河南省信阳市浉河区信阳高级中学北湖校区2025-2026学年高三下学期开学数学试题含答案

这是一份河南省信阳市浉河区信阳高级中学北湖校区2025-2026学年高三下学期开学数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知 1x−xn 的展开式中只有第四项的二项式系数最大,则展开式中的常数项等于( )
A. 15 B. -15 C. 20 D. -20
2. 已知正方体 ABCD−A1B1C1D1 的棱长为 1， E 为 BC 上一点，则三棱锥 B1−AC1E 的体积为 ( )
A. 12 B. 13 C. 14 D. 16
3. 已知函数 y=sinπx,x∈56,mm>56 既有最小值也有最大值,则实数 m 的取值范围是( )
A. 32,52 B. 32,136 C. 32,136 D. 32,136∪52,+∞
4. 已知 fx=2x+a,x≥0−x2+2x+a,x0 的右顶点和右焦点,过 F 作 x 轴的垂线交双曲线于 H ,且 H 在第一象限, A,F,H 到同一条渐近线的距离分别为 d1,d2,d3 ,且 d1 是 d2 和 d3 的等差中项，则 C 的离心率为_____.

四、解答题:本大题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演 算步骤.
15. 某经济研究所为了解居民存款余额变化情况，对 2009 年至 2024 年居民存款余额进行统计分析,将 2009 年看成第 1 年,依次类推,得到第 1∼16 年的居民存款余额 y (单位:万亿元)的散点图，如图所示:

(1)已知从 2021 年开始，居民存款余额超过 100 万亿元，若从 2009 年至 2024 年中任取 2 年， 求这 2 年中恰有一年居民存款余额超过 100 万亿元的概率;
(2)由散点图知， y 和 t 的关系可用经验回归模型 y=a⋅ebt 进行拟合，求 y 关于 t 的经验回归方程.
参考数据: 设 zi=lnyi ,则 z≈4,i=116ziti≈578,i=116ti2−16t2=340,e3.15≈23.34 .
参考公式: 对于一组数据 ti,zii=1,2,3,⋯,n ,其经验回归直线 z=α+βt 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 β=i=1nziti−nzti=1nti2−nt2,α=z−βt .
16. 已知点 M3,2 在双曲线 C:x2a2−y2a2−1=1a>1 上.
(1)求双曲线 C 的方程；
(2)是否存在过点 P3,−1 的直线 l 与双曲线 C 相交于 A,B 两点，且满足 P 是线段 AB 的中点? 若存在,求出直线 l 的方程; 若不存在,请说明理由.
17. 已知 △ABC 与 △ABD ，点 C 与点 D 在直线 AB 的同侧，且边 AC 与边 BD 相交于点 O ， O 为 AC 中点， DO=2OB ， AB=2 ， ∠ABC=2π3 .
(1)若 BD 平分 ∠ABC ，求 AD ；
(2)若 BC=3 ，求 sin∠BAD .
18. 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ， a1=1 且 2Sn=an+1−1 .
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)令 fx=a1x+a2x2+⋯+anxn ，求函数 fx 在 x=1 处的导数 f′1 ；
(3)若 ∀n∈N∗ ， 4n>λnan 恒成立，求实数 λ 的取值范围.
19. 如图,在直三棱柱 ABC−A1B1C1 中, AB=4,BC=23,∠ABC=π6,AA1=3 . 若 M,N 分别为棱 AC,BB1 上的动点，且 MN=25 ，点 N 在平面 A1ACC1 上的射影为点 P ，线段 MP 的中点为 Q .

(1)求证:平面 BCC1B1⊥ 平面 A1ACC1 ；
(2)求点 Q 的轨迹长度；
(3)求直线 AB 与平面 MNP 所成角的正弦值的取值范围.
1. A
由题意 n=6 ,展开式通项为 Tr+1=C6r1x6−r−xr=−1rC6rx32r−6 ,令 32r−6=0,r=4 , 所以常数项为 −14C64=15 .
故选: A.
2. D

由 ABCD−A1B1C1D1 为正方体,
显然 AB 为 A 到平面 EB1C1 的距离,
所以 VB1−AC1E=VA−EB1C1=13S△EB1C1⋅AB=13×12×1×1×1=16 ,
故选: D
3. D
由题意,函数 y=sinπx,x∈56,mm>56 既有最小值也有最大值, ∵πx≥5π6 ,
∴ ① 当函数 fx 最值取得 1,最小值为 -1 时,
结合函数 fx 图象可得 mπ>52π ,即 m>52 ;
② 当 fx 取得最大值为 12 ，最小值为 -1 时，
结合函数图象可得 mπ>3π2mπ≤13π6 ,
解得 320 ,方程有实根,
故存在过点 P3,−1 的直线 l 与该双曲线相交于 A,B 两点,且满足 P 是线段 AB 的中点. 此时 l 的方程为 y=−2x+5 .
17. (1) AD=7
(2) sin∠BAD=9201134
(1) 因为 BD 平分 ∠ABC ,所以 ∠ABD=∠CBD=12×2π3=π3 ,
又因为 O 为 AC 中点,且边 AC 与边 BD 相交于点 O ,
所以在 △ABC 中， BD 是 ∠ABC 的平分线且过对边 AC 的中点，
故 △ABC 是等腰三角形，即 AB=BC=2 ，
在 △ABC 中，由余弦定理得: AC2=AB2+BC2−2⋅AB⋅BC⋅cs120∘ ，
4+4−2×2×2×−12=12 ,
所以 AC=23,AO=OC=3 ,
则在 △ABO 中， AB=2,AO=3,∠ABO=60∘ ，由余弦定理得:
AO2=AB2+BO2−2•AB•BO•cs60∘
3=4+BO2−2×2×BO×12 ,解得 BO=1 ,
又因为 DO=2OB ,则 OD=2BO=2 ,
所以 BD=BO+OD=3 ,
同理,在 △ABD 中, AB=2,BD=3,∠ABD=60∘ ,由余弦定理得:
AD2=AB2+BD2−2⋅AB⋅BD⋅cs60∘,
=4+9−2×2×3×12=7 ,
所以 AD=7 .
(2)以 B 为原点， BA 所在直线为 x 轴，垂直于 BA 的直线为 y 轴建立平面直角坐标系，如下图所示:

由图可知 A 坐标为 −2,0 ,
因为 BC=3,∠ABC=120∘ ,得 C 坐标为 3cs60∘,3sin60∘=32,332 ,
又因为 O 为 AC 中点,由中点坐标公式得出 O 点坐标为 −14,334 ,
设 D 点坐标为 x,y ,由 DO=2OB 和 B0,0 ,得出 D 点坐标为 −34,934 ,
所以 AB=2,0,AD=54,934 ,
则 cs∠BAD=AB⋅ADABAD=2×54+0×9342×542+9342=522×672=5267 ，
所以 sin∠BAD=1−cs2∠BAD=1−254×67=9201134 ,
所以 sin∠BAD=9201134 .
18. 1an=3n−1
(2) f′1=2n−13n+14
(3) λ∈−∞,6427
(1) 当 n=1 时,已知 a1=1 ,且 2S1=a2−1 ,
因为 S1=a1=1 ,
所以 2×1=a2−1 ,解得 a2=3 ,
当 n≥2 时,由 2Sn=an+1−1 ①,可得 2Sn−1=an−1 ②,
由①式减去②式可得:
2Sn−2Sn−1=an+1−1−an−1 ,
2an=an+1−an,
an+1=3an,
即 an+1an=3 ,
又因为 a2a1=3 ,所以数列 an 是以 1 为首项,3 为公比的等比数列,
所以根据等比数列通项公式得出 an=3n−1 .
(2)已知 fx=a1x+a2x2+⋯+anxn ，根据函数求导公式得:
f′x=a1+2a2x+⋯+nanxn−1,
将 x=1 代入 f′x 可得:
f′1=a1+2a2+⋯+nan,
又因为 an=3n−1 ,
所以 f′1=1×30+2×31+⋯+n×3n−1 ③,
两边同时乘以 3 可得:
3f′1=1×31+2×32+⋯+n×3n ④
④式减去③式可得:
3f′1−f′1=1×31+2×32+⋯+n×3n−1×30+2×31+⋯+n×3n−1,
2f′1=−1−3−32−3n−1+n×3n,
其中 −1−3−32−3n−1 是以首项为 1,公比为 3 的等比数列的前 n 项求和, 所以根据等比数列求和公式可得:
−1−3−32−3n−1=−1×1−3n1−3=1−3n2 ,
所以 2f′1=1−3n2+n×3n=1−3n+2n⋅3n2=2n−13n+12 ,
所以 f′1=2n−13n+14 .
(3)因为若 ∀n∈N∗ ， 4n>λnan 恒成立，即 λ