初中数学人教版（2024）七年级上册（2024）有理数的乘法与除法综合训练题

这是一份初中数学人教版（2024）七年级上册（2024）有理数的乘法与除法综合训练题，共30页。试卷主要包含了6)×0 ÷ ．，4cm 求出数轴的单位长度是0等内容，欢迎下载使用。
专题 2.3（1） 有理数的乘法与除法（知识梳理与题型分类
讲解）
一、【学习目标】
（1）知识技能：掌握有理数乘除运算法则、倒数概念及运算律，会算乘除、混合运算；
（2）数学思考：提升观察归纳、逻辑推理能力，建立数感与符号意识；
（3）问题解决：能用乘除知识解实际问题，掌握混合运算解题策略，善于合作交流；
（4）情感态度：感受数学魅力，增强学习自信，体会数学与生活的联系．
二、【考点题型目录】
【考点一】夯实基础运算
【题型 1】有理数乘法运算． 【题型 2】倒数
【题型 3】有理数除法运算
【题型 4】有理数乘除混合运算
【考点二】有理数加减乘除混合运算
【题型 5】运用乘法交换律与结合律进行简便运算
【题型 6】有理数加减乘除混合运算 【考点三】问题抽象与建模
【题型 7】有理数乘除法实际应用 【考点四】体会数学思想
【题型 8】数轴、绝对值与有理数乘除运算问题 5
三、【题型展示与方法点拨】
【考点一】夯实基础运算
【题型 1】有理数乘法运算
【知识储备 1】有理数乘法法则：
（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（2）任何数同 0 相乘，都得 0． 【例题 1】（2024 七年级上·全国·专题练习）
1 ．计算：
(1) (-4) × (çè - ；
【变式 1】（24-25 七年级上·甘肃定西·阶段练习）
2 ．下列式子中，积的符号为负的是( )
【变式 2】（2024 七年级上·全国·专题练习）
3 ．计算：
【题型 2】倒数
【知识储备 2】倒数的意义： 乘积是 1 的两个数互为倒数．
【例题 2】（23-24 六年级上·黑龙江绥化·期末）
4 ．因为 所以 ( )
是倒数 B ． 和 是倒数 C ． 和 互为倒数 和 和1是倒数 【变式 1】（23-24 七年级上·浙江宁波·期中）
5 ．若两个数的积为-1，我们称它们互为负倒数，则 3 的负倒数是 ． 【变式 2】（24-25 七年级上·北京东城·期中）
6 ．若a ，b 互为倒数，c ，d 互为相反数， m = 1，则ab - 2024(c + d) + 2m 的值为 ．
【题型 3】有理数除法运算
【知识储备 3】 有理数除法法则：
（1）除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数，即a ÷ b = a◆·◆
（2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0 除以任何一个不等于 0 的数， 都得 0．
【例题 3】（2024 七年级上·全国·专题练习）
7 ．计算：
【变式 1】（21-22 七年级上·全国·课后作业）
8 ．计算：
(1) (-36) ÷ 9 ；
【变式 2】（2024 七年级上·全国·专题练习）
9 ．计算：
【题型 4】有理数乘除混合运算
【知识储备 4】 由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘 法，然后确定积的符号，最后算出结果．
【例题 4】（24-25 七年级上·全国·课后作业）
10 ．计算：
(3) (-7)× (-1.6)×0 ÷ (-42) ．
【变式 1】（24-25 七年级上·广东汕头·阶段练习）
11 ．计算：
(3)1- 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + ... +1999 - 2000 ；
【变式 2】（2024 七年级上·全国·专题练习）
12 ．计算：
(1) (çè -4 ÷ × ç - ÷× ç-1ö,÷
【考点二】有理数加减乘除混合运算
【题型 5】运用乘法交换律与结合律进行简便运算
【知识储备 5】乘法运算律
（1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即：ab = ba ．
（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等． 即：a ×（b × c) = (a ×b) × c = (a × c) ×b ．
（3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积 相加．即：a ×（b + c) = a × c + b× c
【例题 5】（2025·河北保定·一模）
13．数学老师为了优化同学们的运算思维，提高数学运算能力，复习有理数综合运算时，布 置了一道有意思的计算题：请用不同解法计算
刘聪和他的小伙伴选择常规解法：ç(è - ÷ ç - = çè(- ÷ ç - ö,÷ = çè(- ö,÷ ÷ = - × 2 = - ；
张明开动脑筋，经过观察算式特点，和同学们深入分析、探究，又找到了下面这种解法：
原式的倒数
所以，原式 ．
(1)请比较刘聪和张明两位同学的解法，你喜欢哪位同学的解法？为什么？
(2)请选择你喜欢的解法计算 【变式 1】（24-25 六年级上·山东烟台·期末）
14 ．某学校数学活动小组在一次活动中有这样一道题：
计算：
小组成员犇犇是个善于观察与思考的同学，他发现，这个算式可以看做是前后两部分的和， 而这两部分之间存在着某种关系，他利用这种关系，顺利的解答了这道题．
(1)前后两部分存在的关系是______；
(2)请选择比较简单的那一部分先进行计算，然后利用（1）中的关系，直接写出另一部分的 结果______；
(3)请求出原式的结果．
【变式 2】（24-25 七年级上·安徽阜阳·期中）
15 ．学习有理数的乘法后，老师在黑板上给同学们出了这样一道题．
计算： 看谁算得又快又对．
请你利用简便方法计算．
【题型 6】有理数加减乘除混合运算
【知识储备 6】有理数加减乘除运算法则：
（1）先算乘除，再算加减；
（2）有括号时先算小括号、中括号、大括号内的运算，同级运算从左到右依次进行；
（3）可利用乘法分配律简化计算，注意符号处理（负号个数奇偶决定乘除结果符号）． 【例题 6】（24-25 七年级上·重庆渝北·阶段练习）
16 ．计算：
【变式 1】（24-25 六年级上·陕西咸阳·期中）
17 ．计算下面各题（能简算的要简算）
【变式 2】（24-25 七年级上·西藏林芝·期中）
18 ．加减乘除混合计算：
【考点三】问题抽象与建模
【题型 7】有理数乘除法实际应用
【例题 7】（24-25 七年级上·甘肃兰州·期中）
19 ．一只小虫从某点 P 出发，在一条直线上来回爬行，假定把向右爬行记为正数，向左爬 行记为负数，则爬行的记录（单位：厘米）依次为+5 ，-3 ，+10 ，-8 ，-6 ，+12 ，-10 ．
(1)通过计算说明小虫最后是否回到起点 P 处；
(2)如果小虫爬行的速度为 0.5 厘米/秒，那么小虫共爬行了多长时间? 【变式 1】（24-25 六年级上·上海金山·期中）
20 ．某冷库的室温是-2°C ，现有一批食品需要在-26°C 的温度下冷冻保存．如果冷库的温 度每小时降低6°C ，那么 小时后能降到所需温度．
【变式 2】（24-25 六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）
21．外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖员小张一周的送餐情 况，规定送餐量超过 40 单（送一次外卖为一单）的部分记为“+”，低于 40 单的部分记为
“-”，下表是该外卖小哥一周的送餐量：
(1)求外卖员小张这一周一共送餐多少单？
(2)外卖员每周的工资由底薪 700 元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每周送餐量 不超过 200 单的部分，每单补贴 3 元：超过 200 单但不超过 300 单的部分，每单补贴 4 元： 超过 300 单的部分，每单补贴 6 元．求小张这一周工资收入是多少元？
(3)小张想用这周的工资买一台标价 2400 元的扫地机器人，商场促销这款扫地机器人让利 20% 销售，恰逢市政府面向全市人民发放 4000 万元消费券，小张幸运地抢到了一张满 500 元减 180 元的消费券．小张这周的工资够不够买下这台扫地机器人？
【考点四】体会数学思想
星期
一
二
三
四
五
六
日
送餐量/单
-5
+3
-6
+7
+9
+8
+14
【题型八】数轴、绝对值与有理数乘除运算问题
【例题 8】（24-25 七年级上·广西柳州·期中）
22 ．综合与实践
【知识再现】我们都知道，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记作a ， 因为原点表示的数是 0，所以a = a - 0 ，由此可知， 7 - (-2)表示 7 与-2 之差的绝对值， 实际上也可理解为数轴上分别表示 7 与-2 的两点之间的距离，所以 7 - (-2 ) = 9 ；
【问题初探】阅读以下材料，并回答问题：
如图，把一根长度为acm木棒MN 放在一条数轴（单位长度为1cm ）上，它的两端M , N 分 别落在点A, B 处，将木棒在数轴上水平移动，当点M移动到B 处时，点N与点D 重合，此 时点N 对应的数为 17，当点 N 移动到A 处时，点M 与点C 重合，此时点M对应的数为 5．
（1）由此可得，CD = ____________ cm ，a 的值为____________ cm ．
（2）图中点 A 所表示的数是____________，点 B 所表示的数是____________． 【拓展应用】
（3）借助上述方法解决下列问题：
一天，小华去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要 35 年才出生；你若是 我现在这么大，我已经是 109 岁的老寿星了，哈哈”小华纳闷，奶奶到底是多少岁？
请你画出示意图，求出小华和奶奶现在的年龄，并说明解题思路． 【变式 1】（24-25 七年级上·山西大同·期中）
23．如图 1，点A, B, C 是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为-6 ，b ，10，某同 学将刻度尺按如图 2 的方式放置，使刻度尺上的数字 0 与数轴上的点A 对齐，发现点B 与刻 度尺上的2.4cm 对齐，点C 与刻度尺上6.4cm 对齐，则数轴上点B 所对应的数b 为 ．
【变式 2】（24-25 七年级上·吉林长春·阶段练习）
24 ．有下列说法：①若a = b ，则 a = b ；②两个数相加，若和为负数，则这两个数必定都 是负数；③如果a +b < 0 ，ab < 0 ，那么这两个数一定一正一负，且负数的绝对值大；④一 个数乘-1，积为这个数的相反数．则其中正确的序号有 ．
1 ．(1)2
(2)0
【分析】本题考查了有理乘法运算，熟练掌握有理数乘法法则是解题的关键；
（1）根据有理数乘法法则，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘即可解答；
（2）根据有理数乘法法则，0 乘以任何数都得0，即可解答；
（3）先化简绝对值，然后根据有理数乘法法则即可解答；
（4）先变形为分数形式，然后根据有理数乘法法则，同号为正，异号为负，并把绝对值相
乘即可解答；
解
解
解
解
2 ．D
【分析】本题考查有理数的乘法运算， 根据有理数乘法的运算法则，积的符号由因数中负号 的个数决定，奇负偶正，进行判断即可．
【详解】解：A、有 2 个负号，积的符号为正，不符合题意；
B、有 4 个负号，积的符号为正，不符合题意；
C、积为 0，不符合题意；
D、有 3 个负号，积的符号为负，符合题意； 故选 D．
3 ．
【分析】本题考查了有理数的乘法运算，解题的关键是掌握有理数的乘法运算法则．
（1）根据有理数的乘法运算法则计算即可；
（2）根据有理数的乘法运算法则计算即可．
【详解】（1）解：(-2) × × (çè - ÷× ç - ö,÷
= - (çè 2 × × × = - ；
（2）(-3) × (çè + ÷×ç(è -1ö,÷ × çè(- ö,÷ × çè(+1
= (-3) × × (çè - ÷× ç - ×
= - (çè 3 × × × ×
81
= -
.
56
4 ．C
【分析】本题考查了倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解答本题的关键． 根据倒数的定义解答即可．
【详解】解：因为 6 × 7 = 1，所以 6 和 7 互为倒数，
7 6 7 6
故选：C．
1
5 ．-
3
【分析】本题考查了求一个数的负倒数的方法，正确理解互为负倒数的定义是解题的关键；
根据互为负倒数的定义可知，用-1÷ 3 = - ，即可得到 3 的负倒数；
【详解】解：由题可知，
-1÷ 3 = - ， 故答案为：- ．
6 ．3 或-1
【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
根据a ，b 互为倒数，c ，d 互为相反数， m = 1，可以得到 ab = 1 ，c + d = 0 ，m = ±1，然 后代入所求式子计算即可．
【详解】解：Q a ，b 互为倒数，c ，d 互为相反数， m = 1，
: ab = 1 ，c + d = 0 ，m = ±1，
当m = 1时， ab - 2024(c + d) + 2m
= 1- 2024 × 0 + 2 × 1
= 1- 0 + 2
= 3 ；
当m = -1 时，ab - 2024(c + d) + 2m
= 1- 2024 × 0 + 2 × (-1)
= 1- 0 + (-2)
= -1 ；
故答案为：3 或-1．
7 ．
(2) -45
【分析】本题主要考查了有理数乘法运算，熟练掌握有理数除法运算法则，是解题的关键．
（1）先变除法为乘法，然后进行计算即可；
（2）先变除法为乘法，然后再进行计算即可． 解
解
= -45 ．
8 ．(1) -4
【分析】本题考查了有理数的除法运算，掌握运算法则是解题的关键．
（1）按照除法运算法则计算；
（2）按照除法运算法则计算．
【详解】（1）解：(-36) ÷ 9 = - (36 ÷ 9) = -4 ；
（2）解：(çè - ÷ ç - = ç - ÷× ç - ö,÷ = ．
9 ．(1) -2
(2)0
【分析】本题主要考查有理数的除法，掌握有理数除法的运算法则是解题的关键．
（1）将除法化为乘法，再计算即可；
（2）根据 0 除任何数都等于 0，计算即可；
（3）根据有理数除法的运算法则计算即可． 【详解

(2) 5
(3) 0
【分析】本题主要考查了有理数乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．
（1）根据有理数乘除混合运算法则进行计算即可；
（2）根据有理数除法运算法则进行计算即可；
（3）根据含 0 的有理数乘除混合运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：(-12) × (çè - ÷ ç - ö,÷
解
= 5 ；
（3）解：(-7)× (-1.6)×0 ÷ (-42) = 0 ．
11 ．(1) -30 (2)18
(3) -1000
【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算、有理数乘除混合运算、有理数四则混合运 算、有理数的运算律等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．
（1）按照有理数的乘除法运算方法进行计算即可；
（2）按照有理数的乘除法运算方法进行计算即可；
（3）认真审题不难发现：相邻两数之差为 -1，整个计算式中共有 2000 个数据，所以可以 得到 1000 个-1；
（4）先将小数化成分数，然后计算乘法，再算减法即可．
解
= 6 × (-5)
= -30 ；
解
= 18 × 1
= 18 ；
（3）解：1- 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + ... +1999 - 2000
= (-1) ×1000
= -1000 ；
解
12 ．(1) -30 ；
(2)18 ；
(3) -5 ； (4) 54 ．
【分析】（1）根据有理数的乘除运算法则进行计算即可求解；
（2 ）根据有理数的乘除运算法则进行计算即可求解；
（3 ）根据有理数的乘除运算法则进行计算即可求解；
（4 ）根据有理数的乘除运算法则进行计算即可求解；
本题考查了有理数的乘除混合运算，掌握有理数的乘除运算法则是解题的关键．
解
= -30 ；
解
= 18 ；
解
= - 5 ；
解
= 54 ．
13 ．(1)张明，见解析
【分析】本题主要考查了有理数的乘法分配律：
（1）根据解答过程可知张明的解题过程简单，且省去了通分计算，比较简便，则更喜欢张 明的解法；
（2）仿照题意计算原式的倒数，先把除法变成乘法，再利用乘法分配律求出
的值，进而求出 的值的倒数即可得到答案． 【详解】（1）解：喜欢张明的解法．
理由如下：观察两人的解题过程可知，张明的解题过程简单，且省去了通分计算，比较简便， 所以更喜欢张明的解法；
（2）解：原式的倒数
( 7 7 7 ö ( 8 ö
= çè 4 - 8 + 12 ,÷ × çè - 7 ,÷
= × (çè - - × ç - + × ç - ö,÷
5
= -
,
3
14 ．(1)互为倒数
【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）根据被除数和除数之间的关系得出互为倒数；
（2）根据乘法分配律进行计算得出答案,根据倒数的性质得出答案；
（3）根据有理数的加法计算法则得出答案．
1 ( 1 3 7 15 23 ö ( 1 3 7 15 23 ö 1
【详解】（1）解：: 48 ÷ çè2 - 4 + 8 - 16 + 24 ,÷ + çè2 - 4 + 8 - 16 + 24 ,÷ ÷ 48 ， :前后两部分直接存在的关系是互为倒数．
故答案为：互为倒数；
解
= 24 - 36 + 42 - 45 + 46
= 31 ；
由题意得另一部分的结果 ．
故答案为： ；
（3）解： ÷ - + - + + ç - + - + ÷ = 31 + = 31 ．
15 ．见解析
【分析】本题考查了有理数的乘法，主要是对乘法分配律的应用 ．把49转化为
,再利用乘法分配律简便计算即可求解．
解

(2)11
【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是：
（1）先计算乘除，然后计算加减即可；
（2）先根据乘法的分配律展开，然后计算乘法，最后计算加减即可．
【详解】（1）解：原式= -15 + 9 -
解：原式
= 10 + 4 - 3
= 11．
17 ．(1)9；
(4)
【分析】本题考查了有理数的运算，解题的关键是：
（1）先把除法转化为乘法，然后根据乘法的分配律计算即可；
（2）先计算小括号内，再计算中括号内，最后计算除法即可；
（3）根据结合律计算括号内，然后计算除法即可；
（4）先把除法转化为乘法，然后逆用乘法的分配律计算即可． 解：原式
= 3
= 9
+10 - 4 ;
7 ( 2 3 ö
（2）解：原式 = 11 ÷ çè 5 - 10 ,÷
70
9 é ( 4 11 öù
（3）解：原式 = 5 ÷ êL3 -çè15 + 15 ,÷」ú
解：原式
=
4
. 9
18 ．(1) -12
【分析】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是熟练运用运算法则，即可求解；
（1）本题先算除法，再算乘法，最后算加减，除以一个数等于乘以这个数的倒数，然后即 可求解；
（2）本题先算括号里的，再算乘除，最后算加减，即可求解． 【详解】（1）解：原式 = 6 - 2 × 3 × 3
= 6 -18
= -12 ；
2 ( 1 ö ( 1 ö
（2）解：原式 = 3 - çè - 2 ,÷ ÷ çè - 2 ,÷
19 ．(1)小虫回到了起点P；
(2)108 秒
【分析】本题考查了正数和负数的知识，掌握正数和负数的含义是关键．
（1）把记录到得所有的数字相加，看结果是否为 0 即可， （2）记录到得所有的数字的绝对值的和，除以 0.5 即可．
【详解】（1）解:(+5) + (-3) + (-8) + (-6) + (+12) + (+10) + (-10) = 5 - 3 - 8 - 6 +12 +10 -10 = 0 ．
: 小虫能回到起点 P；
（2）解:(
5 + -3 + -8 + -6 + 12 + 10 + -10 ) ÷ 0.5 = 54 ÷ 0.5 = 108 (秒)
答:小虫共爬行了 108 秒.
20 ．4
【分析】本题考查了有理数混合运算的实际应用， 根据题意列出算式即可求解，理解题意是 解题的关键．
【详解】解： -2 - (-26) ÷ 6 = 24 ÷6 = 4 ，
: 4 小时后能降到所需温度， 故答案为：4 ．
21 ．(1)310 单；
(2)1760 元；
(3)够买扫地机器人．
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算， 利用有理数的混合运算解决实际问题，解题的 关键是根据题意列出算式．
（1）根据题意利用有理数的混合运算进行求解即可；
（2）根据题意利用有理数的混合运算进行求解即可；
（3）根据题意求出购买机器人优惠完后的价格，然后和工资进行对比即可． 【详解】（1）解：40 × 7 +(-5 + 3 - 6 + 7 + 9 + 8 +14) = 310 （单）
所以，外卖员小张这一周一共送餐 310 单；
（2）解：700 + 200 × 3 +(300 - 200)×4 +(310 - 300)×6 = 1760 （元）
所以，小张这一周工资收入是 1760 元；
（3）解：2400 × (1- 20%) = 1920 （元） 1920 > 500
1920 -180 = 1740 （元）
1760 > 1740 ，
所以，小张这周的工资够买下这台扫地机器人．
22 ．（1）12 ，4；（2）9 ，13；（3）小华今年 13 岁，奶奶今年 61 岁，理由见解析
【分析】本题考查了数轴， 熟练掌握数轴及绝对值的含义，并能将题中结论应用是解本题的 关键，综合性较强，难度适中．
（1）根据数轴上两点间距离直接求解；
（2）根据数轴上两点的几何意义直接求解；
（3）奶奶与小华的年龄差不变，借助数轴，把奶奶与小华的年龄差看作木棒MN，再对应 求值即可
【详解】解：（1）根据题意有，
5 到点 A 的距离、点 A 到点 B 的距离、点 B 到 17 的距离相等，都等于木棒的长度 a， 17 - 5 = 12 (cm) ，12 ÷3 = 4 (cm)，
: CD = 12 cm ，a 的值为4cm ； 故答案为：12 ，4；
（2）由（1）可知: AC = AB = BD = 4cm ， QC 所表示的数是 5，
: 点A 所表示的数是5 + 4 = 9 ，点 B 所表示的数是9 + 4 = 13， 故答案为：9 ，13；
（3）如图:点 A 表示小华现在的年龄，点 B 表示奶奶现在的年龄，
借助数轴，把小华与奶奶的年龄差看作木棒MN，类似奶奶像小华那么大时看作当 B 点移动 到 A 点时，此时点 A 所对应的数为-35 ．小华像奶奶那么大时看作当 A 点移动到 B 点时此 时 B 点所对应的数为 109．
:可知奶奶比小华大 109 - (-35) ÷ 3 = 48 （岁）．
-35 + 48 = 13 ，13 + 48 = 61．
: 点 A 对应的数为 13，点 B 对应的数为 61．
答：小华今年 13 岁，奶奶现在的年龄为 61 岁．
23 ．0
【分析】本题考查数轴的概念，关键是确定数轴上的单位长度是多少厘米．由AC 长度是 6.4cm 求出数轴的单位长度是0.4cm ，再由 AB 的长度是2.4cm ，即可求解．
【详解】解：∵ 6.4 ÷ 10 - (-6) = 6.4 ÷16 = 0.4cm ， :数轴的单位长度是0.4cm ，
∵ 2.4 ÷ 0.4 = 6 ，
:在数轴上A, B 间距离是 6 个单位长度， :点B 所对应的数b 为-6 + 6 = 0．
故答案为：0．
24 ．③④
【分析】根据绝对值的定义， 有理数的加法法则，有理数的乘法法则，相反数的定义依次对 各说法进行判断即可．
【详解】解：①若a = b ，则 a =b 或a = -b ，故①错误；
②两个数相加，若和为负数，则这两个数可能都是负数或者一正一负或者0 和负数，故② 错误；
③如果a +b < 0 ，ab < 0 ，那么这两个数一定一正一负，且负数的绝对值大，故③正确；
④一个数乘-1，积为这个数的相反数，故④正确． :正确的序号有③④ .
故答案为：③④.
【点睛】本题考查绝对值的定义，有理数的加法法则，有理数的乘法法则，相反数的定义， 解题的关键是明确它们各自的含义．