2023-2024学年河南省信阳市高级中学新校、北湖校区高一下学期期末测试数学试题（含答案）

这是一份2023-2024学年河南省信阳市高级中学新校、北湖校区高一下学期期末测试数学试题（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z满足z3+i=3+i2024，其中i为虚数单位，则z的共轭复数z的虚部为( )
A. −25iB. −25C. 2i5D. 25
2.设m,n是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是( )
A. 若m//α,n⊂α，则m//nB. 若m//α,α//β，则m//β
C. 若m⊥α,m⊥n，则n//αD. 若m⊥α,m//β，则α⊥β
3.某航空公司销售一款盲盒机票，包含哈尔滨、西安、兰州、济南、延吉5个城市，甲乙两人计划“五一”小长假前分别购买上述盲盒机票一张，则两人恰好到达城市相同的概率为( )
A. 15B. 25C. 35D. 45
4.记▵ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知c=4,A=45∘，若角B有两解，则a的值可以是( )
A. 2B. 2 2C. 2 3D. 4
5.如图，锐二面角α−l−β的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB=4，AC=BD=6，CD=8，锐二面角α−l−β的平面角的余弦值是( )
A. 14B. 13C. 23D. 34
6.抛掷一枚质地均匀的骰子2次，事件甲为“第一次骰子正面向上的数字是1”，事件乙为“两次骰子正面向上的数字之和是4”，事件丙为“两次骰子正面向上的数字之和是8”，则( )
A. 甲乙互斥B. 乙丙互为对立C. 甲乙相互独立D. 甲丙互斥
7.已知正四棱台的体积为143，上、下底面边长分别为 2,2 2，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )
A. 20πB. 25πC. 36πD. 50π
8.如图，在扇形AOB中，扇形的半径为1,∠AOB=2π3，点P在弧AB⌢上移动，OP=aOA+bOB.当∠AOP=π2时，a+b=( )
A. 32B. 3
C. 2D. 3 32
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中正确的是( )
A. 用简单随机抽样的方法从含有60个个体的总体中抽取一个容量为6的样本，则个体m被抽到的概率是0.1
B. 已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是265
C. 数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23
D. 若样本数据x1,x2,⋯,x10的标准差为8，则数据2x1−1,2x2−1,⋯,2x10−1的标准差为32
10.已知点A−2 , 3 , −3 , B2 , 5 , 1 , C1 , 4 , 0，平面α经过线段AB的中点D，且与直线AB垂直，下列选项中叙述正确的有( )
A. 线段AB的长为36
B. 点P1 , 2 , −1在平面α内
C. 线段AB的中点D的坐标为0, 4 , −1
D. 直线CD与平面α所成角的正弦值为2 23
11.已知复数z1=2+3i,z2=3−4i,z1,z2在复平面内对应的点分别为Z1,Z2，则( )
A. z1+z2=z1+z2
B. Z1Z2=5 2
C. 满足z=z2的复数z对应的点Z形成的图形的周长是5π
D. 满足z1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知平面向量a,b,b=3，向量a在向量b上的投影向量为16b，则a⋅b= ．
13.已知事件A与B相互独立，P(A)=0.6，P(AB)=0.42，则P(A+B)= ．
14.已知四面体A−BCD中，棱BC，AD所在直线所成的角为60°，且BC=4，AD=3，∠ACD=120°，则四面体A−BCD体积的最大值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
数字人民币在数字经济时代中体现的价值、交易媒介和支付手段职能，为各地数字经济建设提供了安全、便捷的支付方式，同时也为金融监管、金融产品设计提供更多选择性和可能性.苏州作为全国首批数字人民币试点城市之一，提出了2023年交易金额达2万亿元的目标.现从使用数字人民币的市民中随机选出200人，并将他们按年龄(单位：岁)进行分组：第1组15,25，第2组25,35，第3组35,45，第4组45,55，第5组55,65，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求直方图中a的 值并估算样本平均年龄(同组中的数据用该组区间的中点值作代表)及第78百分位数；
(2)在这200位市民中用分层随机抽样的方法从年龄在25,35和45,55内抽取6位市民做问卷调查，现从这6位中随机抽取两名幸运市民，求两名幸运市民年龄都在25,35内的概率．
16.(本小题12分)
如图，四边形PDCE为矩形，直线PD垂直于梯形ABCD所在的平面．∠ADC=∠BAD=90 ∘，F是线段PA的中点，PD= 2，AB=AD=12CD=1．
(1)求证：AC//平面DEF；
(2)求点F到平面BCP的距离．
17.(本小题12分)
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足bc−a+cb−a=1．
(1)求角A；
(2)若△ABC的外接圆的面积为7π3，sinB+sinC=5 77sinA，求△ABC的面积．
18.(本小题12分)
如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，已知边长为4，点E，F分别在A1B1，C1D1上，A1E=D1F=1．

(1)求异面直线AE和B1C所成角的余弦值；
(2)求直线AE和平面ABF所成角的正弦值；
(3)求平面ABF和平面ABCD所成角的余弦值．
19.(本小题12分)
在Rt▵ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知csAa=csB+csCb+c．
(1)求角A；
(2)已知c≠2b，a=2 3，点P，Q是边AC上的两个动点(P，Q不重合)，记∠PBQ=θ．
①当θ=π6时，设▵PBQ的面积为S，求S的最小值：
②记∠BPQ=α，∠BQP=β.问：是否存在实常数θ和k，对于所有满足题意的α，β，都有sin2α+sin2β+k=4ksinαsinβ成立?若存在，求出θ和k的值；若不存在，说明理由．
参考答案
1.D
2.D
3.A
4.C
5.B
6.D
7.A
8.B
9.AB
10.BCD
11.BD
12.32

14.32
15.解：(1)a+0.03+0.015+0.01×2×10=1⇒a=0.035，
样本平均年龄为20×0.1+30×0.3+40×0.35+50×0.15+60×0.1=38.5，
各组的频率依次为0.1,0.3,0.35,0.15,0.1，
0.1+0.3+0.35=0.75<0.78，0.1+0.3+0.35+0.15=0.9>0.78，
所以第78百分位数在第4组，设为x，则0.75+x−45×0.015=0.78⇒x=47，
所以第78百分位数为47．
(2)年龄在25,35的市民人数为200×0.3=60，年龄在45,55的市民人数为200×0.15=30，
用分层随机抽样的方法抽取年龄在25,35的人数为6×6060+30=4人，年龄在45,55的人数为6×3060+30=2人，
设年龄在25,35的4人为A，B，C，D，年龄在45,55的2人为E，F，
从这6为市民中抽取两名的基本事件有AB,AC,AD,AE,AF,BC,BD,BE,BF,CD,CE,CF,DE,DF,EF，共15个，
其中2名年龄都在25,35内的基本事件有AB,AC,AD,BC,BD,CD，共6个，
所以两名幸运市民年龄都在25,35内的概率为615=25．

16.解：(1)
设CP与ED相交于O，连接OF，
∵PF=FA，PO=OC，∴OF//CA
又OF⊂平面DEF，AC⊄平面DEF，∴AC//平面DEF
(2)设A到平面PCB距离为ℎ，
在梯形ABCD中，AB=AD=12CD=1,∠ADC=∠BAD=90∘，
∴S△ABC=12⋅AB⋅AD=12，
又∵PD⊥平面ABCD，PD= 2，
∴VP−ABC=13PD⋅S▵ABC=13× 2×12= 26，
又因为PD⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PD⊥BD，
则PB= PD2+BD2=2；又有BC= 2；PC= PD2+CD2= 6，
所以有PB2+BC2=PC2，即PB⊥BC，∴S▵PCB=12×2× 2= 2，
而VA−PCB=13ℎ⋅S▵PCB= 23ℎ=VP−ABC= 26，∴ℎ=12
又F为PA中点，故点F到平面BCP的距离12ℎ=14．

17.解：(1)因为bc−a+cb−a=1，
所以b(b−a)+c(c−a)=(c−a)(b−a)，
所以b2−ab+c2−ac=bc−ac−ab+a2，即b2+c2−a2=bc，
所以csA=b2+c2−a22bc=bc2bc=12，
因为A∈0,π，所以A=π3；
(2)因为△ABC的外接圆的面积为7π3，所以△ABC的外接圆半径为r= 213，
由正弦定理得asinA=2r，a=2rsinA=2× 213× 32= 7，
因为sinB+sinC=5 77sinA，所以由正弦定理得b+c=5 77a=5，
由(1)知b2+c2−a2=bc，
所以(b+c)2−7=3bc，得3bc=25−7=18，则bc=6，
所以△ABC的面积为12bcsinA=12×6× 32=3 32．

18.解：(1)建立以D为原点，分别以DA，DC，DD1为x,y,z轴，空间直角坐标系，

则可求A(4,0,0)，E(4,1,4)，C(0,4,0)，B14,4,4
AE=(0,1,4),CB1=(4,0,4)，设异面直线AE与B1C所成的角为α，
则csα=|AE→·CB1→|AE→||CB1→||=16 17×4 2=2 3417;
(2)令面ABF的法向量为n1=(x0,y0,z0)，
B(4,4,0)，F(0,1,4)，则AB=0,4,0,AF=−4,1,4
由n1⋅AB=0,n1⋅AF=0可得，
4y0=0−4x0+y0+4z0=0，取x0=1，
可求出n1=(1,0,1)，设直线AE和平面ABF所成角为角β，
则sinβ=|AE→·n1→|AE→||n1→||=4 17× 2=2 3417;
(3)由第二问可知，面ABF的法向量为n1=(1,0,1)，
而底面ABCD的法向量为n2=(0,0,1)，设平面ABF和平面ABCD所成角为锐角θ，
满足csθ=|n1→·n2→|n1→||n2→||=1 2= 22．
19.解：(1)因为csAa=csB+csCb+c，所以由正弦定理可得csAsinA=csB+csCsinB+sinC，
所以sinAcsB+sinAcsC=csAsinB+csAsinC，
所以sinAcsB−csAsinB=csAsinC−sinAcsC，所以sinA−B=sinC−A，
因为A−B∈−π,π，C−A∈−π,π，
所以A−B=C−A或A−B+C−A=2×π2或A−B+C−A=2×−π2，
即2A=B+C或C=B+π(舍去)或B=C+π(舍去)，又A+B+C=π，所以A=π3；
(2)①因为c≠2b，所以B=π2，又A=π3，a=2 3，所以c=2，b=4．
如图，设∠QBC=x，x∈0,π3，

则在▵QBC中，由正弦定理，得BQsinC=BCsinC+x，
所以BQ= 3sinx+π6
在▵ABP中，由正弦定理，得BPsinA=BAsinx+π3，所以BP= 3sinx+π3，
S=12BP⋅BQsinπ6=34sinx+π6sinx+π3=3−2cs2x+π2−cs−π6=3 3+2sin2x，
因为x∈0,π3，所以2x∈0,2π3，
故当2x=π2，即x=π4时，Smin=3 3+2=32− 3；
②假设存在实常数θ，k，对于所有满足题意的α，β，都有sin2α+sin2β+k=4ksinαsinβ成立，
则存在实常数θ，k，对于所有满足题意的α，β，
都有2sinα+βcsα−β+k=2kcsα−β−csα+β，
由题意，α+β=π−θ是定值，所以sinα+β，csα+β是定值，
2sinα+β−kcsα−β+k1+2csα+β=0对于所有满足题意的α，β成立，
故有sinα+β−k=0k1+2csα+β=0,
因为k=sinα+β≠0，从而1+2csα+β=0，即csα+β=−12，
因为α，β为▵BPQ的内角，所以α+β=2π3，从而θ=π−2π3=π3，k= 32．