黑龙江哈尔滨师范大学附属中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题含答案

这是一份黑龙江哈尔滨师范大学附属中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题含答案试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知a=2,4,b=x,1,a⊥b，则x=（ ）
A．−2B．−12C．12D．2
2．有2位老师和4名学生排成一队照相，老师要求相邻且不排在两端，则不同的排法有（ ）
A．144种B．96种C．72种D．48种
3．已知m,n是两条直线，α,β,γ是三个平面，则正确的是（ ）
A．若α∥β,m⊂α,n⊂β，则m∥nB．若α⊥β,β⊥γ，则α∥γ
C．若α⊥γ,β∥α，则β⊥γD．若m∥n,m∥α，则n∥α
4．某小组有3名男生和2名女生，从中选取2名学生参加演讲比赛，下列事件中互斥而不对立的事件为（ ）
A．至少有1名男生和至少有1名女生B．恰有1名男生和恰有2名女生
C．至少有1名男生和全是男生D．至少有1名男生和全是女生
5．已知样本数据x1，x2，x3，x4，x5，x6的平均数为x，方差为s2，若样本数据ax1+8，ax2+8，…，ax6+8的平均数为6x，方差为4s2，则x=（ ）
A．-2B．2C．−2或1D．1或2
6．在正四棱锥P−ABCD中，AB=AP，E是棱PC的中点，则异面直线PB与DE所成角的余弦值是（ ）
A．36B．33C．63D．306
7．抛掷2n枚质地均匀的硬币，恰有n枚正面朝上的概率为pn（其中n=1,2,3），则（ ）
A．p1=p2=p3B．p3>p1>p2C．p3>p2>p1D．p1>p2>p3
8．已知O为△ABC的外心，且AO=λAB+1−λAC．若向量BA在向量BC上的投影向量为μBC，其中μ∈35,45，则cs∠AOC的取值范围为（ ）
A．110,320B．15,310
C．120,310D．15,35
二、多选题
9．已知复数z=m+i3−i，若m,z−i∈R，则（ ）
A．z=2−iB．z在复平面内对应的点在第四象限
C．z=5D．z+2i的虚部为3
10．某校为了解高一学生的体能达标情况，抽调了200名学生进行立定跳远测试，根据统计数据得到如下的频率分布直方图（同一组的数据用该组区间的中点值代表），则（ ）
A．a=0.0175B．众数是230
C．中位数是222D．第30百分位数是205
11．如图，在三棱台ABC−A1B1C1中，侧面ACC1A1是等腰梯形，AA1=A1C1=1，∠A1AC=60°，侧面ACC1A1⊥平面ABC，∠ACB=90°，BC=23，E为A1B1的中点，点D在AC上，且DC=12，则（ ）
A．AC1⊥平面BCC1B1
B．直线BE与平面ACC1A1所成角小于45°
C．平面BDE将该三棱台分成两个几何体，则体积较小几何体的体积为4964
D．四点A，C，B1，C1在同一球面上，则该球的表面积为7π
三、填空题
12．已知圆台上下底面半径分别为1和2，母线与下底面所成角为60∘，则圆台侧面积为________．
13．某校6名同学打算去山西旅游，现有平遥古城、五台山、省博物馆三个景区可供选择.若每个景区中至少有1名同学前往打卡，每人仅去一个景点，则不同方案的种数为______.
14．在△ABC中，∠BAC=2π3，∠BAC的平分线交BC于点N，M为BC的中点．若AN=4，BC=6MN，则AM=__________．
四、解答题
15．为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教育部启动了“强基计划”的招生改革工作．某校强基招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过强基招生面试．假设两题作答相互独立，现有甲、乙、丙三名学生通过考核进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是13，12，14，答对第二题的概率分别是12，13，23．
(1)求甲考生通过某校强基招生面试的概率；
(2)求甲、乙、丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率．
16．2023年9月，第19届亚洲运动会将在中国杭州市举行，某调研机构为了了解人们对“亚运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“亚运会”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有m人，按年龄分成5组，其中第一组20,25，第二组25,30，第三组30,35，第四组35,40，第五组40,45，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人.

(1)根据频率分布直方图，估计这m人的平均年龄和上四分位数；
(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“亚运会”宣传使者：
（i）若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲､乙两人至少有一人被选上的概率；
（ii）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和52，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这m人中35~45岁所有人的年龄的方差.
17．如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD 为矩形，PA⊥平面ABCD ，E，F ，G分别是PD，AB，AC 的中点．
(1)证明：平面EFG//平面PBC；
(2)若PA=AD=2AB=2，作EM⊥PC交PC于点M．
（ⅰ）证明：PC⊥AM；
（ⅱ）求直线EG与平面AEM所成角的正弦值．
18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知c=bcsA+12a．
(1)求角B的大小；
(2)若△ABC为锐角三角形，当a=6时，求△ABC面积的取值范围．
19．如图，在三棱锥A−BCD中，△ABD和△BCD都是等腰三角形，且∠ADB=120°，BC⊥BD，BD=4．

(1)若AD⊥BC．
（ⅰ）求证：平面ABD⊥平面BCD；
（ⅱ）求平面BCD与平面ACD夹角的余弦值．
(2)求三棱锥A−BCD外接球的半径的最小值．
《黑龙江哈尔滨师范大学附属中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题》参考答案
1．A
2．A
3．C
4．B
5．D
6．A
7．D
8．D
9．ACD
10．ABD
11．ACD
12．6π
13．540
14．33
15．(1)16
(2)91216
16．(1)31.75岁；36.25
(2)（i）35；（ii）10
17．(1)证明：因为F ，G分别为AB，AC 的中点，所以FG//BC，
而FG⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，
则FG//平面PBC．
连接BD ，因为四边形ABCD 为矩形，所以G为BD 中点，
因为E是PD的中点，则EG//PB，
而EG⊄平面PBC,PB⊂平面PBC，
所以EG//平面PBC，
又EG，FG⊂平面EFG，且EG∩FG=G，
所以平面EFG//平面PBC．
(2)（i）证明：以A为原点，以AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．
A0,0,0，P0,0,2，C1,2,0，E0,1,1，
则PC=1,2,−2，AE=0,1,1，
因为PC⋅AE=0+2−2=0，所以AE⊥PC．
由已知得EM⊥PC，因为AE，EM⊂平面AEM，且AE∩EM=E，
所以PC⊥平面AEM，
因为AM⊂平面AEM，故PC⊥AM．
（ii）53
18．(1)B=π3
(2)932,183
19．(1)（ⅰ）∵BC⊥BD，AD⊥BC，BD∩AD=D，BD⊂平面ABD，AD⊂平面ABD，
∴BC⊥平面ABD，∵BC⊂平面BCD，∴平面ABD⊥平面BCD；
（ⅱ）77；
(2)4.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
A
C
B
D
A
D
D
ACD
ABD
题号
11









答案
ACD