江西南昌市第十中学2025-2026学年高一下学期7月期末数学试题含答案

这是一份江西南昌市第十中学2025-2026学年高一下学期7月期末数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若复数z满足z2−i=5，则z=（ ）
A．5B．1C．3D．25
2．如图，正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是（ ）

A．2B．22
C．1+2D．21+2
3．已知向量a=1,0，b=−2,23，则向量a在向量b上的投影数量是（ ）
A．12B．−12C．−14D．−18
4．圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是半圆，那么此圆锥的高是（ ）
A．1B．2C．3D．2
5．如下图所示，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，如果点E是AA1的中点，那么过点D1、B、E的截面图形为（ ）
A．三角形 B．矩形C．正方形D．菱形
6．如图，在△ABC中，AE=23AB，AF=13AC，且BF与CE交于点M，设AM=xAE+yAF，则x−2y=（ ）
A．0B．37C．67D．1
7．在正三棱柱ABC−A1B1C1中，已知AA1=32AB，D，E分别在棱AA1，BB1上，且AD=2DA1，B1E=2EB，则异面直线BC与DE所成角的余弦值为（ ）
A．55B．56C．255D．23
8．如图，边长都为1且互相垂直的正方形ABCD和ABEF的对角线AC，BF上分别有一动点M，N，满足M到点C的距离等于N到点B的距离，则四面体M−ABN体积的最大值为（ ）
A．18B．112C．124D．127
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．平行六面体的各个面都是平行四边形
B．圆柱的侧面展开图是一个正方形
C．将棱台的侧棱延长后必交于一点
D．将直角三角形绕其一边所在的直线旋转一周形成的旋转体是圆锥
10．已知单位向量a,b的夹角为120°，则以下说法正确的是（ ）
A．a+b=1B．a+2b⊥a
C．csa−b,b=32D．a+2b与2a+b可以作为平面内的一组基
11．已知函数fx=2sin2x+π3+2sin2x−π3+cs2x，则下列说法正确的是（ ）
A．π2是fx的一个周期B．fx在3π8,5π12上单调递增
C．fx的值域是1,3D．直线x=3π4是fx的对称轴
三、填空题
12．已知tanα=3，则sinα−2csα2sinα+csα=_________.
13．已知正四棱台上底面边长为2，下底面边长为22，侧棱与底面所成角为45°，则该正四棱台的体积为______.
14．已知函数fx=asinx+3csx满足：fx≤fπ6．若函数fx在区间x1,x2上单调，且fx1+fx2=0，则当x1+x2取得最小值时，sinx1+x2=________．
四、解答题
15．如图，在四棱锥C−ABED中，四边形ABED是正方形，点G,F分别是线段EC,BD的中点．

(1)求证：GF ∥平面ABC；
(2)若H是线段BC的中点，证明：平面GFH ∥平面ACD．
16．已知在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且2acsB=ccsB+bcsC．
(1)求角B的大小；
(2)设向量m=csA,cs2A,n=12,−5，求当m⋅n取最大值时，tanC的值．
17．如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD是菱形，PA⊥AC,BD⊥PC,PA=AB=8.
(1)证明：PA⊥平面ABCD.
(2)若PC=4PE,∠ABC=60∘，求三棱锥P−BDE的体积.
18．已知函数fx=Asinωx+φω>0的部分图象如图所示.
(1)求函数fx的解析式；
(2)函数fx图象上的所有点向左平移π6个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数gx的图象，求函数gx在区间0,π上的最小值以及取得最小值时x的值；
(3)若函数ℎx=fx−1在−π6,m上有且仅有两个零点，求m的取值范围.
19．若fx=cs2x+π3+cs2x−π3+23sinx⋅csx+a的最小值为−1.
(1)求实数a的值；
(2)若fα2=2，求sin2α−π6的值；
(3)若关于x的方程msinx+π4+sinxcsx+12=2m2(m>0)在区间0,π上有且仅有两个不同的实数根，求实数m的取值范围.
《江西南昌市第十中学2025-2026学年高一下学期7月期末数学试题》参考答案
1．A
2．B
3．B
4．C
5．D
6．A
7．A
8．C
9．AC
10．ABD
11．ABD
12．17
13．143
14．−32
15．(1)证明见解析
(2)证明见解析
16．(1)B=π4
(2)7
17．(1)证明：记AC∩BD=O，因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC.
因为BD⊥PC,PC⊂平面PAC,AC⊂平面PAC，且AC∩PC=C，
所以BD⊥平面PAC.
因为PA⊂平面PAC，所以BD⊥PA.
因为PA⊥AC,AC⊂平面ABCD,BD⊂平面ABCD，且AC∩BD=O，
所以PA⊥平面ABCD.
(2)VP−BDE=3233.
18．(1)fx=2sin2x−π6
(2)最小值为−1，此时x=π
(3)π2≤m