2025--2026学年甘肃西北师范大学附属中学高一下册期中考试数学试题 [含解析]

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1. 复数（为虚数单位）的虚部是
A. B. C. D.
2. 在中，点D为的中点，点O为的重心，则（ ）
A. B. C. D.
3. 若，则（ ）
A. B. C. D.
4. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则角C的大小是（ ）
A. B. C. D. 或
5. 已知，且，则（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知在中，，则的形状是（ ）
A. 直角三角形B. 钝角三角形C. 等腰直角三角形D. 等边三角形
7. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
8. 在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 已知向量，，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 向量与的夹角为
C. 若，则D.
10. 已知，且，则（ ）
A. B. C. D.
11. 如图，点是所在平面内的一点，，，，、分别为边、的中点，与交于点，则（ ）
A.
B. 在上的投影向量等于
C.
D. 的最小值为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设O是原点，向量、对应的复数分别为2﹣3i，﹣3+2i，那么，向量对应的复数是_____．
13. 已知，且与夹角为钝角，则的取值范围___________.
14. 在锐角中，内角A，B，C的对边分别为，且，若D是的角平分线与BC的交点，则的取值范围是________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知向量，，.
（1）求和的值；
（2）求与的夹角的余弦值.
16. 已知且.
（1）求的值；
（2）求的值．
17. （
已知函数.
（I）求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；
（II）若,求的值.
18. 记的内角的对边分别为，已知为的外心.
（1）求；
（2）求的面积；
（3）求周长的取值范围.
19. 在中，角的对边分别为，向量，且，点为边上一点．
（1）求角的大小；
（2）若是的角平分线，的周长为19，求的长度；
（3）若是边上靠近点A的一个三等分点，，求实数的取值范围．
数学
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 复数（为虚数单位）的虚部是
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：
利用复数的除法可得后，从而可得其虚部.
解答过程：，所以复数的虚部是.故选A.
方法提示：本题考查复数的除法及其复数的概念，注意复数的虚部是，不是，这是复数概念中的易错题.
2. 在中，点D为的中点，点O为的重心，则（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：结合重心性质与向量运算化简可得.
解答过程：
如图，连接，因为点O为的重心，
则为的三等分点，且，
所以，
故选：A.
3. 若，则（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：由余弦二倍角公式和同角的三角函数关系计算即可.
解答过程.
故选：A
4. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则角C的大小是（ ）
A. B. C. D. 或
答案：B
解析：
思路：根据正弦定理求得，然后根据角的范围求解即可.
解答过程：由题设及，则，
又，故C为锐角，且，所以.
故选：B．
5. 已知，且，则（ ）
A. B.
C. D.
答案：A
解析：
思路：用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于的一元二次方程，求解得出，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论.
解答过程：，得，
即，解得或（舍去），
又.
故选：A.
方法提示：本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.
6. 已知在中，，则的形状是（ ）
A. 直角三角形B. 钝角三角形C. 等腰直角三角形D. 等边三角形
答案：D
解析：
思路：根据，可得，再根据结合余弦定理即可得出结论.
解答过程：解：因为，
所以，所以，
则，
即，所以，
所以，
所以为等腰三角形，
又，所以为等边三角形.
故选：D.
7. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：先利用辅助角公式求出，再利用二倍角公式求解即可
解答过程：解：因为，所以，
所以，
所以
，
故选：B
8. 在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：依题意建立平面直角坐标系，设，表示出，，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；
解答过程：解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，
因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，
设，，
所以，，
所以
，其中，，
因为，所以，即；
故选：D

二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 已知向量，，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 向量与的夹角为
C. 若，则D.
答案：BC
解析：
思路：利用向量共线、夹角、垂直、模长公式的知识依次判断选项即可.
解答过程：对于A，因为，则，故A不正确；
对于B，由题可得，，
因为向量夹角范围为，所以向量与的夹角为，故B正确；
对于C，由于，，则，解得，故C正确；
对于D，由于，所以，故D错误；
故选：BC
10. 已知，且，则（ ）
A. B. C. D.
答案：AC
解析：
思路：利用二倍角公式和平方和关系可得到，，即可判断每个选项.
解答过程：，
因为，所以，，
所以，，，
故选：AC
11. 如图，点是所在平面内的一点，，，，、分别为边、的中点，与交于点，则（ ）
A.
B. 在上的投影向量等于
C.
D. 的最小值为
答案：BCD
解析：
思路：根据余弦定理直接计算判断A，根据投影向量的法则求解判断B，根据的特点，建立平面直角坐标系，运用平面向量的坐标运算求得判断C，结合平面向量的线性运算、数量积的运算及二次函数的性质判断D.
解答过程：对于A，在中，，，，所以由余弦定理得
，故A错误；
对于B，在上的投影向量等于，故B正确；
对于CD，如图，以为原点，以为轴，过点A与垂直的直线为轴，
建立平面直角坐标系，
则，，，，，
，，
所以，
又，所以，故C正确；
设，则，，
所以
，当且仅当时等号成立，
即的最小值为，故D正确.
故选：BCD
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设O是原点，向量、对应的复数分别为2﹣3i，﹣3+2i，那么，向量对应的复数是_____．
答案：5﹣5i
解析：
解答过程：试题分析：根据向量、对应的复数分别为2﹣3i，﹣3+2i，得到向量=，代入所给的数据作出向量对应的结果．
解：∵向量、对应的复数分别为2﹣3i，﹣3+2i，
∴向量==2﹣3i+3﹣2i=5﹣5i
故答案为5﹣5i
考点：复数的代数表示法及其几何意义．
13. 已知，且与夹角为钝角，则的取值范围___________.
答案：且
解析：
思路：根据与夹角为钝角列不等式组，由此求得的取值范围.
解答过程：由于与夹角为钝角，所以，
解得且.
所以的取值范围是且.
故且
14. 在锐角中，内角A，B，C的对边分别为，且，若D是的角平分线与BC的交点，则的取值范围是________.
答案：
解析：
思路：根据题意利用余弦定理可得，在中，利用正弦定理结合三角恒等变换可得，结合角的取值范围分析求解.
解答过程：在中，由得，
由余弦定理得，
且，所以.
又因为AD是的平分线，则，
在中，由正弦定理得，
可得，
且是锐角三角形，所以，解得，
则，可得，所以，
故的取值范围是.
故答案为.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知向量，，.
（1）求和的值；
（2）求与的夹角的余弦值.
答案：（1），；
（2）.
解析：
思路：（1）由向量模长坐标运算得，再利用向量数量积定义及向量数量积运算律求解即可；
（2）由向量夹角余弦值计算公式计算求解即可.
（1）由，得，
所以，
；
（2）由，
所以与的夹角的余弦值为.
16. 已知且.
（1）求的值；
（2）求的值．
答案：（1）；（2）．
解析：
思路：（1）由代入正切函数的二倍角公式即可求解；
（2）求出，利用两角和的正切函数公式可得答案.
解答过程：（1）因为，所以．
（2）因为，
所以，
所以，
所以，
因为，所以，
所以．
17. （
已知函数.
（I）求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；
（II）若,求的值.
答案：（1）周期为，最大值为2，最小值为-1
（2）解析：
解答过程：试题分析：（1）将函数利用倍角公式和辅助角公式化简为,再利用周期可得最小正周期,由找出对应范围,利用正弦函数图像可得值域;（2） 先利用求出,再由角的关系展开后代入可得值.
试题解析:（1）
所以
又 所以
由函数图像知.
（2）解：由题意
而 所以
所以
所以 =.
考点：三角函数性质;同角间基本关系式;两角和的余弦公式
18. 记的内角的对边分别为，已知为的外心.
（1）求；
（2）求的面积；
（3）求周长的取值范围.
答案：（1）
（2） （3）
解析：
思路：（1）借助余弦定理计算即可得；
（2）借助正弦定理可求出外接圆半径，再利用圆周角定理与面积公式计算即可得解；
（3）法一：借助正弦定理将边化为角后，利用三角恒等变换公式计算即可得解.法二：借助余弦定理及基本不等式可得周长最大值，结合三角形三边关系即可得周长范围.
（1）由余弦定理得，
又，所以；
（2）为的外心，则由正弦定理得，
所以，又，
所以；
（3）由（1）及正弦定理得，
则，
记的周长为，则l=2+b+c=2+433sinB+sinC，
又，则，
则sinB+sinC=sinB+sin2π3−B=32sinB+32csB=3sinB+π6，
因为，所以，
所以sinB+sinC∈32,3，所以.
方法二：
由，得，
因为，所以，
即，所以，当且仅当时，等号成立，
因为，所以，所以，
即周长的取值范围为.
19. 在中，角的对边分别为，向量，且，点为边上一点．
（1）求角的大小；
（2）若是的角平分线，的周长为19，求的长度；
（3）若是边上靠近点A的一个三等分点，，求实数的取值范围．
答案：（1）
（2） （3）
解析：
思路：（1）由向量运算可得，然后由正弦定理边角互化可得答案；
（2）由题及余弦定理可得，然后由（1）结合可得答案；
（3）解法一：设，，然后在，中利用正弦定理可得
，然后由三角函数性质可得答案；解法二：由题，又可得，然后由正弦定理边角互化可得，据此可得答案.
（1）且
，即.
.
又，则，结合，；
（2）而
为角的角平分线
.
即，；
（3）设，则；
设，则.
在中即
在中
即，
则.
又，，而，
，
由和差化积公式可得.
则.
，；
解法二：，
，
.
．
.
，
.