2025-2026学年上海市长宁区延安中学高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2025-2026学年上海市长宁区延安中学高二（下）期中数学试卷（含解析）试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．函数在区间，上的平均变化率为 ．
2．设函数在处切线斜率为2，则 ．
3．由数字0，1，2，3，4可组成无重复数字的两位数的个数是 ．
4．已知事件与相互独立，假设（A），，则（B） ．
5．若，则正整数的值为 ．
6． ．
7．若，则正整数的值为 ．
8．若从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中选取三个不同的数字，则取出的这三个数字之和能被3整除的取法种数为 ．
9．若动直线与函数，的图象分别交于点，，当，两点距离最近时，的值为 ．
10．2025年多哈世界乒乓球锦标赛，中国队组合王楚钦、孙颖莎以战胜日本队组合吉村真晴、大藤沙月，连续第三次夺得世界乒乓球混双冠军．假设2026年的一次乒乓球比赛中，中国队组合再次遇到日本队组合，采用5局3胜制（先胜3局者胜，比赛结束），已知每局比赛中国队组合获胜的概率为，每局比赛互不影响，则中国队组合再次以获胜的概率为 ．
11．已知函数，则不等式的解集为 ．
12．设集合，，，，，0，，，2，3，4，，那么集合中满足条件“”的元素个数为 ．
二、选择题（每小题4分，共16分）
13．“事件与事件是对立事件”是“事件与事件是互斥事件”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
14．设集合，2，3，，、，则方程表示焦点位于轴上的椭圆有（ ）
A．6个B．8个C．12个D．16个
15．4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法种数为（ ）
A．36B．64C．72D．81
16．有三串气球，每串气球的个数如图所示，某人每次用气枪射击一只气球，且每次都射击某一串气球中最下面的一只，直到所有的气球均被击破为止．假设此人每次射击均能击破一只气球，则其击破气球的不同顺序的种数为（ ）
A．8B．144C．120D．280
三、解答题（共48分）
17．已知是函数的一个极值点．
（1）求的单调区间；
（2）求在区间，上的最小值．
18．某校志愿者团队共派出6人参加志愿者活动，其中男生4人，女生2人；
（1）活动后6人排成一排拍照，男生甲在女生乙的左边（甲乙不必相邻），有多少种不同的排法？
（2）现要将6名志愿者分配到3所学校参加志愿者服务活动，每所学校至少分配1人，共有多少种不同的安排方法？
19．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度（单位：满足关系：，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
（Ⅰ）求的值及的表达式．
（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值．
20．甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：
累计负两场者被淘汰：比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．
经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为．
（1）求甲连胜四场的概率；
（2）求需要进行第五场比赛的概率；
（3）求丙最终获胜的概率．
21．在篮球比赛中，一个赛季结束后，学校球队的成绩为次赢次输；为深入挖掘球队潜力，可研究比赛输赢序列中蕴含的规律，其中一种研究方法是分析输赢的游程情况；游程是指由相同符号组成的连续序列，该序列前后连接的是不同的符号或无符号；游程长度指该连续序列中数据的个数；一个序列中有若干游程，这些游程的总个数记为；假设校篮球队比赛的输赢序列具有个赢的游程，表示第个赢的游程长度，其中，且，则记向量；表示第个赢的游程以前连续输的次数，表示最后一个赢的游程后面输的次数，其中，且，记向量．例如，用表示赢，表示输，当，，一个输赢序列记为：这个序列共有7个游程，其中4个赢的游程，故，，游程的长度依次为2，2，3，1，1，3，4，向量．
（1）已知，写出对应的输赢序列；
（2）已知篮球队的比赛成绩为3次赢，2次输，即，，若，请写出所有满足条件的输赢序列，以及对应的向量和；
（3）若篮球队有6次赢，4次输，求具有7个游程的概率．
参考答案
一、填空题（每小题3分，共36分）
1．函数在区间，上的平均变化率为 6 ．
解：（3），（1）
该函数在区间，上的平均变化率为；
故答案为：6
2．设函数在处切线斜率为2，则 ．
解：函数在处切线斜率为2，（1），
（1），
故答案为：．
3．由数字0，1，2，3，4可组成无重复数字的两位数的个数是 16 ．
解：当两位数不含0时，有种；当这个两位数含有0时，只有4种情况，
总的个数为．
故答案为：16．
4．已知事件与相互独立，假设（A），，则（B） 0.4 ．
解：事件与相互独立，则（A）（B），
又（A），，
故．
故答案为：0.4．
5．若，则正整数的值为 7 ．
解：由，
可得，且，
即，解得．
故答案为：7．
6． 744 ．
解：根据排列数公式的性质得，
解得，
．
故答案为：744．
7．若，则正整数的值为 1或4 ．
解：因为，
所以，可化为，
所以或，解得或，
因此正整数的值为1或4．
故答案为：1或4．
8．若从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中选取三个不同的数字，则取出的这三个数字之和能被3整除的取法种数为 30 ．
解：若从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中选取三个不同的数字，
被3除余1的数有1，4，7，被3除余2的数有2，5，8，被3整除的数有3，6，9．
若要使选取的三个数字的和能被3整除，则需要从每一组中选取一个数字，或者从一组中选取三个数字，
则取出的这三个数字的和能被3整除的种数种．
故答案为：30．
9．若动直线与函数，的图象分别交于点，，当，两点距离最近时，的值为 ．
解：因为函数的定义域为，依题意，，
作出函数与的图象，如图所示：
由图知，当取定时，的函数值恒大于的函数值，
因，则，
设，
则（a），
则当时，（a），当时，（a），
故函数（a）在上单调递减，在上单调递增，
则当时，（a）取得最小值，为，
即当，两点距离最近时，的值为．
故答案为：．
10．2025年多哈世界乒乓球锦标赛，中国队组合王楚钦、孙颖莎以战胜日本队组合吉村真晴、大藤沙月，连续第三次夺得世界乒乓球混双冠军．假设2026年的一次乒乓球比赛中，中国队组合再次遇到日本队组合，采用5局3胜制（先胜3局者胜，比赛结束），已知每局比赛中国队组合获胜的概率为，每局比赛互不影响，则中国队组合再次以获胜的概率为 ．
解：根据题意可知，一共打了4局比赛，且第4局一定是中国队获胜，
前3局比赛中，中国队恰好赢2局、输1局，已知每局中国队获胜概率为，输的概率为，
每局比赛独立，概率为．
故答案为：．
11．已知函数，则不等式的解集为，， ．
解：函数的定义域为，求导得．
对任意，，故，恒成立．
因此在上为单调递减函数．
不等式，结合单调递减性质，函数值大对应自变量小．
所以．
移项整理得，因式分解得．
解得或，即解集为，，．
故答案为：，，．
12．设集合，，，，，0，，，2，3，4，，那么集合中满足条件“”的元素个数为 45 ．
解：设，，，，中，有个1，个，则有个0，
则需，解得，
当时，，，，，，共有种情况；
当时，，，，，，共有种情况；
当时，，，，，，共有种情况；
故共有种情况，
即集合中满足条件“”的元素个数为45．
故答案为：45．
二、选择题（每小题4分，共16分）
13．“事件与事件是对立事件”是“事件与事件是互斥事件”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解：“事件与事件是对立事件” “事件与事件是互斥事件”，
“事件与事件是互斥事件” “事件与事件不一定是对立事件”，
“事件与事件是对立事件”是“事件与事件是互斥事件”的充分而不必要条件．
故选：．
14．设集合，2，3，，、，则方程表示焦点位于轴上的椭圆有（ ）
A．6个B．8个C．12个D．16个
解：焦点位于轴上的椭圆则，
当时，；当时，，2；当时，，2，3；
共6个
故选：．
15．4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法种数为（ ）
A．36B．64C．72D．81
解：依题意可知，其中一个小区必安排2名同学，
则先把4名同学分成“1，1，2”的组合，有种方式，
再将这三组安排到3个小区，有种方式，
所以符合题意的不同的安排方法种数为种．
故选：．
16．有三串气球，每串气球的个数如图所示，某人每次用气枪射击一只气球，且每次都射击某一串气球中最下面的一只，直到所有的气球均被击破为止．假设此人每次射击均能击破一只气球，则其击破气球的不同顺序的种数为（ ）
A．8B．144C．120D．280
解：某人每次用气枪射击一只气球，且每次都射击某一串气球中最下面的一只，直到所有的气球均被击破为止，
将被射击的8个气球排成一列，同一串气球按由下往上的顺序放入，
相当于8个位置，取4个位置将中间一串气球按由下往上的顺序放入，有种方法，
再从余下4个位置中取3个将左边一串的3个气球按由下往上的顺序放入，有种方法，
最后放入右边的一个气球于最后一个位置，有种方法，
由分步计数乘法原理得击破气球的不同顺序的种数为．
故选：．
三、解答题（共48分）
17．已知是函数的一个极值点．
（1）求的单调区间；
（2）求在区间，上的最小值．
解：（1），
是函数的一个极值点，
（1），
，
，
令，解得或；令，解得，
所以函数的增区间为，，减区间为．
（2）由（1），
又在，上单调递增，
在，上单调递减，在，上单调递增，
又，又（3），
函数在区间，上的最小值为．
18．某校志愿者团队共派出6人参加志愿者活动，其中男生4人，女生2人；
（1）活动后6人排成一排拍照，男生甲在女生乙的左边（甲乙不必相邻），有多少种不同的排法？
（2）现要将6名志愿者分配到3所学校参加志愿者服务活动，每所学校至少分配1人，共有多少种不同的安排方法？
解：（1）全排列有种排法，男生甲与女生乙共有种排法，
故男生甲在女生乙的左边，共有种；
（2）先将6名志愿者分成3组，可以分成，1，或，2，或，2，三种不同情况，
若人数为，2，，共有种安排方法；
若人数为，2，，共有种安排方法；
若人数为，1，，共有种安排方法；
故共有种不同的安排方法．
19．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度（单位：满足关系：，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
（Ⅰ）求的值及的表达式．
（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值．
解：（Ⅰ）设隔热层厚度为，由题设，每年能源消耗费用为．
再由，得，因此．
而建造费用为，
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为
（Ⅱ）方法一：，令，即．
解得，（舍去）．
当时，，当时，，
故是的最小值点，对应的最小值为．
当隔热层修建厚时，总费用达到最小值为70万元．
方法二：由（Ⅰ）知，，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以当隔热层修建厚时，总费用达到最小值为70万元．
20．甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：
累计负两场者被淘汰：比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．
经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为．
（1）求甲连胜四场的概率；
（2）求需要进行第五场比赛的概率；
（3）求丙最终获胜的概率．
解：（1）甲连胜四场只能是前四场全胜，．
（2）记事件为甲输，事件为乙输，事件为丙输，故四局内结束比赛的概率为
，
故需要进行第五场比赛的概率为．
（3）法一：设事件为甲输，事件为乙输，事件为丙输，
记事件：甲赢，记事件：丙赢，则甲赢的基本事件包括：、、、、、、、，
则甲赢终的概率为：
；
由对称性可知：乙赢的概率和甲赢的概率相等，
所以丙获胜的概率为．
法二：（1）只打四场比赛，此时丙只需赢三场，即第二场到第四场，其概率，
（2）打五场比赛，最后一场丙赢，则丙在第二，三，四场比赛必然输一场，因此要继续打分两种情况进行讨论：
若丙第二场输，则第四场和第五场丙赢，则，概率，
若丙第三场输，则第二场和第五场丙赢，则，概率，
若丙第四场输，则前三场必有一人被淘汰，其概率为，
综上所述，丙获胜的概率．
21．在篮球比赛中，一个赛季结束后，学校球队的成绩为次赢次输；为深入挖掘球队潜力，可研究比赛输赢序列中蕴含的规律，其中一种研究方法是分析输赢的游程情况；游程是指由相同符号组成的连续序列，该序列前后连接的是不同的符号或无符号；游程长度指该连续序列中数据的个数；一个序列中有若干游程，这些游程的总个数记为；假设校篮球队比赛的输赢序列具有个赢的游程，表示第个赢的游程长度，其中，且，则记向量；表示第个赢的游程以前连续输的次数，表示最后一个赢的游程后面输的次数，其中，且，记向量．例如，用表示赢，表示输，当，，一个输赢序列记为：这个序列共有7个游程，其中4个赢的游程，故，，游程的长度依次为2，2，3，1，1，3，4，向量．
（1）已知，写出对应的输赢序列；
（2）已知篮球队的比赛成绩为3次赢，2次输，即，，若，请写出所有满足条件的输赢序列，以及对应的向量和；
（3）若篮球队有6次赢，4次输，求具有7个游程的概率．
解：（1）假设校篮球队比赛的输赢序列具有个赢的游程，表示第个赢的游程长度，
其中，且，则记向量；表示第个赢的游程以前连续输的次数，
表示最后一个赢的游程后面输的次数，其中，且，记向量．
，
赢的游程数为，赢的次数，输的次数，
根据定义：由得第1个赢的游程以前连续输2次，对应序列为；
接着第一个赢游程长度：对应序列为；
然后，第2个赢的游程以前连续输1次，对应序列为；
接着第二个赢游程长度：对应序列为；
最后，表示没有输．
输赢序列为：．
（2）篮球队的比赛成绩为3次赢，2次输，即，，
由，，得所求序列有两个赢的游程，
设，则，，，可能为，，
，则，，，，
同时，为保证两个赢游程不合并，中间必须有至少一个输，即，故可能为1或2，
满足条件的输赢顺序及对应向量分别为：
，，，1，，
，，，1，，
，，，1，，
，，，1，，
，，，2，，
，，，2，．
（3）篮球队有6次赢，4次输，共10场，即“6个，4个的排列”，
所有可能的输赢序列共有种，
设赢游程数为，输游程数为，
游程总数，且输赢序列交替出现，
，且，
，或，，
当，时，
将6个赢分成4个非空游程：在6个赢之间的5个空隙中选3个放入隔板，有种；
将4个输分成3个非空游程：在4个输之间的3个空隙中选2个放入隔板，有种，
此序列共有种，
当，时，
将6个赢分成3个非空游程：在6个赢之间的5个空隙中选2个放入隔板，有种；
将4个输分成4个非空游程：在4个输之间的3个空隙中选3个放入隔板，有种，
此序列共有种，
满足条件的序列总数有种，
所求概率为，篮球队有6次赢，4次输且具有7个游程的概率为．