陕西西安市西北大学附属中学2025-2026学年高一下学期期末数学试题解析版

这是一份陕西西安市西北大学附属中学2025-2026学年高一下学期期末数学试题解析版，共38页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 已知为虚数单位，复数满足，则的模为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，则.
2. 如图，在平行四边形中，为靠近点的三等分点，则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为为靠近点的三等分点，所以，所以.
3.如图，是水平放置的的直观图，，，则的面积为
A. 4B. 6C. 8D. 12
【答案】D
【解析】依题意，的边分别在轴上，且，
所以的面积 .
4.已知向量，若，则
A. 3B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，所以，
又，所以，即，解得：，
所以，所以，
所以.
5.已知，，为三条不同的直线，，为两个不同的平面，则以下选项正确的是
A. 若，，，，则
B. 若，，则，是异面直线
C. 若，，，则
D. 若，，，则
【答案】C
【解析】A：只有当，相交时，才有，所以本选项说法不正确；
B：当，时，，的位置关系为平行、相交、异面，所以本选项说法不正确；
C：过作平面交于，则 ，过作平面交于，则，故，
又不在平面内，又平面，所以，而，故，故，故本选项说法正确；
D：若， 如果或，则不能判断 ，故本选项说法不正确.
6.已知圆锥的轴截面是正三角形，侧面积为，则圆锥的体积为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为圆锥的轴截面是等边三角形，所以，.
又因为侧面积为，所以.
则.所以圆锥的体积为.
7.如图，在长方体中，，点分别为的中点，则异面直线和所成角的余弦值为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图所示，取的中点，连接，，，
在长方体中，，因为，分别是，，所以，所以，所以直线和所成角是锐角， 因为，所以，所以，
因为为的中点，所以，所以，所以，，
在中，由余弦定理得，
所以异面直线和所成角的余弦值为.
8.如图，在中，点O是线段BC上靠近点B的三等分点，过点O的直线分别交直线AB、AC于点M、N．设，，则的值为
A. 1B. C. 2D. 3
【答案】B
【解析】在中，由点O是线段BC上靠近点B的三等分点，得，
则，即，
而，，则，
由共线，得，所以.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知向量，其中，则下列说法正确的是
A. 若，则的值为2
B. 若，则的值为
C. 若与的夹角为锐角，则
D. 若，则与的夹角的余弦值为
【答案】ABD
【解析】对于A，，则，故A正确；
对于B，若，则，故B正确；
对于C，与的夹角为锐角，所以，
又时，与的夹角为0，
所以与的夹角为锐角，，故C错误；
对于D，，，，故D正确.
10.在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，下列叙述正确的有
A. 若，则为等腰三角形
B. 若，则为钝角三角形
C. 若，，，则有两解
D. 若为锐角三角形，则
【答案】BD
【解析】对于选项A：因为，由正弦定理可得，即，
例如，，则，，
满足，但为直角三角形，故A错误；
对于选项B：若，由正弦定理可得，
设，，，，且角为最大角，
则，
且，可知角为钝角，所以为钝角三角形，故B正确；
对于选项C：由正弦定理可得，
且，则，，所以有且仅有一个解，故C错误；
对于选项D：若为锐角三角形，则，，
可得，，所以，故D正确.
11.如图，在正方体中，，点为线段上的动点，则下列结论正确的是
A. 连接，总有平面
B. 点为线段上的中点时，二面角平面角的余弦值为
C. 平面平面
D. 的最小值为
【答案】ACD
【解析】对于A，在正方体中，
由，且平面，平面，则平面，
又，且平面，平面，则平面，
又，且平面，所以平面平面，
因为平面，所以平面，故A正确；
对于B，连接，交于，则是的中点，过作于，则是的中点，
则，则，
又，，
则，即，
过作于，则，则，
则是的四等分点且靠近处，取的中点，连接，
又是等边三角形，则，则，则，
所以是二面角的平面角，
又，分别为，的中点，则，
所以在中，，故B错误；
对于C，在正方体中，由平面，且平面，所以，
又是正方形，所以，
又，且平面，所以平面，
又平面，所以平面平面，故C正确；
对于D，将和沿着展开至同一平面，
则当，，三点共线时，取得最小值，
由，，且，则，则，
又，则，
所以的最小值为，故D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.已知向量，，向量在向量上投影向量的坐标为________.
【答案】
【解析】由题知，向量与向量的夹角余弦值为，
则向量在向量上投影向量的坐标为 .
13.万里高速公路纪念塔位于泰安市岱岳区卧虎山上，被誉为泰安的“东方明珠”．如图，为测量塔的高度，可选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得，，米，在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高为_________米．
【答案】
【解析】在中，，，，
所以，
由正弦定理可得，即，解得，
在中，，，
由，得 .
14.在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥的表面积为______，三棱锥的内切球的体积为________.
【答案】①. 27 ②.
【解析】因为，，，在中，，
所以，又平面，所以，
因为平面，，，平面，所以，，，
故，又，，所以平面，
又平面，所以，所以，，，均为直角三角形，
设三棱锥的内切球的球心为，半径为，则，
即，
解得，故三棱锥的内切球的体积为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.已知复数，（为虚数单位）．
（1）若为纯虚数，求的值；
（2）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围 .
【解析】(1)若为纯虚数，则，解得 .
(2)对应点位于第二象限，则，
解得，所以.
所以的取值范围为 .
16.在中，角所对的边分别为，若．
（1）求A的大小；
（2）若，求的面积.
【解析】(1)因为，
由正弦定理可得：，
即，在中，，
所以，因为，所以；
（2）由（1）知，，因为，，
由余弦定理，得：
即，得，所以的面积 .
17.在四棱锥中，平面平面ABCD，，底面ABCD为菱形，，，E，F分别是SA，BC的中点．
（1）求证：平面SCD；
（2）求SC与底面ABCD所成角的余弦值
【解析】
(1) 取的中点M，连接，，因为，分别为，的中点，则且，
又因为F为BC的中点，且四边形为菱形，则且，
可得且，可知四边形EFCM是平行四边形，则，且平面，平面，
所以平面．
(2)取AB的中点O，连接，，，
因为，则，
且平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
即为直线SC与底面所成角的平面角，
在中，则，，，
可得，
所以直线SC与底面所成角的余弦值为．
18.如图，在中，内角，，所对的边分别是，，，且．
（1）求角的大小．
（2）若，，是边的中点，为边上一点，.
（i）求，CE的长度；
（ii）设与交于点，求．
【解析】 (1) 由，得.
由余弦定理得，.
又，所以.
(2) （i），
因为是边的中点，所以，
则，
所以，即.
由，，得.
在中，由余弦定理得，
所以.
（ii）由图可知，即为与的夹角.
，
则
.
所以.
19.如图，在四棱锥中，平面，底面为平行四边形.
（1）当时，
（i）求证：；
（ii）若是上任意一点，，，当面积的最小值是9时，求证：平面；
（2）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.若，，且四边形的面积为8，若点可能为，，的中点，试确定点位置，使得四面体为鳖臑（需要证明），并求出该鳖臑外接球表面积的最小值.
【解析】 (1)（i）连接，因为平面，平面，所以，
因为底面为平行四边形且，所以四边形为菱形，则，
因为平面，所以平面，
又平面，所以；
（ii）设，连接，
.
因为平面，平面，所以，
因为面积的最小值是9，所以，则，
故当时，，故，
则，则，即，
因为平面，平面，所以，
因为，所以，
则，则，
因为，，
所以，则，
因为平面，所以平面；
(2)点为线段的中点，
设，则，
因为平面，平面，所以，，
因为，，所以，
因为平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为点为线段的中点，则，即为直角三角形，
因为，
所以，则，
故，故四面体为鳖臑；
将该鳖臑补形至长方体中，其中，
所以体对角线长为，
设外接球的半径为，所以，
则外接球表面积为，等号成立时，
故该鳖臑外接球表面积的最小值为.