2025-2026学年陕西西安市西北大学附属中学高一（下）期末数学试卷

这是一份2025-2026学年陕西西安市西北大学附属中学高一（下）期末数学试卷，共16页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知i为虚数单位，复数z满足（1+i）z=4i,则z的模为（ ）
A. B. 2C. D.
2.如图，在平行四边形ABCD中，M为靠近点D的三等分点，则=（ ）
A.
B.
C.
D.
3.如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，O′A′=3，O′B′=4，∠A′O′B′=45°，则△OAB的面积是（ ）
A. 6B. C. 12D. 6
4.已知向量，若，则=（ ）
A. 3B. C. D.
5.已知l,m,n为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则以下选项正确的是（ ）
A. 若m,n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β
B. 若m⊂α，n⊂β，则m,n是异面直线
C. 若α∩β=l,m∥α，m∥β，则m∥l
D. 若α⊥β，α∩β=l,m⊥1，则m⊥α
6.已知圆锥的轴截面是正三角形，侧面积为8π，则圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
7.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，BC=2，CC1=4，点E，F分别为CC1，AD的中点，则异面直线EF和AD1所成角的余弦值为（ ）
A.
B.
C.
D.
8.如图，在△ABC中，点O是线段BC上靠近点B的三等分点，过点O的直线分别交直线AB、AC于点M、N.设，，则m+n的值为（ ）
A. 1
B.
C. 2
D. 3
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知向量，，其中t∈R，则下列说法正确的是（ ）
A. 若⊥，则t的值为2
B. 若∥，则t的值为
C. 若与的夹角为锐角，则t∈（-∞，2）
D. 若t=1，则与的夹角的余弦值为
10.在△ABC中，a,b,c分别为内角A，B，C的对边，下列叙述正确的有（ ）
A. 若acsA=bcsB，则△ABC为等腰三角形
B. 若sinA：sinB：sinC=2：3：4，则△ABC为钝角三角形
C. 若A=45°，，b=2，则△ABC有两解
D. 若△ABC为锐角三角形，则sinA＞csB
11.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，点M为线段B1C上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A. 连接D1M，总有D1M∥平面A1BD
B. 点M为线段B1C上的中点时，二面角M-BD-A1平面角的余弦值为
C. 平面A1BD⊥平面A1ACC1
D. BM+MA1的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分。
12.已知向量，，向量在向量上投影向量的坐标为 .
13.万里高速纪念塔位于泰安市卧虎山上，被誉为泰安的“东方明珠”.如图，为测量塔的高度AB，可选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D.现测得∠BCD=75°，∠BDC=60°，CD=50米，在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB为 米.
14.在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=BC=3，AB=4，AC=5，则三棱锥P-ABC的表面积为 ，三棱锥P-ABC的内切球的体积为 .
四、解答题：本题共5小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题11分)
已知复数z=（m2-3m-10）+（m2-8m+15）i,m∈R（i为虚数单位）.
（1）若z为纯虚数，求m的值；
（2）若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，求m的取值范围.
16.(本小题11分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,若acsB+bcsA=2ccsA.
（1）求A的大小；
（2）若a=7，b+c=13，求△ABC的面积.
17.(本小题12分)
在四棱锥S-ABCD中，平面SAB⊥平面ABCD，，底面ABCD为菱形，AB=2，，E，F分别是SA，BC的中点.
（1）求证：EF∥平面SCD；
（2）求SC与底面ABCD所成角的余弦值.
18.(本小题12分)
如图，在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a,b,c,且a2+c2-ac=b2.
（1）求角B的大小.
（2）若c=3，a=2，D是AC边的中点，E为边AB上一点，AB=3BE.
（i）求BD，CE的长度；
（ii）设BD与CE交于点F，求cs∠CFD.
19.(本小题12分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为平行四边形.
（1）当AD=CD时，
（i）求证：AC⊥PB；
（ii）若E是PB上任意一点，AC=6，，当△AEC面积的最小值是9时，求证：EC⊥平面PAB；
（2）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.若AD⊥CD，PD=CD，且四边形ABCD的面积为8，若点F可能为PA，PB，PC的中点，试确定点F位置，使得四面体F-BCD为鳖臑（需要证明），并求出该鳖臑外接球表面积的最小值.
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】ABD
10.【答案】BD
11.【答案】ACD
12.【答案】（，-）
13.【答案】
14.【答案】27
π

15.【答案】m=-2
（-2，3）
16.【答案】；
．
17.【答案】证明：取SD的中点M，连接ME，MC，

因为E，M分别为SA，SD的中点，
则EM∥AD且，
又因为F为BC的中点，且四边形ABCD为菱形，
则FC∥AD且，
可得EM∥FC且EM=FC，可知四边形EFCM是平行四边形，
则EF∥MC，且MC⊂平面SCD，EF⊄平面SCD，
所以EF∥平面SCD

18.【答案】
（i），；（ii）
19.【答案】（i）证明：因为在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为平行四边形，
又AD=CD，连接AC，BD，则PD⊥AC，
因为底面ABCD为平行四边形且AD=CD，所以四边形ABCD为菱形，
所以AC⊥BD，又PD∩BD=D，
所以AC⊥平面PBD，所以AC⊥PB；
（ii）证明：设AC∩BD=O，连接EO，
因为AC⊥平面PBD，所以AC⊥EO，
因为△AEC面积的最小值是9，
所以，则EO≥3，
故当OE⊥PB时，EO=3，
故，
则∠OEC=45°，则∠AEC=90°，即EC⊥AE，
因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥BD，
因为，
所以，
则，
则，
因为，，
所以EC2+EB2=BC2，则EC⊥EB，又AE∩EB=E，
所以EC⊥平面PAB
16π