2025-2026学年上海市长宁区延安中学高二（下）期中数学试卷

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1.“事件A与事件B是对立事件”是“事件A与事件B是互斥事件”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
2.设集合A={1，2，3，4}，m、n∈A，则方程表示焦点位于x轴上的椭圆有（ ）
A. 6个B. 8个C. 12个D. 16个
3.4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法种数为（ ）
A. 36B. 64C. 72D. 81
4.有三串气球，每串气球的个数如图所示，某人每次用气枪射击一只气球，且每次都射击某一串气球中最下面的一只，直到所有的气球均被击破为止.假设此人每次射击均能击破一只气球，则其击破气球的不同顺序的种数为（ ）
A. 8B. 144C. 120D. 280
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
5.函数f（x）=x2+2x在区间[1，3]上的平均变化率为 .
6.设函数f（x）在x=1处切线斜率为2，则= .
7.由数字0，1，2，3，4可组成无重复数字的两位数的个数是 .
8.已知事件A与B相互独立，假设P（A）=0.3，P（A∩B）=0.12，则P（B）= .
9.若，则正整数n的值为 .
10.A+A= ______．
11.若，则正整数n的值为 .
12.若从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中选取三个不同的数字，则取出的这三个数字之和能被3整除的取法种数为 .
13.若动直线l：x=a与函数f（x）=x2+1，的图象分别交于点P，Q，当P，Q两点距离最近时，a的值为 .
14.2025年多哈世界乒乓球锦标赛，中国队组合王楚钦、孙颖莎以3：1战胜日本队组合吉村真晴、大藤沙月，连续第三次夺得世界乒乓球混双冠军.假设2026年的一次乒乓球比赛中，中国队组合再次遇到日本队组合，采用5局3胜制（先胜3局者胜，比赛结束），已知每局比赛中国队组合获胜的概率为，每局比赛互不影响，则中国队组合再次以3：1获胜的概率为 .
15.已知函数f（x）=-2x-x3，则不等式f（3-x2）＞f（2x-5）的解集为 .
16.设集合A={（x1，x2，x3，x4，x5）|xi∈{-1，0，1}，i=1，2，3，4，5}，那么集合A中满足条件“x1+x2+x3+x4+x5=1”的元素个数为 .
三、解答题：本题共5小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知x=1是函数f（x）=x3-6x2+ax的一个极值点.
（1）求f（x）的单调区间；
（2）求f（x）在区间[-1，4]上的最小值.
18.(本小题12分)
某校志愿者团队共派出6人参加志愿者活动，其中男生4人，女生2人；
（1）活动后6人排成一排拍照，男生甲在女生乙的左边（甲乙不必相邻），有多少种不同的排法？
（2）现要将6名志愿者分配到3所学校参加志愿者服务活动，每所学校至少分配1人，共有多少种不同的安排方法？
19.(本小题12分)
为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=（0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
（Ⅰ）求k的值及f（x）的表达式．
（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．
20.(本小题12分)
甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：
累计负两场者被淘汰：比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．
经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为．
（1）求甲连胜四场的概率；
（2）求需要进行第五场比赛的概率；
（3）求丙最终获胜的概率．
21.(本小题12分)
在篮球比赛中，一个赛季结束后，学校球队的成绩为n次赢m次输；为深入挖掘球队潜力，可研究比赛输赢序列中蕴含的规律，其中一种研究方法是分析输赢的游程情况；游程是指由相同符号组成的连续序列，该序列前后连接的是不同的符号或无符号；游程长度指该连续序列中数据的个数；一个序列中有若干游程，这些游程的总个数记为R；假设校篮球队比赛的输赢序列具有r个赢的游程，xi（1≤i≤r）表示第i个赢的游程长度，其中xi＞0，且x1+x2+…+xr=n,则记向量；yi表示第i个赢的游程以前连续输的次数，yr+1表示最后一个赢的游程后面输的次数，其中yi≥0，且y1+y2+…+yr+1=m,记向量.例如，用W表示赢，L表示输，当n=10，m=6，一个输赢序列记为WWLLWWWLWLLLWWWW：这个序列共有7个游程，其中4个赢的游程，故R=7，r=4，游程的长度依次为2，2，3，1，1，3，4，向量.
（1）已知，写出对应的输赢序列；
（2）已知篮球队的比赛成绩为3次赢，2次输，即n=3，m=2，若r=2，请写出所有满足条件的输赢序列，以及对应的向量和；
（3）若篮球队有6次赢，4次输，求具有7个游程的概率.
1.【答案】A
2.【答案】A
3.【答案】A
4.【答案】D
5.【答案】6
6.【答案】
7.【答案】16
8.【答案】0.4
9.【答案】7
10.【答案】744
11.【答案】1或4
12.【答案】30
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】（-∞，-4）∪（2，+∞）
16.【答案】45
17.【答案】解：（1）f′（x）=3x2-12x+a,
∵x=1是函数f（x）的一个极值点，
∴f′（1）=3-12+a=-9+a=0，
∴a=9，
∴f′（x）=3x2-12x+9=3（x-1）（x-3），
令f′（x）＞0，解得x＜1或x＞3；令f′（x）＜0，解得1＜x＜3，
所以函数f（x）的增区间为（-∞，1），（3，+∞），减区间为（1，3）．
（2）由（1）f（x）=x3-6x2+9x,
又∵f（x）在[-1，1]上单调递增，
在[1，3]上单调递减，在[3，4]上单调递增，
又f（-1）=-1-6-9=-16，又f（3）=27-6×9+9×3=0，
∴函数f（x）在区间[-1，4]上的最小值为f（-1）=-16．
18.【答案】360 540
19.【答案】解：（Ⅰ）设隔热层厚度为xcm，由题设，每年能源消耗费用为．
再由C（0）=8，得k=40，
因此．
而建造费用为C1（x）=6x，
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为
（Ⅱ），令f'（x）=0，即．
解得x=5，（舍去）．
当0＜x＜5时，f′（x）＜0，当5＜x＜10时，f′（x）＞0，故x=5是f（x）的最小值点，对应的最小值为．
当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值为70万元．
20.【答案】（1）甲连胜四场只能是前四场全胜，P=（）4=．
（2）根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行5场比赛，
比赛四场结束，共有三种情况：
甲连胜4场的概率为；
乙连胜4场的概率为；
丙上场后连胜3场的概率为；
所以需要进行第5场比赛的概率为，
（3）丙最终获胜有两种情况：
比赛四场结束且丙最终获胜的概率为，
比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜，负，轮空结果有3种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为，
因此丙最终获胜的概率为.
21.【答案】LLWLW LWLWW，X=（1，2），Y=（1，1，0）；LWWLW，X=（2，1），Y=（1，1，0）
WLWWL，X=（1，2），Y=（0，1，1）；WWLWL，X=（2，1），Y=（0，1，1）
WLLWW，X=（1，2），Y=（0，2，0）；WWLLW，X=（2，1），Y=（0，2，0）