福建龙岩市2025-2026学年第二学期高一期末监测数学试题含答案

这是一份福建龙岩市2025-2026学年第二学期高一期末监测数学试题含答案，共60页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若复数z满足1+iz=i，则z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．在△ABC中，点D满足BD=2DC，设AB=a，AC=b，则AD=（ ）
A．2a−bB．−a+2b
C．13a+23bD．23a+13b
3．某班级15名学生的物理单元测试成绩如下：72，75，78，80，81，83，85，86，88，90，92，93，95，97，98，则这组数据的第25百分位数为（ ）
A．78B．79C．80D．83
4．已知圆台的上、下底面半径分别为2和4，母线与底面的夹角为π4，则该圆台的表面积为（ ）
A．122πB．20+122πC．242πD．20+242π
5．已知事件A和B互斥，满足PA=3PB，PA∪B=57，则PA=（ ）
A．528B．521C．1528D．57
6．在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M满足PM=2MA，点N在棱PB上，使得MN//平面PCD，则PNNB=（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．已知平面向量a，b满足a=b，且a−2b=2，则b与2b−a夹角的余弦值的最小值为（ ）
A．22B．55C．104D．32
8．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若∠ABC的平分线交边AC于点D，满足b2=4ac，且BDsin∠ABC=asinC，则cs∠ABC的值为（）
A．−13B．−33C．−223D．33
二、多选题
9．已知复数z在复平面内对应的点为P，且满足z−1=z+1，则（ ）
A．点P的轨迹是一条直线B．复数z可以为纯虚数
C．z的最小值为1D．复数z的实部和虚部之和为0
10．随着居民收入水平提高，大众旅游时代全面来临．暑假期间，甲、乙两名同学独立地从龙岩、漳州、厦门、泉州四个城市中等可能地随机选择一个作为短途旅游目的地．设事件A=“甲选择龙岩”，事件B=“乙选择龙岩或厦门”，事件C=“两人选择的城市相同”，事件D=“至少有一人选择龙岩”，则（ ）
A．事件A与事件C相互独立B．事件A与事件D相互独立
C．事件B与事件C相互独立D．事件B与事件D相互独立
11．如图，在棱长为4的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M为B1C1的中点，P为线段B1D1上动点（含端点），则（ ）
A．过点A，C，M的截面的周长为62+45
B．AP+MP的最小值为26+2
C．A1P与平面A1BD所成角的正弦值的最大值为63
D．当D1P=2PB1时，过点P作三棱锥C1−A1BD外接球的截面，所得截面面积最小值为64π9
三、填空题
12．平面向量a，b满足a=2,1，b=3,4，则向量a在b上的投影为________．
13．若复数z满足z+z=8−4i，则z=________．
14．三棱锥P−ABC中，底面ABC是边长为6的正三角形，PB⊥AB，二面角P−AB−C为2π3，三棱锥P−ABC的外接球的体积为256π3，则点P到平面ABC的距离为________．
四、解答题
15．已知平面向量a，b满足a=3，b=2，a与b的夹角为π3．
(1)求2a−b；
(2)若向量a+kb与a−kb相互垂直，求实数k的值．
16．某单位承办了马拉松志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100个面试成绩，并分成五组：第一组45,55，第二组55,65，第三组65,75，第四组75,85，第五组85,95，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3．
(1)求a，b的值，并估计这100个面试成绩的中位数（结果精确到小数点后3位）；
(2)为了进一步研究情况，从以上各组中用分层抽样的方法选取20人，落在第二组的面试成绩的平均数和方差分别为63和18，落在第四组的面试成绩的平均数和方差分别为72和27，据此估计这两组的面试成绩的方差．
17．2026年闽超足球比赛拉开帷幕．某商场为促进消费，组织一场“送足球挂件”项目．该项目由三个活动组成，每个活动各需参加一次且互不影响，连胜两个活动可以获得一样挂件，连胜三个活动可以获得两样挂件，活动规则如下：盒子中有五个相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5．
活动一：取出一个小球，数字为偶数则获胜；
活动二：有放回地依次取出两个小球，数字之和为6则获胜；
活动三：不放回地依次取出两个小球，数字之和为奇数则获胜．
(1)分别求出活动一，活动二获胜的概率；
(2)一名顾客先参加了活动一，接下来该顾客应该先参加活动二还是先参加活动三能使获得挂件的概率更大？
18．如图，等腰梯形ABCD中，AB//CD，CD=2AB=2AD=4，AE⊥CD，垂足为E，将△ADE沿AE翻折，得到四棱锥P−ABCE．在四棱锥P−ABCE中，PE⊥EC，点M，N分别在线段PB，AC上，且ANNC=BMMP=2．
(1)求直线BC与直线PA所成角的余弦值；
(2)求证：MN//平面PCE；
(3)设二面角P−BC−A的大小为θ，点Q在线段PE上，二面角Q−AC−E的大小为φ．是否存在实数λλ>0，使得当EQEP=λ时，满足tanθ=3tanφ？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
19．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cs2A+cs2B+2sinC=2．
(1)证明：sinC=sin2A+sin2B；
(2)若A，B为锐角，
（ⅰ）S△ABC=6，求△ABC周长的最小值；
（ⅱ）若k为整数，不等式a3+b3+c3−kabc≥0成立，求k的最大值．
《福建龙岩市2025-2026学年第二学期高一期末监测数学试题》参考答案
1．A
2．C
3．C
4．B
5．C
6．B
7．D
8．A
9．AB
10．AC
11．ACD
12．2
13．3+4i
14．32
15．(1)2a−b=27
(2)k=±32
16．(1)a=0.005b=0.025；69.444
(2)第二组、第四组面试者的面试成绩的方差是42
17．(1)活动一获胜的概率为25，活动二获胜的概率为15．
(2)该顾客应该先玩活动三能使获得挂件的概率更大．
18．(1)34
(2)取F，G分别是AE，AP上的点，且AFFE=AGGP=2，
连接NF，FG，GM，又ANNC=BMMP=2，
所以NF//CE//AB//GM，FG//EP，即M，N，F，G四点共面，
由NF⊄平面PCE，CE⊂平面PCE，则NF//平面PCE，
同理可证FG//平面PCE，又NF∩FG=F，且都在平面MNFG内，
所以平面MNFG//平面PCE，MN⊂平面MNFG，
故MN//平面PCE.
(3)存在，λ=13
19．(1)因为cs2A+cs2B+2sinC=2，
所以1−2sin2A+1−2sin2B+2sinC=2，
整理可得，sinC=sin2A+sin2B
(2)（ⅰ）43+26;（ⅱ）3
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
C
B
C
B
D
A
AB
AC
题号
11









答案
ACD