北京理工大学附属中学2025-2026学年第二学期高一年级数学期末练习含答案

这是一份北京理工大学附属中学2025-2026学年第二学期高一年级数学期末练习含答案，共60页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．sin495°=（ ）
A．32B．−32C．22D．−22
2．若α为第二象限角，则下列各式的值为负数的是（ ）
A．tanπ−αB．csπ+αC．sinπ−αD．sinπ2−α
3．已知角α的终边经过点P(3,−1)，则2sinα+csα=（ ）
A．13B．−23C．1010D．102
4．设x,y∈R向量a=x,1,b=1,y,c=2,−4，且a⊥c,b∥c，则x+y=（ ）
A．0B．1C．2D．3
5．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A=60°，b=10，则结合a的值，下列解三角形有两解的为（ ）
A．a=8B．a=9C．a=10D．a=11
6．在下列关于直线l、m与平面α、β的命题中，真命题是（ ）
A．若l⊂β，且α⊥β，则l⊥αB．若l⊥β，且α//β，则l⊥α
C．若α//β，l⊂α，m⊂β，则l//mD．若l⊥β，且α⊥β，则l//α
7．在△ABC中，“A=2B”是“a=2bcsB”成立的（ ）条件.
A．充要B．充分非必要C．必要非充分D．既非充分又非必要
8．将函数y=sin3x+φφ>0的图象向右平移π12个单位长度后为奇函数，则φ的最小值为（ ）
A．π12B．π6C．π4D．π3
9．已知一个圆锥的表面积为4π，其侧面展开图是一个圆心角为2π3的扇形，则该圆锥的体积为（ ）
A．πB．22πC．2π3D．22π3
10．如图，△ABC的外接圆的圆心为O，AB=3，AC=5，BC=2，则AO⋅BC等于（ ）
A．1B．2C．3D．7
二、填空题
11．若tanα=2，tanβ=3，则tan2α−β=______．
12．若关于x的方程sinx−3csx−k=0在(−π6,π)上恰有两个不同的解，则实数k的取值范围是_____．
13．已知空间四边形ABCD各边长都为2，则其对角线AC与BD所成角为______，当AC=______时，二面角A−BD−C的平面角为π3．
14．函数fx=cs2x−3sin2x的单调递增区间为______．
15．如图1，四棱锥P−ABCD是一个水平放置的装有一定量水的密闭容器（容器材料厚度不计），底面ABCD为平行四边形，现将容器以棱AB为轴向左侧倾斜到图2的位置，这时水面恰好经过CDEF，其中E、F分别为棱PA、PB的中点，在倾斜过程中，给出以下四个结论：
①没有水的部分始终呈棱锥形；
②有水的部分始终呈棱柱形；
③棱AB始终与水面所在平面平行；
④水的体积与四棱锥P−ABCD体积之比为5:8.
其中所有正确结论的序号为________．
三、解答题
16．如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，BB1⊥底面ABC，且AB=AC，D是BC的中点．
（1）求证：AD⊥平面BCC1B1．
（2）求证：A1C∥平面AB1D．
17．在△ABC中，bsin2A=3asinB．
(1)求∠A；
(2)若△ABC的面积为33，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，求a的值．
条件①：sinC=277；条件②：bc=334；条件③：csC=217．
注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
18．已知四棱锥P−ABCD的底面为直角梯形，AB∥CD，∠DAB=90°，CD=12AB，平面PAD⊥平面ABCD，M是PB的中点．

(1)求证：CD⊥平面PAD；
(2)求证：CM∥平面PAD；
(3)设棱PC与平面ADM交于点N，求PNNC的值．
19．定义平面向量新运算：若向量a=x1,y1，b=x2,y2，规定a∗b=x1x2+2y1y2，称其为加权数量积．已知向量p=1,t，q=2,1．
(1)若p∗q=p⋅q，求实数t；
(2)若对任意实数k，p+kq∗p−kq≤5恒成立，求t的取值范围；
(3)设r=2csθ,sinθ，若关于θ的方程r−p∗r−q=0有解，求t的取值范围．
《北京理工大学附属中学2025-2026学年第二学期高一年级数学期末练习》参考答案
1．C
2．D
3．C
4．A
5．B
6．B
7．B
8．C
9．D
10．A
11．139
12．(3,2)
13． π2 3
14．kπ−2π3,kπ−π6k∈Z
15．①③④
16．（1）见解析；（2）见解析．
17．(1)π6
(2)选②或③，7
18．(1)见解析
(2)见解析
(3)PNNC=2
19．(1)
t=0
(2)
[−2,2]
(3)
(−∞,34]
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
C
A
B
B
B
C
D
A