2023-2024学年上海市长宁区延安中学高二（下）期中数学试卷 （含解析）

这是一份2023-2024学年上海市长宁区延安中学高二（下）期中数学试卷 （含解析），共16页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知函数，则 ．
2．某人抛掷一枚质地均匀的硬币10次，其中正面朝上7欠，则该硬币正面朝上的频率为 ．
3．函数的驻点为 ．
4．函数在区间，上的最大值为 ．
5．若事件与互斥，且，（B），则 ．
6．若直线与曲线（参数有唯一的公共点，则实数 ．
7．某小组成员的年龄分布茎叶图如图所示，则该小组成员年龄的第25百分位数是 ．
8．一名信息员维护甲、乙两公司的网络，一天内甲公司需要维护和乙公司需要维护相互独立，它们需要维护的概率分别为0.2和0.3，则至少有一个公司不需要维护的概率为 ．
9．已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围为 ．
10．在平面直角坐标系中，动点和点、满足，则动点的轨迹方程为 ．
11．若对任意，有成立，则的最大值为 ．
12．已知，是双曲线的左、右焦点，过的直线交双曲线的右支于，两点，且，，则在下列结论中，正确结论的序号为 （注意：不填或错填得0分，漏填得2分．
（1）双曲线的离心率为2；
（2）双曲线的一条渐近线的斜率为；
（3）线段的长为；
（4）△的面积为．
二、选择题（本大题共4题，满分12分，每题3分）
13．现有以下两项调查：①从40台刚出厂的大型挖掘机中抽取4台进行质量检测；②在某校800名学生中，型、型、型和型血的学生依次有300，200，180，120人．为了研究血型与色弱的关系，需从中抽取一个容量为40的样本．完成这两项调查最适宜采用的抽样方法分别是
A．①②都采用简单随机抽样
B．①②都采用分层随机抽样
C．①采用简单随机抽样，②采用分层随机抽样
D．①采用分层随机抽样，②采用简单随机抽样
14．从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是
A．恰好有一个白球与都是红球
B．至多有一个白球与都是红球
C．至多有一个白球与都是白球
D．至多有一个白球与至多一个红球
15．已知函数的导函数的图像如图所示，下列说法不正确的是
A．函数在上严格增
B．函数在上严格减
C．函数在处取得极大值
D．函数共有两个极小值点
16．已知函数，若存在唯一的零点，且，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
三、解答题（本大题共5题，满分46分）
17．一个盒子里装有标号为1，2，3，4的4张标签，随机地选取两张标签，一次选取一张．
（1）若标签的选取是无放回的，写出该随机试验的一个等可能的样本空间，并求两张标签上的数字为相邻整数的概率；
（2）若标签的选取是有放回的，写出该随机试验的一个等可能的样本空间，并求两张标签上的数字为相邻整数的概率．
18．已知抛物线，定点．
（1）过点且过抛物线的焦点的直线，交抛物线于、两点，求；
（2）求过点且与抛物线有且仅有一个公共点的直线方程．
19．某高校承办了2024年上海帆船公开赛的志愿志选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组，，第二组，，第三组，，第四组，，第五组，，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．
（1）求、的值，并估计这100名候选者面试成绩的平均数；
（2）在第四、五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两个来自同一组概率．
20．已知函数，，其中，．
（1）求函数在点，（1）处的切线方程；
（2）函数，，是否存在极值点，若存在，求出极值点，若不存在，请说明理由；
（3）若关于的不等式在区间，上恒成立，求实数的取值范围．
21．已知椭圆，，，，，这四点中恰有三点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）点是椭圆上的一个动点，求面积的最大值；
（3）过的直线交椭圆于、两点，设直线的斜率，在轴上是否存在一点，使得以、为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由．
参考答案
一．选择题（共4小题）
一、填空题（本大题共12题，满分42分，第1-6题每题3分，第7-12题每题4分）
1．已知函数，则 1 ．
解：，则，
故．
故答案为：1．
2．某人抛掷一枚质地均匀的硬币10次，其中正面朝上7欠，则该硬币正面朝上的频率为 ．
解：某人抛掷一枚质地均匀的硬币10次，其中正面朝上7欠，则该硬币正面朝上的频率为．
故答案为：．
3．函数的驻点为 ．
解：函数，可得，
令，解得．
故答案为：．
4．函数在区间，上的最大值为 ．
解：，
当时，，当时，，
所以在上递增，在上递减，
故当时取得极大值，也为最大值，（1）．
故答案为：．
5．若事件与互斥，且，（B），则 ．
解：由于事件与互斥，且，
所以（A）（B），
故（A），
所以．
故答案为：．
6．若直线与曲线（参数有唯一的公共点，则实数 ．
解：曲线（参数即，表示圆心在，半径等于1的圆．
由题意知，圆心到直线的距离等于半径1，即，
，
故答案为．
7．某小组成员的年龄分布茎叶图如图所示，则该小组成员年龄的第25百分位数是 32.5 ．
解：因为，所以该小组成员年龄的第25百分位数是．
故答案为：32.5．
8．一名信息员维护甲、乙两公司的网络，一天内甲公司需要维护和乙公司需要维护相互独立，它们需要维护的概率分别为0.2和0.3，则至少有一个公司不需要维护的概率为 0.94 ．
解：一名信息员维护甲乙两公司的网络，
一天内甲公司需要维护和乙公司需要维护相互独立，
它们需要维护的概率分别为0.2和0.3，
至少有一个公司不需要维护的概率为：
．
故答案为：0.94．
9．已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围为 ， ．
解：由得：
①当时，，函数在区间上单调递增，不合题意；
②当时，函数的极值点为，
若函数在区间不单调，必有，解得．
故答案为：．
10．在平面直角坐标系中，动点和点、满足，则动点的轨迹方程为 ．
解：点、满足，
，，，
化简可得．
故答案为：．
11．若对任意，有成立，则的最大值为 1 ．
解：因为，所以，
所以函数在区间上单调递增，
在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，所以．
故实数的最大值为1．
故答案为：1．
12．已知，是双曲线的左、右焦点，过的直线交双曲线的右支于，两点，且，，则在下列结论中，正确结论的序号为 （1）（4） （注意：不填或错填得0分，漏填得2分．
（1）双曲线的离心率为2；
（2）双曲线的一条渐近线的斜率为；
（3）线段的长为；
（4）△的面积为．
解：如图，
已知，由双曲线定义知，解得，，
又，，可得，
则△，故，解得，则，，
，可得，即，得离心率，
，
在△中，，，，
，
故（1）（4）正确．
故答案为：（1）（4）．
二、选择题（本大题共4题，满分12分，每题3分）
13．现有以下两项调查：①从40台刚出厂的大型挖掘机中抽取4台进行质量检测；②在某校800名学生中，型、型、型和型血的学生依次有300，200，180，120人．为了研究血型与色弱的关系，需从中抽取一个容量为40的样本．完成这两项调查最适宜采用的抽样方法分别是
A．①②都采用简单随机抽样
B．①②都采用分层随机抽样
C．①采用简单随机抽样，②采用分层随机抽样
D．①采用分层随机抽样，②采用简单随机抽样
解：由题意对于①，40台刚出厂的大型挖掘机被抽取的可能性一样，故为简单随机抽样，
对于②，为了研究血型与色弱的关系，说明某校800名学生被抽取的可能性要按照血型比例分层抽取，故为分层随机抽样．
故选：．
14．从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是
A．恰好有一个白球与都是红球
B．至多有一个白球与都是红球
C．至多有一个白球与都是白球
D．至多有一个白球与至多一个红球
解：从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，
表示的事件分别为（红，白），（红，红），（白，白）三种情况，
故选项互斥不对立，正确，
选项：至多有一个白球表示的是（红，白），（红，红），与都是红球不互斥，故错误，
选项：由选项的分析可知互斥且对立，故错误，
选项：至多有一个红球表示的是（红，白），（白，白），所以两个事件不互斥，故错误，
故选：．
15．已知函数的导函数的图像如图所示，下列说法不正确的是
A．函数在上严格增
B．函数在上严格减
C．函数在处取得极大值
D．函数共有两个极小值点
解：对于，由图象可知，当时，，当时，，
所以函数在上先减后增，故错误；
对于，当时，，所以函数在上单调递减，故正确；
对于，因为在左侧附近导数为正，右侧附近导数为负，
所以函数在处取得极大值，故正确；
对于，因为在左侧附近导数为负，右侧附近导数为正，
所以函数在处取得极小值，
因为在左侧附近导数为负，右侧附近导数为正，
所以函数在处取得极小值，
则函数共有两个极小值点，故正确．
故选：．
16．已知函数，若存在唯一的零点，且，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
解：，
，；
①当时，有两个零点，不成立；
②当时，在上有零点，故不成立；
③当时，在上有且只有一个零点；
故在上没有零点；
而当时，在上取得最小值；
故；
故；
综上所述，
实数的取值范围是；
另解：将方程，
变形为，
可令，则，
此问题即的图象与直线有且只有一个交点，
则交点的横坐标大于0，
如图作出的图象，
由图象可得的范围是．
故选：．
三、解答题（本大题共5题，满分46分）
17．一个盒子里装有标号为1，2，3，4的4张标签，随机地选取两张标签，一次选取一张．
（1）若标签的选取是无放回的，写出该随机试验的一个等可能的样本空间，并求两张标签上的数字为相邻整数的概率；
（2）若标签的选取是有放回的，写出该随机试验的一个等可能的样本空间，并求两张标签上的数字为相邻整数的概率．
解：（1）标签的选取是无放回的，
则样本空间，，，，，，，，，，，，
其中两张标签上的数字为相邻整数的有，，，，，共6个基本事件，
所以两张标签上的数字为相邻整数的概率．
（2）标签的选取是有放回的，
则样本空间，，，，，，，，，，，，，，，，
其中两张标签上的数字为相邻整数的有，，，，，共6个基本事件，
所以两张标签上的数字为相邻整数的概率．
18．已知抛物线，定点．
（1）过点且过抛物线的焦点的直线，交抛物线于、两点，求；
（2）求过点且与抛物线有且仅有一个公共点的直线方程．
解：（1）由题意可得，直线的方程为，即，
联立解方程组，可得，
设，，，，则，
；
（2）当直线斜率不存在时，直线方程为，与抛物线只有一个交点，
当直线斜率存在时，设直线方程为，
联立，得，
当时，方程的解为，此时直线与抛物线只有一个交点，
当时，则△，解得，直线方程为．
19．某高校承办了2024年上海帆船公开赛的志愿志选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组，，第二组，，第三组，，第四组，，第五组，，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．
（1）求、的值，并估计这100名候选者面试成绩的平均数；
（2）在第四、五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两个来自同一组概率．
解：（1）因为第三、四、五组的频率之和为0.7，
所以，
解得，
所以前两组的频率之和为，
即，所以；
平均数为，
（2）第四、第五两组志愿者分别有20人，5人，
故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4，分别设为，，，，第五组志愿者人数为1，设为，
这5人中选出2人，所有情况有10种情况，分别为：
，，，，，．，，，，
其中选出的两人来自同一组的有：
，，，，，，共6种情况，
故选出的两人来自同一组的概率为．
20．已知函数，，其中，．
（1）求函数在点，（1）处的切线方程；
（2）函数，，是否存在极值点，若存在，求出极值点，若不存在，请说明理由；
（3）若关于的不等式在区间，上恒成立，求实数的取值范围．
解：（1），（1），因为，所以（1），
所以在点，（1）的切线方程为，即；
（2）设，，
当时，恒成立，所以在严格增，不存在极值点；
当时，当时，，当时，，
所以在严格减，在严格增，
所以函数存在一个极小值点，无极大值点；
（3）原不等式，
当时，恒成立；
当时，，即，
由（2）知时，，此时，
所以此时，
所以此时，且由以上分析可知，当时，，
综上，实数的取值范围为．
21．已知椭圆，，，，，这四点中恰有三点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）点是椭圆上的一个动点，求面积的最大值；
（3）过的直线交椭圆于、两点，设直线的斜率，在轴上是否存在一点，使得以、为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由．
解：（1）由，两点关于轴对称，因此，两点必然在椭圆上，，
若点在椭圆上，则，得出，矛盾，因此点不在椭圆上，
点在椭圆上，，解得，
．
椭圆的方程为：．
（2），，
直线的方程为：．
设与椭圆相切的直线方程为：，
代入椭圆方程可得：，
化为：，
令△，解得，
取，此时与椭圆相切的直线方程为：，
与直线的距离，
面积的最大值．
（3）设，，，，
假设在轴上存在一点，使得以、为邻边的平行四边形为菱形．
直线的方程为：，，
代入椭圆方程可得：，
△，
，
线段的中点，，
线段的垂直平分线的方程为：，
令，则，当且仅当时取等号．
又，则，
，．
因此在轴上存在一点，使得以、为邻边的平行四边形为菱形，其中，．
题号
13
14
15
16
答案
C
A
A
D