湖北黄冈市蕲春县第一高级中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题含答案

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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．复数的虚部为（ ）
A．iB．C．1D．2
2．下列关于向量的描述正确的是（ ）
A．若向量，都是单位向量，则
B．若向量，都是单位向量，则
C．任何非零向量都有唯一的与之共线的单位向量
D．平面内起点相同的所有单位向量的终点共线
3．某班级名学生的数学测验成绩（单位：分）为：则这组数据的分位数是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的面积为（ ）
A．B．C．D．
5．已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题一定正确的是（ ）
A．若，，则.B．若，，则.
C．若，，，则D．若，，则
6．已知，则（ ）
A．B．C．D．
7．图1是古书《天工开物》中记载的筒车图．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，在农业上得到广泛应用．在图2中，一个半径为2m的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车的轴心O距水面的高度为．设筒车上的某个盛水桶P（看作点）到水面的距离为d（单位：m）（若在水面下则d为负数），若以盛水桶P刚浮出水面时开始计时，d与时间t（单位：s）之间的关系为，则（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在正三棱台中，若，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知数据，，，（且）的平均数为，方差为，中位数为，极差为；数据，，，的平均数为，方差为，中位数为，极差为，则（ ）
A．B．C．D．
10．如图是广场上供大家休息的石凳，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，若截去的八个四面体体积和是，则正确的有（ ）
A．该多面体有14个面B．该多面体有24条棱
C．该正方体的棱长为2D．该多面体表面积为
11．点O在所在的平面内，则下面四个结论正确的是（）
A．若，则点O是的外心
B．若，则点O为的垂心
C．若动点P满足，，则P的轨迹一定通过的内心
D．若E，F，G分别为，，的中点，且，，则的最大值为
三、填空题
12．函数的最大值为________.
13．如果向量满足，则与的夹角是__________．
14．如图所示，三个半径为r的小球装入半径为6cm的半球中，三个小球两两相切并与半球内切，小球与半球底面相切，则小球半径________．
四、解答题
15．已知复数，（，是虚数单位）.
(1)若是纯虚数，求；
(2)若是实系数一元二次方程的根，求实数和的值.
16．人工智能发展迅猛，在各个行业都有应用．某地图软件接入了大语言模型后，可以为用户提供更个性化的服务，某用户提出：“请统计我早上开车从家到公司的红灯等待时间，并形成统计表．”地图软件就将他最近100次从家到公司的导航过程中的红灯等待时间详细统计出来，将数据分成了，，，，（单位：秒）这5组，并整理得到频率分布直方图，如图所示．
(1)求图中a的值；
(2)估计该用户红灯等待时间的中位数（结果精确到0.1）；
(3)根据以上数据，估计该用户在接下来的10次早上从家到公司的出行中，红灯等待时间低于85秒的次数．
17．在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知，．
(1)求证：；
(2)若d为的边上的高，求的最大值及相应的A的值．
18．已知函数．
(1)用五点作图法作出函数在上的简图；
(2)求的解集；
(3)关于x的方程在区间上有两个解，且，求．
19．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面平面，且，，，.

(1)求证：平面平面；
(2)当时，求直线与平面所成角的正弦值；
(3)当时，求二面角的正切值的取值范围.
《湖北黄冈市蕲春县第一高级中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题》参考答案
1．C
2．B
3．D
4．B
5．D
6．B
7．A
8．D
9．AD
10．ABD
11．ACD
12．
13．/
14．
15．(1)
(2)或
16．(1)
(2)79.3
(3)7次
17．(1)由得，
两边同时约去c，并由正弦定理得：，
所以，即．
在中，因为三角形内角范围为，所以，或．
若，则（舍去）．
故，即．证毕．
(2)时取最大值．
18．(1)
(2)
(3)
19．(1)
由，，，可知，
故；
又平面平面，平面平面，平面，
故平面，平面，故，
又，平面，
故平面，平面，
故平面平面；
(2)
(3)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
D
B
D
B
A
D
AD
ABD
题号
11









答案
ACD