2.2有理数的乘法与除法（4知识点+9大题型+针对训练）【暑假自学课】2026-2027年小升初七年级数学上册讲义（人教版）含答案

这是一份2.2有理数的乘法与除法（4知识点+9大题型+针对训练）【暑假自学课】2026-2027年小升初七年级数学上册讲义（人教版）含答案，共20页。
2.理解除法法则，掌握“除以一个数等于乘以这个数的倒数”，以及0不能做除数。
洞悉◆教材知识
知识点01 有理数的乘法法则
1.两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．任何数同0相乘，仍得0．
2.几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：
（1）当负因数的个数是偶数时，积是正数；
（2）当负因数的个数是奇数时，积是负数．
3.几个数相乘，如果其中有因数为0，积等于0
4.乘积是1的两个有理数互为倒数；正数的倒数是正数；负数的倒数是负数；0没有倒数.
例如：1；1
倒数：乘积是1的两个有理数互为倒数.
【注意】：①0没有倒数；②倒数等于它本身的数有1和-1.
知识点02 有理数的乘法运算律
（1）乘法交换律：ab＝ba.
（2）乘法结合律：（ab）c＝ a（bc）
（3）乘法分配律：a（b＋c）＝ ab＋ac
知识点03 确定乘积符号
（1）若a＜0，b＞0，则ab < 0；（2）若a＜0，b＜0，则ab > 0；（3）若ab＞0，则a、b同号；
（4）若ab＜0，则a、b异号；（5）若ab = 0，则a、b中至少有一个数为0.
知识点04 有理数除法法则
1.除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．
2.两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商．
3.0除以任何一个不等于0的数，都得0
4.有理数的加、减、乘、除混合运算的顺序：
（1）如无括号应按照先乘除，后加减的顺序进行；如果有括号，则先算括号里面的.
（2）同级运算，按从左到右的顺序计算.
【注意】：0除以任何不为0的数，都得0.
核心题型◆归纳
题型解析◆精准备考
【题型1 两个有理数的乘法运算】
例题：计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)504
(4)
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
【变式训练】
1．计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)4
(2)
(3)
(4)
【详解】（1）解：；
（2）解：．
（3）解：；
（4）解：原式．
【题型2 多个有理数的乘法运算】
例题：计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：
；
（2）
．
【变式训练】
1．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
【题型3 倒数】
例题：的倒数是 ．
【答案】
【详解】解：∵，
∴的倒数是，
故答案为：．
【变式训练】
1．的倒数是 ．
【答案】
【详解】解：的倒数是，
故答案为：．
【题型4 有理数乘法运算律】
例题：计算：
【答案】47
【详解】
．
【变式训练】
1．计算：．
【答案】
【详解】解：
．
【题型5 有理数乘法的实际应用】
例题：某一出租车一天下午以鼓楼为出发点在东西方向运营，向东走为正，向西走为负，行车里程（单位：）依先后次序记录如下：．
(1)将最后一名乘客送到目的地，出租车离鼓楼出发点多远？在鼓楼的什么方向？
(2)若每千米的价格为2元，司机一个下午的营业额是多少？
【答案】(1)离鼓楼出发点米，出租车在鼓楼
(2)116元
【详解】（1）解：，
故出租车离鼓楼出发点米，出租车在鼓楼；
（2）解：元，
故司机一个下午的营业额是116元．
【变式训练】
1．海洋科考队于某天早晨乘船从海岛M出发，在南北走向的海岸线上进行科考活动．规定向北行进为正，向南行进为负．从出发到结束当天的科考活动时，他们的行进里程（单位：海里）记录如下：．
(1)结束当天的科考活动时，科考队是在海岛M的北边还是南边？距离海岛M有多远？
(2)从出发到结束当天的科考活动，科考队的船只总共行驶了多少海里？
(3)如果船只每行驶1海里耗油4升，那么在整个科考活动过程中，船只共耗油多少升？
【答案】(1)科考队是在海岛M的北边，距离海岛M有海里；
(2)科考队的船只总共行驶了海里；
(3)船只共耗油升．
【详解】（1）解：（海里），
∴科考队是在海岛M的北边，距离海岛M有海里；
（2）解：由题意可得：
（海里），
∴科考队的船只总共行驶了海里；
（3）解：（升），
∴船只共耗油升．
【题型6 有理数的除法运算】
例题：计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)5
(2)
(3)
(4)36
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
【变式训练】
1．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：；
（4）解：．
【题型7 有理数的乘除混合运算】
例题：计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)3
(3)
(4)12
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
【变式训练】
1．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
【题型8 有理数的乘除混合运算之新定义型问题】
例题：中考新趋势•新定义 若规定：，例如：，试求的值．
【答案】
【详解】解：∵，
∴，
∴．
【变式训练】
1．定义新运算“※”：对于有理数a，b（a，b都不为0），．例如：．求的值．
【答案】．
【详解】解：∵，
∴
．
【题型9 有理数的除法中绝对值之分类讨论问题】
例题：分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．用这种方法解决下列问题：
(1)当时，求的值．
(2)当时，求的值．
(3)已知是有理数，当时，试求的值．
【答案】(1)1
(2)
(3)2或
【详解】（1）解：把代入得：；
（2）解：∵，
∴；
（3）解：由可分：
当时，则有；
当时，则有；
综上所述，的值为2或．
【变式训练】
1．有理数在数轴上对应点的位置如图所示．
(1)______0；（填“”或“”）
(2)化简：．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：根据数轴得：，，
∴；
（2）解：∵，
∴；
一、有理数的乘法
1．若，则内的数字是（ ）
A．B．2C．4D．
【答案】A
【分析】本题考查的是有理数的乘法运算，根据可得答案.
【详解】解：∵，
∴则内的数字是，
故选：A
2．计算：的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了有理数的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
根据有理数的乘法法则计算即可得到答案．
【详解】解：，
故选：D．
3．用简便方法计算，逆用分配律正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查的是乘法的运算律，熟练掌握乘法的运算律是解题的关键．
利用乘法对加法的分配率的逆应用运算即可．
【详解】解：
故选：B．
4．下列运算中用的运算律是（ ）
．
A．乘法结合律及分配律
B．乘法交换律及分配律
C．乘法交换律及乘法结合律
D．分配律及加法结合律
【答案】A
【分析】本题考查有理数的混合运算，乘法运算律，熟练掌握乘法运算律是解题的关键．
根据题干中的解题过程，结合乘法运算律即可得出答案．
【详解】解：
（乘法结合律）
（乘法分配律）
∴运用的运算律为乘法结合律及分配律，
故选：A．
5．老师设计了计算接力游戏，规则是每名同学只能利用前面一个同学的式子，进一步计算，将计算的结果传给下一个同学，最后解决问题．过程如下：
其中步骤错误的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】B
【分析】本题考查有理数的混合运算，根据有理数的混合运算法则进行判断即可．
【详解】解：
∴出错的是乙．
故选：B．
6．若的运算结果为正数，则内的数字可以为（ ）
A．3B．2C．0D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了有理数的乘法运算．根据有理数乘法符号法则，三个数相乘结果为正值，当且仅当负数的个数为偶数．
【详解】解：原式为；
1. 已知为负数，为正数，故原式中已有1个负数；
2. 要使结果为正数，负数的总个数需为偶数，因此内的数必须为负数，使负数总个数变为2（偶数）；
3. 选项中只有为负数，满足条件；
4. 验证：，符合题意．
故选：D．
7．实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示．如果，那么下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了数轴，相反数的意义，有理数加法，乘法及绝对值的意义数轴上点的位置关系，数轴上右边的点大于左边的点，离原点越远绝对值越大，解决本题的关键是确定原点的位置．根据，确定原点的位置，再根据a，b，c与原点的距离判断选项．
【详解】解：∵，
∴a，c互为相反数，
∴；
A、，原结论错误，不符合题意；
B、，原结论错误，不符合题意；
C、，正确，符合题意；
D、，原结论错误，不符合题意；
故选：C．
8．数学活动课上，王老师在4张卡片上分别写了4个不同的数（如图），然后从中抽取2张，使这2张卡片上各数之积最大，最大的积为__________．
【答案】
【分析】本题考查有理数的乘法运算，有理数比较大小，根据题意，分6种情况，由有理数的乘法运算法则计算后比较大小即可得到答案．
【详解】解：根据题意，抽取的2张卡片上各数之积有下面情况：
；
；
；
；
；
；
，
抽取的2张卡片上各数之积最大的值是，
故答案为：．
9．在数中任取两个数相乘，其中最大的积是_________．
【答案】12
【分析】本题考查了有理数的乘法运算，有理数比较大小，根据题意，分别计算出结果，再进行比较即可求解．
【详解】解：根据题意，，
，，
∵，
∴最大的积是，
故答案为： ．
10．若，且，则______．
【答案】
【分析】本题主要考查了绝对值、代数式求值等知识点，根据题意确定a、b的值成为解题的关键．
由可得，再结合、可得，然后代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵、，
∴，
∴．
故答案为：．
11．用简便方法计算下列各题：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，乘法运算，掌握运算法则，正确计算是解题的关键．
（1）利用交换律和结合律计算，再进行加减计算；
（2）先利用乘法分配律得到，再进行剩余部分计算；
（3）直接利用乘法分配律计算．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
12．计算下列各题，能简算的要简算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)用简便方法计算：．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查了有理数的四则运算，准确运用运算律计算是解题关键．
（1 ） 仔细观察本题，通过调整，逆用乘法分配律，即可简算结果；
（2 ）逆用乘法分配律，即可简算结果；
（3 ）先去括号、假分数转成真分数计算，再观察题目，逆用乘法分配律，即可简算结果；
（4 ）先把原式变形为，再利用乘法分配律求解即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：
=2010000；
（3）解：
；
（4）解:
．
一、有理数的除法
13． 计算的结果为（ ）
A．B．32C．D．64
【答案】C
【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，先把除法转化为乘法，再按乘法法则计算即可．
【详解】解：
．
故选C．
14．计算的结果是（ ）
A．6B．-6C．12D．-12
【答案】A
【分析】本题考查有理数的乘除混合运算，掌握有理数的乘除混合运算法则是解题关键．先计算除法，再计算乘法即可．
【详解】解：
．
故选A．
15．计算：的结果是（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【分析】此题考查有理数的乘除运算，关键是根据有理数的除法和乘法法则计算．
根据有理数的除法和乘法计算即可．
【详解】解：
．
故选：B．
16．计算的结果等于（ ）
A．6B．2C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了有理数四则运算，先计算有理数除法，再计算有理数加法即可得出答案．
【详解】解：，
故选：D．
17．下面各题中，运算顺序和的运算顺序一样的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了有理数的混合运算，的运算顺序是按照从左到右的运算顺序；找出这样运算顺序的选项即可．
【详解】解：A．，先算乘法，再算减法，不是按照从左到右的运算顺序，故A不符合题意；
B．，先算括号里面的加法，再算除法，不是从左到右的运算顺序，故B不符合题意；
C．，先算减法，再算加法，是按照从左到右的运算顺序，故C符合题意；
D．，先算除法，再算加法，不是按照从左到右的运算顺序，故D不符合题意．
故选：C．
18．计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查有理数混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则是解题的关键；
根据有理数四则运算法则计算即可求解；
【详解】解：
，
故选：B
19．王叔叔的月工资是元，扣除元个税起征点后的部分按缴税，他应缴税（ ）元．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，解题关键是掌握有理数的四则混合运算．
根据题意，王叔叔的应纳税所得额为月工资减去个税起征点，再乘以税率计算税款．
【详解】解：(元)，
∴他应缴个人所得税元，
故选：C．
20．一个数的是，则这个数是_____．
【答案】
【分析】本题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
根据有理数的除法的定义列式计算即可得出答案．
【详解】解：根据题意，得．
故答案为：．
21．化简：
_______；_______；_______；_______．
【答案】 20
【分析】本题考查有理数的除法运算，根据有理数的除法运算法则，先确定结果符号，再计算数值．
【详解】解：；
；
；
；
故答案为：；；；20．
22．为任何非零有理数，则的值是______．
【答案】或3
【分析】本题考查了绝对值的意义、有理数的除法，解决本题的关键是确定的符号．分别讨论的正负，再根据有理数的除法，即可解答．
【详解】当时，则，
，
当时，则，
，
当时，则，
，
当时，则，
，
则的值是或3，
故答案为：或3．
23．乘除计算：
【答案】1
【分析】将小数化成分数，除法化为乘法，再进行计算即可．
【详解】

【点睛】本题考查的是有理数的乘除混合运算，按照从左至右的运算顺序进行计算是解本题的关键．
24．某市学生和儿童在三级医院住院就医，医疗费用支付方法如下．
(1)六（1）班的明明做了一个小手术，住院医疗费用一共是4200元，按上面的方法计算，他本次住院需要个人支付多少钱？
(2)六（2）班的亮亮今年住院，按上面的方法计算，医疗费用由医疗保险基金支付了1650元．亮亮本次住院的医疗费用一共是多少钱？
【答案】(1)元
(2)元
【分析】本题主要考查有理数混合运算，分段收费的计算，理解分段收费的方法及计算是关键．
（1）根据分段收费方法计算即可求解；
（2）根据医疗保险基金支付的方法计算即可．
【详解】（1）解：（元），
答：他本次住院需要个人支付元钱；
（2）解：（元），
答：亮亮本次住院的医疗费用一共是2850元．
题型1 两个有理数的乘法运算
题型2 多个有理数的乘法运算
题型3 倒数
题型4 有理数乘法运算律
题型5 有理数乘法的实际应用
题型6 有理数的除法运算
题型7 有理数的乘除混合运算
题型8有理数的乘除混合运算之新定义型问题
题型9有理数的除法中绝对值之分类讨论问题
针对训练
标准
支付方法
一年内
650元以内（含650元）
个人支付全部费用
650元以上部分
个人支付，剩余由医疗保险基金支付