江西省南昌市第十中学2025-2026学年高二上学期期末数学试题含答案

这是一份江西省南昌市第十中学2025-2026学年高二上学期期末数学试题含答案，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．
1．已知直线l1:ax−y+1=0，l2:x−by−2=0，则“a+b=0”是“l1⊥l2”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．若直线l:3x+4y+m=0与圆C:x2+y2+4x=0有两个交点，则m的取值范围为（ ）
A．(−4,16)B．(−6,14)
C．[−4,16]D．[−6,14]
3．已知随机事件A，B，P(A)=12，P(B|A¯)=23，P(A¯|B¯)=34，则P(B)等于（ ）
A．29B．27
C．79D．17
4．袋中装有除颜色外均相同的4个红球、3个蓝球和2个绿球.现从袋中无放回地随机取球，每次取1个球，直到取到红球为止.则第3次恰好取到红球的概率为（ ）
A．518B．1063
C．542D．514
5．x2−y(2x+y)5的展开式中x3y3的系数为（ ）
A．－60B．－80C．100D．120
6．在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°，AB=1，AD=AA1=2．求直线BD1与A1D所成角的余弦值（ ）
A．0B．33
C．56D．233
7．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若P，Q是C上关于原点对称的两点，若PF1⊥QF1成立，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．13,12B．12,22
C．12,1D．22,1
8．如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为棱AA1的中点，P为四边形ABCD
内（包括边界）一个动点，若直线PE与平面ABB1A1所成的角为π6，则PB的最小值为（ ）
A．223 B．63
C．324 D．233
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列结论正确的是（ ）
A．随机变量X服从二项分布B3,12，Y=2X+1，则D(Y)=3
B．甲、乙、丙、丁4个人到3个国家做学术交流，每人只去一个国家，每个国家都需要有人去，则不同的安排方法有72种
C．在(x+1)n的二项展开式中，若各项系数和为32，则x2项的系数为10
D．随机变量X服从正态分布N(5,σ2)，且P(20)的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，以线段AB为直径的圆交y轴于M、N两点，设线段AB的中点为P，则下列说法中正确的是（ ）
A．若抛物线上存在一点E(2,t)到焦点F的距离等于3，则抛物线的方程为y2=8x
B．OA→·OB→=−3p24
C. 若点F到抛物线准线的距离为2，则sin∠PMN的最小值为12
D. 若|AF|·|BF|=4p2，则直线AB的斜率为±33
三、填空题：本大题共3 小题，每小题5 分，共计15 分.
12. 已知向量a=(1,−3,2)，b=(1,1,−1)，求cs⟨a，b⟩=______.
13. 某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件E发生，该公司要赔偿a元.设在一年内E发生的概率为P，为使公司收益的期望值等于a的百分之十，公司应要求顾客交保险金为_____.
14. 已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2。点A在C上，点B在y轴上，F1A⊥F1B，F2A=−23F2B，则C的离心率为_____.
四、解答题：本题共5小题共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表：
（1）记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值；
（2）根据小概率值α=0.001的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关.
附χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，
16. 如图所示，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=BC=22AB，且∆AA1C为等边三角形，D
是AC的中点，A1D⊥AB．
（1）证明：AA1⊥BC；
（2）求平面ABB1A1与平面A1CB所成角的正弦值．
17．某强基计划试点高校为选拔基础学科拔尖人才，对考生设置两项能力测试：学科知识整合能力指标x（考察数学、物理等学科知识的交叉应用）和创新思维能力指标y（考察逻辑推理、问题建模等能力）．随机抽取5名考生的测试结果如表：
（1）若学科知识整合能力指标的平均值x¯=9，
（i）求t的值；
（ii）求y关于x的经验回归方程y^=b^x+a^，并估计学科知识整合能力指标为14时的创新思维能力指标；
（附：经验回归方程y^=b^x+a^中b^和a^的最小二乘估计分别为{b^=∑i=1n(xi−x¯)(yi−y¯)∑i=1n(xi−x¯)2a^=y¯−^x¯，
（2）现有甲、乙两所试点高校的强基计划笔试环节均设置了三门独立考试科目，每门科目通过情况相互独立；
甲高校：每门科目通过的概率均为25，通过科目数记为随机变量X；
乙高校：第一门科目通过概率为12，第二门科目通过概率为14，第三门科目通过概率为23，通过科目数记为随机变量Y；
若以笔试环节通过科目数的期望为决策依据，分析考生应选择报考哪所高校．
18．如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=2CD=4，PA⊥CD．在锐角∆PAD中，AD=PD=32．
（1）求证：平面PAD⊥平面ABCD；
（2）在棱PD上是否存在一点E；使PB∥平面ACE？若存在，求出PEED的值；若不存在，请说明理由；
（3）若直线AC与平面PCD所成的角为30°，求平面PBC与平面PCD夹角的余弦值．
19．双曲线E经过两点3,52和2305,1．
（1）求双曲线E的标准方程；
（2）过点(−1,−2)的直线交双曲线E于A，B两点，F1为左焦点，直线AF1交双曲线于另一点M，直线BF1交双曲线于另一点N，求直线MN过定点．
1．C
2．A
3．C
4．B
5．A
6．A
7.D
8.D
9．ACD
10．ABD
11．BCD
12. −24221
13. (p+0.1)a
14．355
15．（1）910
（2）有关
（1）根据表格可知，检查结果不正常的200人中有180人患病，所以P的估计值为180200=910；
（2）零假设为H0：超声波检查结果与患病无关，
根据表中数据可得，χ2=1000×(20×20−780×180)2800×200×800×200=765.625>10.828=x0.001，
根据小概率值α=0.001的χ2独立性检验，我们推断H0不成立，即认为超声波检查结果与患该病有关，该推断犯错误的概率不超过0.001．
16．（1）因为∆A1AC为等边三角形，且D是AC的中点，
所以A1D⊥AC，又A1D⊥AB，且AC∩AB=A，AC，AB⊂面ABC，
所以A1D⊥平面ABC，
因为BC⊂平面ABC，所以A1D⊥BC，
因为AC=BC=22AB，所以AC2+BC2=AB2，所以AC⊥BC，
又A1D∩AC=D，AC，A1D⊂平面A1AC，所以BC⊥平面A1AC，
因为AA1⊂平面A1AC，所以AA1⊥BC.
（2）设AC=BC=2，取A1C1的中点为E，连接CE，得A1D∥CE
由（1）知：A1D⊥平面ABC，所以CE⊥平面ABC，
以C为原点，分别以CA，CB，CE所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，
得A(2,0,0)，B(0,2,0)，A1(1,0,3)，C(0,0,0)，所以CA→=(1,0,3)，CB→=(0,2,0)，
BA→=(2,−2,0)，BA1→=(1,−2,3)，
设平面A1CB的法向量为m→=(x1,y1,z1)，则{m→⋅CA→=x1+3z1=0m→⋅CB→=2y1=0，
取x1=3，可得z1=−1，y1=0，所以m→=(3,0,−1)，
设平面ABB1A1的法向量为n→=(x2,y2,z2)，则
{n⋅BA1→=x2−2y2+3z2=0,n⋅BA→=2x2−2y2=0，
取x2=3，可得z2=3，y2=3，所以n=(3,3,3)，
则cs⟨m，n⟩=m·n|m|·|n|=33+0−33+0+1×9+9+3=77，
所以平面ABB1A1与平面A1CB所成角的正弦值为1−cs2θ=427，
即平面ABB1A1与平面A1CB所成角的正弦值为427．
17.（1）（i）由表格数据可得x¯=6+8+9+t+125=9，解得t=10．
（ii）显然y¯=2+3+4+5+65=4，
则∑i=15(xi−x¯)(yi−y¯)
=(6−9)×(2−4)+(8−9)×(3−4)+(9−9)×(4−4)+(10−9)×(5−4)+(12−9)×(6−4)=14，
∑i=15(xi−x¯)2=(6−9)2+(8−9)2+(9−9)2+(10−9)2+(12−9)2=20，
∴b^=∑i=15(xi−x¯)(yi−y¯)∑i=15(xi−x¯)2=1420=0.7．
∴a^=4−9×0.7=−2.3．∴所求经验回归方程为y^=0.7x−2.3．
当x=14时，y^=0.7×14−2.3=7.5，
∴当学科知识整合能力指标为14时，创新思维能力指标的预测值为7.5；
（2）该考生通过甲高校的考试科目数为X，则X∼B3,25．
则E(X)=3×25=65．
设该考生通过乙高校的考试科目数为Y，则Y的所有可能取值为0，1，2，3．
P(Y=0)=1−12×1−14×1−23=324，
P(Y=1)=12×1−14×1−23+1−12×14×1−23+1−12×1−14×23=1024，
P(Y=2)=12×14×1−23+12×1−14×23+1−12×14×23=924，
P(Y=3)=12×14×23=224．
∴E(Y)=0×324+1×1024+2×924+3×224=1712>65=E(X)．
∴该考生更应报考乙高校．
18．（1）证明：四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠BAD=90°，所以CD⊥AD，
又PA⊥CD，PA∩AD=A，AD，PA⊂平面PAD，故CD⊥平面PAD，
又CD⊂平面ABCD，所以平面PAD⊥平面ABCD．
（2）解：连接BD，交AC于O点，连接OE．
若PB∥平面ACE，因为PB⊂平面PBD，平面PBD∩平面ACE=OE，
故PB∥OE，
又AB∥CD，AB=2CD，则PEED=BOOD=ABCD=2，
故E为PD三等分点（靠近点D），即PEED=2．
故在棱PD上存在点E，当PEED=2时，PB∥平面ACE．
（3）因为CD⊥AD，以D为原点，分别以DA，DC所在直线为x轴、y轴建立空间直角坐标系，如图
则D(0,0,0)，A(32,0,0)，C(0,2,0)，B(32,4,0)，
所以DC→=(0,2,0)，AC→=(−32,2,0)．
设∠PDA=θ0