2023-2024学年湖北省黄石市下陆区八年级上学期期末数学试题及答案

这是一份2023-2024学年湖北省黄石市下陆区八年级上学期期末数学试题及答案，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列图形中，具有稳定性的是( )
A. B. C. D.
2.要使分式有意义，则的取值应满足( )
A. B. C. D.
3.自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，咸宁市积极普及科学防控知识，如图是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是( )
A. 打喷嚏捂口鼻B. 防控疫情我们在一起
C. 有症状早就医D. 勤洗手勤通风
4.禽流感病毒的形状一般为球形，直径大约为，数用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
5.将下列多项式因式分解，结果中不含有因式的是( )
A. B.
C. D.
6.将一副三角尺按如图所示的方式叠放，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
7.如图，中，，如果要用尺规作图的方法在上确定一点，使，那么符合要求的作图痕迹是( )
A. B.
C. D.
8.若是完全平方式，则( )
A. B. C. D.
9.如图，和都是等边三角形，且点、、三点共线，与、分别交于点、，与交于点，下列结论中错误的有个．( )
；
≌；
；
．
A. B. C. D.
10.如图，点在等边的边上，，射线，垂足为点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.一个边形的内角和等于，则______．
12.分式与的最简公分母是 ．
13.如图，在中，、分别在、上，，若，，则的度数为______．
14.若关于的方程无解，则的值为______．
15.如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是______．
16.如图，四边形，，，，点为的中点，连接、，使得，则的最大值为______．
三、计算题：本大题共2小题，共16分。
17.解方程：
18.先化简，再求值，其中．
四、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
计算：；
因式分解：．
20.本小题分
如图，点、、、在一条直线上，，，，求证：．
21.本小题分
简读以下材料并解决问题：
若，则；若，则．
有最小值
有最小值
已知，，比较与的大小．
设、为实数，求式子的最小值．
22.本小题分
如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为一个单位．
在图中画出一个以为一边，面积为的三角形；
在图中画出一个以为腰的等腰三角形；
在图中画出的角平分线的三个顶点都在格点上按要求完成作图：仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角；保留作图痕迹；标注相关字母．
23.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，点在原点，点，点，线段和构成一个“”形，另有点，点，点，连，，若将这个“”形沿轴上下平移，当的值最小时，点坐标为______；若将这个“”形沿轴左右平移，当的值最小时，点坐标为______．
24.本小题分
青山绿水育佳茗，高山云雾出好茶阳新县山水资源优越，地处北纬黄金产带，孕育了众多优质名茶，是全国十二个贡品名茶产区之一某茶叶店计划从白浪尖春茶场购进甲、乙两种龙井茶进行销售，两种茶叶的进价和售价如下：
已知用元购进甲种茶叶的数量与用元购进乙种茶叶的数量相同．
求的值；
茶叶店计划购进甲、乙两种茶叶共斤，其中甲种茶叶不少于斤且不超过斤．
求销售完这两种茶叶的最大利润；
“五一”期间，茶叶店让利销售，将乙种茶叶的售价每斤降低元，甲种茶叶的售价不变，为保证销售完这两种茶叶的利润的最小值不低于元，求的最大值．
25.本小题分
在平面直角坐标系中，点为坐标原点，，，且，满足．
求点、点的坐标．
为轴上一动点，连接，过点在线段上方作，且．
如图，若点在轴正半轴上，点在第一象限，连接，过点作的平行线交轴于点，求点的坐标用含的式子表示．
如图，连接，探究当取最小值时，线段与的关系．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查三角形的稳定性．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．根据三角形具有稳定性，只要图形分割成了三角形，就具有稳定性．
【解答】
解：选项中分割成了个三角形，所以具有稳定性，其他则不具备．
2.【答案】
【解析】解：由题意得，，
解得．
故选：．
根据分母不等于列式计算即可得解．
本题考查了分式有意义的条件，分式有意义，分母不等于，分式无意义，分母等于．
3.【答案】
【解析】解：，，选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：．
根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线成轴对称，进行判断即可．
本题考查的是轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．
4.【答案】
【解析】解：．
故选：．
根据科学记数法的定义即可得．
本题考查了科学记数法，熟记科学记数法的定义将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
5.【答案】
【解析】解：、原式，故此选项不符合题意；
B、原式，故此选项不符合题意；
C、原式，故此选项不符合题意；
D、原式，故此选项符合题意；
故选：．
根据因式分解的意义求解即可．
本题考查了因式分解的意义，掌握因式分解的意义是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：由三角板的性质可得：，，
．
故选：．
先求出和的度数，再根据三角形外角性质求解即可．
此题考查了三角形外角性质，熟记三角形外角性质是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：，而，
，
点在的垂直平分线上，
即点为的垂直平分线与的交点．
故选：．
由和易得，根据线段垂直平分线定理的逆定理可得，点在的垂直平分线上，进而得出结论．
本题考查了复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
8.【答案】
【解析】解：是一个完全平方式，
，
．
故选D．
完全平方公式：，这里首末两项是和这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去和的积的倍．
本题是根据完全平方公式的结构特征进行分析，对此类题要真正理解完全平方公式，并熟记公式，这样才能灵活应用．本题易错点在于：是加上或减去两数乘积的倍，在此有正负两种情况，要全面分析，避免漏解．
9.【答案】
【解析】解：和都是等边三角形，
，，，
，
即，
在和中，
，
≌，
，，，
在和中，
，
≌，
，，
，即；
故正确，
，
，
，
但没有边相等的条件，找不出全等的条件；
故错误；
，，
，
即
，
，
，
；
；
故正确；
，，
是等边三角形，
，
，
．
故正确．
故选：．
根据等边三角形性质得出，，，求出，根据推出两三角形全等即可；
根据，求出，找不出全等的条件；
根据角的关系可以求得，可求得，根据可解题；
根据，，可求得，可判定．
本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，考查了等边三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，等边三角形的性质，直角三角形的性质是解题的关键．
作点关于的对称点，过作交于点，交于点，连接，此时的值最小，由题意可得，则，再由，，可得，解得，进而可求出的长．
【解答】
解：作点关于的对称点，过作交于点，交于点，连接，
，
，此时的值最小，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
．
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．多边形的内角和可以表示成，依此列方程可求解．
【解答】
解：依题意有：
，
解得．
故答案为：．
12.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了最简公分母，确定最简公分母的方法是解题的关键．
根据确定最简公分母的方法：取各分母系数的最小公倍数；凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母，即可得出答案．
【解答】
解：分式与的最简公分母是，
故答案为：
13.【答案】
【解析】解：，，
，
，
，
故答案为：．
由两直线平行同位角相等，可得，再根据三角形内角和定理即可作答．
本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理的知识，掌握三角形内角和定理、两直线平行同位角相等，是解答本题的关键．
14.【答案】或或
【解析】解：去分母得：，
可得：，
当时，一元一次方程无解，
此时，
当时，
则，
解得：或，
综上所述：或或，
故答案为：或或．
直接解方程再利用一元一次方程无解和分式方程无解分别分析得出答案．
此题主要考查了分式方程的解，正确分类讨论是解题关键．
15.【答案】
【解析】解：如图，过和分别作轴于，轴于，
，
，，
，
在和中，
≌，
，，
点的坐标为，点的坐标为，
，，，
，，
，
则点的坐标是，
故答案为：．
本题借助于坐标与图形性质，重点考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是做辅助线证明全等三角形．
过和分别作轴于，轴于，利用已知条件可证明≌，再有全等三角形的性质和已知数据即可求出点的坐标．
16.【答案】
【解析】【详解】
解：将沿翻折得到，将沿翻折得到，连接，
由翻折可知：，，，，
是中点，，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
当，，，共线时，取得最大值为，
故答案为：．
将沿翻折得到，将沿翻折得到，连接，证明是等边三角形，根据两点之间，线段最短可得，即可求出最大值．
本题考查了等边三角形的判定和性质，折叠问题，两点之间线段最短，证明是等边三角形是解题的关键．
17.【答案】解：去分母得到：，
解得：，
经检验是分式方程的解；
去分母得：，
解得：，
经检验是增根，分式方程无解．
【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解；
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
18.【答案】解：原式
，
当时，
原式
．
【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将的值代入计算可得．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
19.【答案】解：原式；
原式．
【解析】根据多项式乘多项式运算法则展开，再合并同类项可得；
先提取，再利用完全平方公式分解可得．
本题主要考查多项式乘多项式与因式分解，解题的关键是掌握多项式乘多项式法则及因式分解的步骤．
20.【答案】证明：，
，即，
在与中，
，
≌，
．
【解析】先证明，再证明≌，即可作答．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是解答本题的关键．
21.【答案】解：，，
，
；
，
式子的最小值是．
【解析】利用作差法比较大小．
利用配方法进行解答．
本题考查了配方法的应用，非负数的性质以及整式加减．配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
22.【答案】解：如图：
即为所求；
即为所求；
线段即为所求．
【解析】先根据面积求出高，再作图；
根据网格线的特征作图；
根据全等三角形的性质作图．
本题考作图的应用和设计，掌握网格线的特征是解题的关键．
23.【答案】
【解析】解：将向下平移个单位，得线段，作点关于轴的对称点，连接，，与轴交于点，
则，，
点在原点，点，
，
，
即的值最小时，点位于点位置，
设的解析式为，
点，点，
的图象过点，，
，
解得，
的解析式为，
当时，，
，
当的值最小时，点坐标为，
故答案为：；
将向下平移个单位得到，将向左平移个单位得到，连接交轴于点，
则，，
点在原点，点，点，
，，
，
即当的值最小时，点位于处，
设的解析式为，
点，点，
图象过点，，
，
解得，
的解析式为，
当时，，
解得，
，
当的值最小时，点坐标为，
故答案为：．
将向下平移个单位，得线段，作点关于轴的对称点，连接，，与轴交于点，可以推出当的值最小时，点位于处，再求出的解析式即可求出的坐标；将向下平移个单位得到，将向左平移个单位得到，连接交轴于点，可以推出当的值最小时，点位于处，再求出的解析式即可求出的坐标．
本题考查最短路线问题，解答时涉及轴对称，平移，三角形两边之和大于第三边，能用一条线段表示两线段和的最小值是解题的关键．
24.【答案】解：由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
的值为；
设购进甲种茶叶斤，销售完这两种茶叶的总利润为元，
由题意得：，其中，
，
随的增大而减小，
当时，的最大值，
答：销售完这两种茶叶的最大利润为元；
设购进甲种茶叶斤，销售完这两种茶叶的总利润为元，
由题意得：，
，
，
随的增大而减小，
，
当时，的最小值，
解得：，
的最大值为．
【解析】由题意：用元购进甲种茶叶的数量与用元购进乙种茶叶的数量相同．列出分式方程，解方程即可；
设购进甲种茶叶斤，销售完这两种茶叶的总利润为元，由题意得出与的一次函数关系式，再由一次函数的性质即可得出结论；
设购进甲种茶叶斤，销售完这两种茶叶的总利润为元，由题意得出与的一次函数关系式，再由一次函数的性质结合题意得出一元一次不等式，解不等式即可．
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找出数量关系，正确得出一元一次不等式和一次函数关系式．
25.【答案】解：，满足，，，
，，
解得，
，；
，
，
，
，
又，
，
，
而，
，
在和中，
，
≌，
；
且点在轴正半轴上，
；
如图，过点作轴于，
，
，
，
，
，，
≌，
，，
又，
，
，
是等腰直角三角形，
，
点在过点且与轴正半轴成夹角的直线上运动；
如图，设直线与轴交于点，当时，最小，
，
是等腰直角三角形，
是等腰直角三角形，且，
又，
、均是等腰直角三角形，
，，
且；
【解析】直接根据平方的非负性和绝对值的非负性求出、的值即可；
先根据平行线的性质求出，再根据全等三角形的判定和性质求出，最后根据点在轴正半轴上作答即可；
过点作轴于，先根据全等三角形的判定和性质等量代换得到，求出，再根据等腰三角形的性质计算角的加减即可．
此题考查的是绝对值的非负性，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握角的有关计算．茶叶品种
进价元斤
售价元斤
甲
乙