河南信阳高级中学北湖校区2025-2026学年高一下学期7月期末测试数学试题含答案

这是一份河南信阳高级中学北湖校区2025-2026学年高一下学期7月期末测试数学试题含答案试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知z=1−i2+2i，则z−z=（ ）
A．−iB．iC．0D．1
2．已知向量a=4,2,4，b=1,−2,2，若a+λb⊥a−2b，则λ=（ ）
A．1B．-1C．2D．-2
3．在△ABC中，点D在边AB上，BD=2DA．记CA=m，CD=n，则CB=（ ）
A．3m−2nB．−2m+3nC．3m+2nD．2m+3n
4．已知圆锥的底面半径为4，高为3，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．16πB．20πC．36πD．40π
5．从1~10这10个整数中随机选择一个数，设事件A表示选到的数能被2整除，事件B表示选到的数能被3整除，则事件A∩B的概率是（ ）
A．12B．25C．110D．15
6．已知一组数据x1，x2，…，xn的平均数为2，方差为1，则数据2x1−3 ，2x2−3 ，…，2xn−3 的平均数和方差分别为（ ）
A．1，4B．2，1C．1，1D．2，4
7．如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥BC，侧面BCC1B1是正方形，BC=2AB=2，M是线段BC1上的动点，当AM+B1M取得最小值时，△AB1M的周长为（ ）

A．2+2+6B．26C．6+10D．2+6+10
8．已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为33和43，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A．100πB．128πC．144πD．192π
二、多选题
9．设i为虚数单位，已知复数z=−12+bib∈R，若z⋅z=1，则（ ）
A．b=12B．z3=1C．z−1z∈RD．z−1>1
10．关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（ ）
A．若a∥b，则存在唯一实数λ使得a=λb
B．两个非零向量a，b，若a−b=a+b，则a与b共线且反向
C．若点G是△ABC的重心，则GA+GB+GC=0
D．若向量a=−1,1，b=2,3，则向量b在向量a上的投影向量为a2
11．在空间中，A、B为两个定点，动点C到直线AB的距离为2，动点D到直线AB的距离为1．若二面角C−AB−D为60°，则（ ）
A．∠CAD≥60°B．CD≥3
C．当AB⊥CD时，CD⊥平面ABDD．当AB⊥平面ACD时，AC⊥AD
三、填空题
12．甲､乙两支足球队进行两场友谊赛，每场比赛两队平局的概率是16，甲队获胜的概率是12，则乙队两场友谊赛只获胜一场的概率为__________.
13．在△ABC中，∠BAC=60°，AB=4，BC=26，∠BAC的角平分线交BC于D，则AD=_________
14．已知四棱锥P−ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，侧面ABP 为正三角形，PC⊥BD，则四棱锥P−ABCD体积的最大值为_________．
四、解答题
15．已知向量a=1,2,b=k,1．
(1)若a+b与a−b垂直，求k的值；
(2)若向量c=2,3，若a+b与2b−c共线，求a−7b．
16．如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为DD1的中点．
(1)求证：BD1//平面ACE；
(2)求证：平面BDD1⊥平面ACE．
17．已知在△ABC中，AB=3，BC=23，csB=33．
(1)求csA；
(2)设D，E两点满足：D在BA的延长线上，DE//BC，AE⊥AC．若DE=6，求CE．
18．台州临海涌泉蜜桔，是浙江极具代表性的本土名优特产，果形饱满、风味清甜，深受市场青睐．为评估某蜜桔种植园的果品规格与整体品质，相关质检人员从园内全部8000颗涌泉蜜桔当中，随机挑选出100颗作为样本称重检测．所有样本的单果质量全部分布在区间60,120内(单位：克)，将所得数据分成6组：60,70，70,80，80,90，90,100，100,110，110,120，并据此绘制得到频率分布直方图如图所示．
(1)求图中a的值；
(2)估计这批蜜桔的平均质量；
(3)若按质量由重到轻分为优等品、合格品和次品，其中优等品占10%，合格品占35%，次品占55%，则合格品的质量应不低于多少克？
19．若四面体任意顶点在对面的投影恰好为该面三角形的垂心，则称该四面体为垂心四面体．如图，△ABC中，AB=2+3，BC=5，CA=2，在AB上取一点D，将△ACD沿CD折叠到某个位置得到△SCD，使得三棱锥S−BCD为垂心四面体．
(1)求证：SD⊥BC；
(2)求SD与平面SBC的夹角的正弦值；
(3)设动点P在棱SC上，动点Q在棱SB上，满足SPPC=BQQS=λλ>0，记平面DPQ与平面DBC所成锐二面角为θ，求θ的最小值及此时λ的值．
《河南信阳高级中学北湖校区2025-2026学年高一下学期7月期末测试数学试题》参考答案
1．A
2．C
3．B
4．B
5．B
6．A
7．C
8．A
9．BD
10．BCD
11．BC
12．49
13．4
14．2
15．(1)k=±2
(2)41
16．(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
17．(1)13
(2)35
18．(1)a=0.025
(2)x=91.5
(3)95克
19．(1)设点D在平面SBC的投影为H，连接SH．
在三角形ABC中，cs∠BAC=2+32+22−522×2+3×2=32，即翻折后DC与SC不垂直，
从而S,H不重合，由H是△SBC的垂心得SH⊥BC，
因为DH⊥平面SBC,BC⊂平面SBC，所以DH⊥BC，
又因为SH∩DH=H，SH,DH⊂平面SHD，所以BC⊥平面SHD.
因为SD⊂平面SHD，所以BC⊥SD．
(2)21919；
(3)λ=2时，θ取得最小值π3．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
B
B
B
A
C
A
BD
BCD
题号
11









答案
BC