____ ，（ - 3）×（ - 4）=_____ ．思考：观察上面的8个算式，你能得出正数、负数之间相乘的一般规律吗？例1.如图,一只蜗牛沿直线 l爬行，它现在的位置在l上的点Ｏ．(1)如果蜗牛一直以每分２cm的速度向右爬行，３分后它在什么位置？ l结果：3分钟后蜗牛在l上点Ｏ_________ cm处.可以表示为: .(2)如果蜗牛一直以每分２cm的速度向左爬行，３分后它在什么位置？结果：3分钟后蜗牛在l上点Ｏ_________ cm处.可以表示为: .(3)如果蜗牛一直以每分２cm的速度向右爬行，３分前它在什么位置？ l结果：3分钟前蜗牛在l上点Ｏ_________ cm处.可以表示为: .(4)如果蜗牛一直以每分２cm的速度向左爬行，３分前它在什么位置？结果：3分钟前蜗牛在l上点Ｏ___________ cm处.可以表示为: .（5）原地不动或运动了零次，结果是什么？l结果：仍在原处，即结果都是___________，可以表示为: .根据上面结果可知：1.正数乘正数积为______数;负数乘负数积为______数;(同号得正)2.负数乘正数积为______数;正数乘负数积为______数;(异号得负)3.乘积的绝对值等于各乘数绝对值的______.4.零与任何数相乘或任何数与零相乘结果是______.【总结归纳】有理法乘法法则两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．任何数与 0 相乘，积仍为 0．【拓展】任何数与1相乘都等于它本身，任何数与－1相乘都等于它的相反数．讨论:(1)若a＜0,b＞0,则ab 0 ;(2)若a＜0,b＜0,则ab 0 ;(3)若ab＞0,则a、b应满足什么条件？(4)若ab＜0,则a、b应满足什么条件？例1.计算：（1）( - 4 ) × 5 （2）( - 5 ) × ( - 7 )如果两个有理数的乘积为1，那么称其中的一个数是另一个数的倒数，也称这两个有理数互为倒数.【拓展提高】(1)0没有倒数．(2)一个数和它的倒数的符号相同，即正数的倒数是正数，负数的倒数是负数．(3)倒数是相互的，当ab＝1时，a叫做b的倒数，b也叫做a的倒数．(4)1或－1的倒数是它本身．例2.计算：(1)(－4)×5×(－0.25)； 思考：几个有理数相乘，因数都不为 0 时，积的符号怎样确定？ 有一个因数为0时，积是多少？法则：(1)几个不等于零的数相乘，积的正负号由负因数的个数决定，当负因数的个数为奇数时，积为负；当负因数的个数为偶数时，积为正．(2)几个数相乘，有一个因数为零，积就为零．计算，并比较结果：（1） ( - 7 ) × 8 与 8 × ( - 7 )以上计算运用了什么计算规律？有理数的乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。ab=ba（a,b,c为任意有理数）（2）有理数的乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变.乘法结合律：(ab)c=a(bc)（a,b,c为任意有理数）（3）有理数的乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加.乘法分配律：a(b+c)=ab+ac（a,b,c为任意有理数）总结归纳（1）这里的“和”不再是小学中说的“和”的概念，而是指“代数和”。（2）运用乘法运算律进行计算时，注意符号。（3）几个数直接相乘，有时计算量较大，要适当运用乘法交换律、结合律．（4）有理数乘法运算时，有时可以反向运用分配律即逆用乘法分配律。例3.计算：例4.计算：（1）；（2）；（3）学生思考算出结果，教师讲解。学生计算寻找规律。正数乘正数积为（ 正 ）数负数乘正数积为（ 负 ）数正数乘负数积为（ 负 ）数负数乘负数的积（ 正 ）数乘积的绝对值等于各乘数绝对值的（ 积 ）学生总结有理法乘法法则。学生根据所学知识计算。原式= - ( 4 × 5 ) = - 20；原式= = + ( 5 × 7 ) = 35； 原式=原式=学生探究有理数的倒数。(1)解：＝ [－(4×5)]×(－0.25)　　＝(－20)×(－0.25)　　＝＋(20×0.25)＝5; 学生思考，探究规律。学生探究有理数的乘法运算律。学生在教师的引导下总结归纳。学生根据所学知识做练习。学生观察思考，探究，互相讨论，四个学生板演，其余学生在练习本上计算，然后总结出有理数乘除混合运算的顺序.解：（1）=8+3=11（2）==0通过实际问题情境的创设，引入了本课的课题，激发了学生的好奇心和求知欲，调动了学生的学习积极性，让学生知道数学知识无处不在，应用数学无时不有．符合“数学教学应从生活经验出发”的新课程标准要求. 学生能够运用已学知识解决问题，这样既能提高学生解决问题兴趣，又培养学生观察、分析、归纳问题、逻辑理解的能力。对概念的分析和归纳,培养学生的口头表达能力和语言组织能力,同时渗透类比思想.通过这几道题目来反馈学生对本节所学知识的掌握程度，落实基础。学生刚刚接触到新的知识需要一个过程，也就是对新知识从不熟悉到熟练的过程，无论是基础的习题，还是变式强化，都要以学生理解透彻为最终目标。学生分组讨论交流合作，训练学生以严谨的科学态度研究问题，解决问题，同时也培养了学生的合作精神，体现新课改中由教为中心向学为中心的转变。课堂上以由教师引导，学生回顾的方式进行归纳总结，目的是充分发挥学生的主体作用，有助于学生在理解新知识的基础上，及时把知识系统化，条理化。通过例题进行强化，让学生数来你掌握有理数乘法法则。活动四：有理数的除法新知探究：探索除法的法则计算：（－6）÷2分析：∵（ ）×2=（－6）∴（－6）÷2= ；又∵（－6）×= ；∴（－6）÷2=；这表明除法可以转化为 来进行运算。做一做：（1）8÷（－2）=8×（ ）（2）6÷（－3）=6×（ ）（3）（－6）÷（ ）=（－6）÷（ ）=做完上述填空后，你有什么发现？【归纳总结】倒数的概念：乘积是1的两个数互为倒数；例如：－2与互为例数，－2的例数是，的倒数是－2；零没有倒数；写出下列各数的倒数：，，－5，1，－1，0.2，，－1.25有理数除法法则除法转化为乘法：除以一个数等于乘以这个数的倒数。注意：零不能作除数。有理数除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.零除以任何一个不等于零的数，都得零。由此得出有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数．可以表示为： a÷b=a·(b≠0) ．类似于乘法法则可得：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．零除以任何一个不等于0的数，都得0．对有理数除法法则的理解：（1）法则所揭示的内容告诉我们，有理数除法与小学时学的除法一样，它是乘法的逆运算，是借助“倒数”为媒介，将除法运算转化为乘法运算进行（强调，因为0没有倒数，所以除数不能为0）；（2）法则揭示有理数除法的运算步骤：第一步，确定商的符号，第二步，求出商的绝对值．例1.计算：（1）（－36）÷9；（2）（）÷（）．强调：两数相除，先确定商的符号，再确定商的绝对值．例2.化简下列分数：； （2）．分析：1、分数线有什么作用？2、有理数除法法则是什么？强调：（1）符号法则；（2）一般来说，在能整除的情况下，往往采用法则的后一种形式，在确定符号后，直接除．在不能整除的情况下，则往往将除数换成倒数，转化为乘法．例3.计算：（1）（－125）÷（－5）； （2）－2．5÷；例4.计算：（－18）÷6学生填空学生思考得到结论学生学习有理数除法的法则后得到倒数的概念学生举手回答有理数除法法则的符号表示学以致用，两名学生板演解：（1）（－18）÷6=－（18÷6）=－3====通过前面学习的有理数乘法计算过渡到除法运算，逐渐得到有理数除法法则。培养学生从特殊到一般的归纳思想． 培养学生的概括能力和语言表达能力，学生的概括只要合理都加以鼓励． 学生在教学活动中获得成功的体验，建立自信心。除法运算中遇到小数，分数问题，处理办法和小学一样，渗漏类比思想。化分式运算为除法运算，即化生为熟，有利于准确求解，且避免符号错误活动五：有理数的乘方情境引入2024年6月2日清晨，嫦娥六号成功着陆在月球背面南极-艾特肯盆地预选着陆区，开启人类探测器首次在月球背面实施的样品采集任务。6月4日7时38分，嫦娥六号上升器携带月球样品自月球背面起飞，3000牛发动机工作约6分钟后，成功将上升器送入预定环月轨道。6月6日，嫦娥六号上升器成功与轨道器和返回器组合体完成月球轨道交会对接，随后将月球样品容器安全转移至返回器中，这是继嫦娥五号之后，中国航天器第二次实现月球轨道交会对接。嫦娥六号的31马赫着陆速度，助推了中国文物的回家速度。这一速度究竟意味着什么？为何能成为太空探索技术的一大里程碑呢？马赫（Mach）是速度的一个非国际单位制单位，通常用来表示飞行器的速度与当地声速的比值。在标准大气条件下，1马赫大约等于每小时1225公里或每秒约340米。因此，嫦娥六号达到的31马赫相当于每秒约10500米的速度。这是一个极其惊人的数字，尤其是在太空探索领域。嫦娥六号31马赫的速度不仅是对现有航天技术极限的一次挑战，更是向全世界证明了中国在太空探索领域的技术实力和创新能力。嫦娥六号以31马赫的速度沿直线飞行一个小时，求其飞行的距离。新知探究1、如果正方形的边长为3cm，那么正方形的面积是 cm2；2、如果正方形的边长是a cm，那么正方形的面积是 cm2；3、如果正方体的边长是2cm，那么正方体的体积是 cm3；4、如果正方体的边长是a cm，那么正方体的体积是 cm3；在小学里，我们已经学过：记作，读作a的平方（或a的2次方）；记作，读作a的立方（或a的3次方）；那么若干个a相乘，又该如何表示？观察下列等式，探索其中的规律并填空。 ； ；… ；根据上面发现的规律填空：（1）2×2×2= ；（－2）×（－2）×（－2）×（－2）= ； ； ；问题：观察式子的后面，它们都是什么运算？有什么特点？出现问题： 当相同因数相乘而因数的个数非常多时，造成乘法的算式和算法的重复和繁锁，需要创造一种简单的表达式，怎么解决这个问题呢？乘方：把几个相同的因数相乘的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。幂的表示：运算加减乘除乘方结果和差积商幂an读作：a的n次方，也叫做a的n次幂，a叫做幂的底数，n叫做幂的指数。an的意义：表示n个a相乘。幂的指数an幂幂的底数思考：它们的底数分别是什么？它们的指数分别是什么？它们的幂分别是什么？例1.把下列各式写成乘方的形式，并指出底数和指数。（1）0.3×0.3×0.3×0.3（－7）×（－7）×（－7）分析：1、什么叫乘方？2、因数与相同因数的个数和底数指数有什么关系？ 思考：请你说说下列各数表示什么？它们一样吗？例2. 计算（－2）3 （2）（－2）4 （－2）5 （4） 33 （5） 35例3.计算（1）（2）（3）（4）思考：根据上面幂的正负，你能得出什么结论？ 幂的符号规律：幂的底数是正数时，结果一定为正数.幂的底数是负数时，指数为正偶数则结果为正；指数为正奇数则结果为负.0的任何正整数次幂都得0互为相反数的两数的相同偶次幂相等， 相同奇次幂互为相反数.例4.计算：(1)2，2，2，24； (2)-2，2，3，(-2)4；(3)0，02，03，04你能把上述的结论用数学符号语言表示吗? （板书）当a＞0时，an＞0(n是正整数)； 当a