2026年中考数学真题完全解读（广东省卷）

这是一份2026年中考数学真题完全解读（广东省卷），共9页。试卷主要包含了5%，21 分），3分与 + 9，7 与 91等内容，欢迎下载使用。

试题分析
2026 年广东省中考数学试卷总分 120 分，考试时间 120 分钟，共 23 题。题型结构保持稳定：选择题
10 小题（每小题 3 分，共 30 分）、填空题 5 小题（每小题 3 分，共 15 分）、解答题 8 小题（其中 8 分题
3 题、9 分题 3 题、12 分题 2 题，共 75 分）。全卷立足义务教育数学课程标准，以基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验为考查主线，突出广东本土情境与数学建模，体现“基础性、综合性、应用性、创新性”的命题导向。 试题覆盖数与式、方程与不等式、函数、图形的性质、图形的变化、统计与概率等全部主干模块。其中，图形的性质模块约占 43 分（35.8%），是分值最高的板块；数与式与方程模块约占 32
分（26.7%），函数模块约占 21 分（17.5%），图形的变化与综合实践模块约占 12 分（10%），统计与概
率模块约占 12 分（10%）。这种分布既保证了基础运算和几何推理的主体地位，又兼顾了函数、统计和综合实践等核心素养。 试卷情境选取具有鲜明的广东特色：第 3 题以“五一”假期广东全省跨区域人员流动量引入科学记数法；第 4 题以广东海洋牧场六边形流线型网箱结构考查多边形内角和；第 9 题以广东醒狮、
广绣、英歌舞三个非遗体验项目创设概率情境；第 19 题以广东低空经济背景下农业无人机播种为题材，考
查二元一次方程组与分式方程的实际应用。压轴题第 22 题和第 23 题分别以几何综合与二次函数综合为载体，考查学生的推理能力、运算能力和综合应用能力。整体难度梯度合理，基础题送分到位，中高档题注重思维过程，有较好的区分度。
试题亮点
广东本土元素与科技文化情境贯穿全卷，应用意识考查鲜明：第 3 题以“五一”假期广东全省跨区域人员
流动量 1.79 亿人次为背景，考查科学记数法；第 4 题以广东海洋牧场六边形流线型网箱结构为背景，考查
多边形内角和；第 9 题以“广东醒狮”“广绣”“英歌舞”三项非遗体验项目为背景，考查用列举法求概率；第 19题以广东低空经济赋能乡村振兴、农业无人机播种万亩高标准农田为情境，考查二元一次方程组与分式方程。这些情境将广东的社会发展、传统文化与数学知识深度融合，凸显广东卷服务地方、关注现实的命题特色。
综合与实践题突出探究过程，强调从特殊到一般的思维路径：第 21 题以“同一平面内 n 条直线两两相交”为探究对象，设置“交点个数 m 与 n 的关系”和“最小角α的最大值与 n 的关系”两个递进问题，要求学生通过
n=2,3,4,5 的特例感知，归纳猜想一般规律，并用平移思想和周角分割进行论证。该题不仅考查了学生观察、归纳、抽象的能力，也体现了广东卷对数学探究过程和创新意识的重视。
压轴题强化几何与函数综合，思维过程成为区分核心：第 22 题在直角三角形中嵌入垂线、相似三角形、勾股定理和面积比，通过证明△ADE∽△CDA、△AED∽△CEA，逐步求出线段关系，最后利用共高三角形面积比求解，综合考查几何直观与推理能力；第 23 题以二次函数 y=−x^2+bx+3 为载体，综合考查待定系数法、三角函数、等腰直角三角形和最值问题，第 3 问通过参数 n 表示 BP+2PQ，转化为二次函数求最大值，对学生的数形结合、代数运算和参数思想提出较高要求。两道题均淡化复杂计算，强调思维过程，有效区 分不同层次学生。
命题趋势
广东地方情境与科技成就将持续入题，应用意识考查常态化：第 3 题以广东“五一”人员流动数据、第 4
题以广东海洋牧场、第 9 题以广东非遗、第 19 题以广东低空经济农业无人机为情境，均体现了广东卷对本地社会发展和科技文化的关注。预计未来广东卷将继续选取具有岭南辨识度、粤港澳大湾区特色和时代气息的素材，引导学生在真实情境中抽象数学问题、建立数学模型并求解。
基础题“送分到位”但概念理解要求更深，拒绝机械刷题：第 1 题相反数、第 5 题幂运算、第 11 题一元二
次方程根、第 12 题因式分解等基础题看似简单，但要求学生对概念本质有清晰理解。第 5 题通过四个选项
同时考查合并同类项、同底数幂乘法、幂的乘方和同底数幂除法，容易因混淆法则而错选；第 13 题将三角函数与光的反射、余角性质结合，需要学生从物理情境中抽象出几何关系。未来基础题将继续通过多概念辨析、情境化包装等方式检验学生是否真正理解，而非仅靠题型记忆。
几何与函数综合仍是压轴主流，数形结合与分类讨论要求更高：第 22 题以直角三角形为背景，综合相似、
勾股、面积比；第 23 题以二次函数为背景，结合等腰直角三角形、三角函数和最值。两题均体现了从几何直观到代数推理的转化，以及参数思想的运用。预计广东卷将继续保持几何综合与函数综合双压轴的格局，强化数形结合、相似转化、参数设元和分类讨论等高阶思维。
综合与实践探究题比重稳中有升，过程性思维考查更受重视：第 21 题以直线相交的探究活动为载体，要求学生经历“特例感知—实验探究—规律探索—解决问题”的完整过程，考查归纳猜想、抽象表达和逻辑论证能力。这与新课标对“综合与实践”领域的要求高度契合，预计未来广东卷将继续设置类似的探究性、开放性题目，强化数学活动经验的积累。
考点细目表
考点模块占比分析
数与式模块（约 26.7%，32 分）：重点考查有理数、实数、整式运算、科学记数法、因式分解、一元二次方程根及方程（组）的实际应用。对应第 1、3、5、11、12、16、19 题，其中第 16 题为 8 分计算综合题，第 19 题为 9 分方程应用题。该模块强调基础运算的准确性和对方程（组）建模思想的掌握，要求学生既能快速完成基础运算，又能在真实情境中建立代数模型。
函数模块（约 17.5%，21 分）：重点考查一次函数图象与性质、平面直角坐标系中点的坐标特征、反比例函数与一次函数综合、二次函数综合应用。对应第 6、7、15、23 题，其中第 23 题以二次函数为载体，综
题号
题型
分值
具体考点
关键能
力
1
单选
3
数与式→实数的概念→相反数
运算能力
2
单选
3
图形的变化→图形的对称性→轴对称图形与中心对称图形的识别
几何直观
3
单选
3
数与式→科学记数法→用科学记数法表示较大的数
运算能力
4
单选
3
图形的性质→多边形的内角和→六边形内角和计算
几何直观
5
单选
3
数与式→幂的运算→同底数幂的乘除、幂的乘方与合并同类项
运算能力
6
单选
3
函数→一次函数的图象→一次函数 y=kx+b 中 k,b 符号与图象象限
直观想象
7
单选
3
函数→平面直角坐标系→第一象限点的坐标特征与不等式组
推理能力
8
单选
3
图形的性质→圆的基本性质→圆周角定理与扇形面积
几何直观
9
单选
3
统计与概率→概率的计算→用列举法求两步随机事件的概率
数据观念
10
单选
3
图形的变化→图形的旋转→旋转的性质与勾股定理
几何直观
11
填空
3
方程与不等式→一元二次方程→一元二次方程根的定义
运算能力
12
填空
3
数与式→因式分解→提公因式与平方差公式
运算能力
13
填空
3
图形的性质→解直角三角形→锐角三角函数与余角性质
几何直观
14
填空
3
图形的性质→三角形与四边形→三角形中位线定理与勾股定理
推理能力
15
填空
3
函数→反比例函数→反比例函数与一次函数综合、相似三角形
直观想象
16
解答
8
数与式→实数的运算→零指数、负指数、算术平方根与特殊角三角函
数
运算能力
17
解答
8
图形的性质→圆→切线的判定与等腰三角形三线合一
推理能力
18
解答
8
图形的性质→四边形→尺规作图（角平分线）与菱形判定
几何直观
19
解答
9
方程与不等式→方程与分式方程的应用→二元一次方程组与分式方
程的实际应用
模型观念
20
解答
9
统计与概率→统计量的计算与应用→平均数与用样本估计总体
数据观念
21
解答
9
综合与实践→规律探究→n 条直线相交的交点个数与最小角最大值
创新意识
22
解答
12
图形的性质→三角形综合→相似三角形、勾股定理与面积比
推理能力
23
解答
12
函数→二次函数综合→二次函数解析式、三角函数与最值
综合应用
合考查待定系数法、三角函数、等腰直角三角形和最值，是函数板块的压轴题。该模块突出数形结合思想和参数讨论能力。
图形的性质模块（约 35.8%，43 分）：重点考查多边形内角和、圆的基本性质、三角形中位线、勾股定理、解直角三角形、切线判定、菱形判定、相似三角形等。对应第 4、8、13、14、17、18、22 题，其中第 22 题以直角三角形为背景，综合考查相似、勾股和面积比，是几何压轴题。该模块是广东卷的最大板块，对 学生的几何直观和推理能力提出了高要求。
图形的变化与综合实践模块（约 10%，12 分）：重点考查轴对称与中心对称图形的识别、旋转的性质以及综合与实践探究。对应第 2、10、21 题，其中第 21 题以 n 条直线相交为探究对象，要求学生从特例中归纳一般规律并用数学语言进行论证，体现了对数学探究过程和创新意识的考查。
统计与概率模块（约 10%，12 分）：重点考查用列举法求概率、平均数的计算以及用样本估计总体。对应第 9、20 题，其中第 9 题以广东非遗体验项目为背景考查概率，第 20 题以古诗词竞赛成绩为背景考查统计估计。该模块强调数据分析观念和从数据中提取信息的能力。
核心复习策略
回归教材，夯实基础概念与运算
系统梳理数与式、方程、函数、图形、统计等主干知识，确保相反数、幂的运算、因式分解、三角函数、圆的性质、四边形判定等核心概念清晰准确。基础题是广东卷的基本盘，要做到“会而不错、会而不慢”。
重视教材例题和习题的变式训练，特别是多概念辨析题（如第 5 题幂运算综合）和情境化基础题（如
第 3 题科学记数法、第 13 题光的反射），避免机械刷题和死记硬背。
强化几何直观，构建推理链条
熟练掌握三角形、四边形、圆的基本性质与判定方法，加强尺规作图、图形变换、相似三角形、解直角三角形等专题训练。几何综合题通常需要添加辅助线或利用全等、相似进行转化，要注重基本图形的识别和积累。
训练“读图—分析—表达”的完整过程：从图形中提取已知条件，明确求证目标，合理添加辅助线，用规范的数学语言书写推理步骤。
提升函数与建模能力，关注真实情境
重视一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质，特别是参数对图象的影响、函数与方程不等式的关系、函数最值问题。要通过图象理解函数本质，强化数形结合思想。
加强方程（组）和分式方程在实际问题中的应用训练，学会从文字、表格、图象中抽象数量关系，建立数学模型并求解。对应用题要特别注意单位换算、取值范围和检验。
避坑提醒（考试最易踩的雷）
×只刷难题忽视基础：基础题失分最不划算。
×只背模板不理解原理：新情境下必须依靠理解迁移。
×做题不复盘：错题复盘的价值远大于机械刷题。
×表达不规范：步骤、依据、单位或答语缺失都会造成失分。
单选题
1．5 的相反数是（）
A．5B．−5C．1
5
D．− 1
5
命题透视
核心考点：相反数的概念
命题分析：
情境创设：本题直接以数学概念为背景，考查对相反数定义的理解。
问题设计：选择题设置四个选项，分别呈现正数、负数、倒数等干扰形式，要求学生准确区分“相反数”与“倒数”等易混概念。
考查目标：侧重考查学生的概念辨析能力和运算能力，要求学生准确理解相反数的代数意义。
答案与解析
【答案】B
【详解】解：∵只有符号不同的两个数互为相反数，
∴5 的相反数是−5．
知识总结
① 核心概念：只有符号不同的两个数互为相反数，0 的相反数是 0；求一个数的相反数只需在该数前
面添上“−”号。② 解题要点：审题时区分“相反数”“倒数”“绝对值”三个易混概念；如第 1 题中 5的相反数是−5。③ 拓展关联：相反数在数轴上关于原点对称，在代数运算中常与符号化简、去括号等结合考查。
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A．B．
C．D．
命题透视
核心考点：轴对称图形与中心对称图形的识别
命题分析：
情境创设：本题以常见几何图形为载体，考查学生对两种对称性的直观判断。
问题设计：选择题给出四个图形选项，要求学生同时判断每个图形是否满足轴对称和中心对称，考查对两种对称概念本质的理解。
考查目标：侧重考查几何直观能力，要求学生能够准确识别图形的对称特征。
答案与解析
【答案】C
【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转 180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
根据中心对称图形和轴对称图形的概念求解即可．
【详解】解：A、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； D、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
知识总结
① 核心概念：轴对称图形是沿某条直线折叠后直线两旁部分能够完全重合的图形；中心对称图形是绕某点旋转 180°后能与自身重合的图形。② 解题要点：判断轴对称时找对称轴；判断中心对称时想象旋转 180°后的样子。③ 拓展关联：既是轴对称又是中心对称的常见图形有矩形、菱形、正方形、圆等。
3．2026 年“五一”假期期间，广东全省跨区域人员流动量累计超 1.79 亿人次，同比增长 9.2%．将数据 1.79
亿用科学记数法表示为（ ）
A．1.79 × 107B．1.79 × 108C．1.79 × 109D．17.9 × 107
命题透视
核心考点：科学记数法
命题分析：
情境创设：本题以 2026 年“五一”假期广东全省跨区域人员流动量 1.79 亿人次为背景，考查用科学记数法表示较大数。
问题设计：将“1.79 亿”这一生活数据转化为科学记数法问题，选项设置突出 10 的指数不同，考查学生对“亿”与科学记数法指数的对应关系。
考查目标：侧重考查运算能力和应用意识，要求学生能从真实数据中提取有效信息并进行准确表示。
答案与解析
【答案】B
【详解】解：1.79 亿= 179000000 = 1.79 × 108．
知识总结
① 核心概念：科学记数法表示为 a×10^n，其中 1≤|a| 0， = 4 > 0
∴该函数图象经过第一、二、三象限，观察选项可知，只有 A 选项符合题意．
知识总结
① 核心规律：k>0 时直线上升，k0 时交 y 轴正半轴，b0、b=4>0，图象经过第一、二、三象限。③ 拓展关联：一次函数与一元一次方程、一元一次不等式密切相关，可通过图象直观求解。
若点2 − 1, 在第一象限，则的取值范围是（）
A． 1
2
命题透视
核心考点：第一象限点的坐标特征与不等式组
命题分析：
情境创设：本题以平面直角坐标系中点的位置为背景，考查象限特征与不等式组。
问题设计：给出点 P(2m−1,m)在第一象限，要求确定 m 的取值范围，需要同时满足横、纵坐标均为正。
考查目标：侧重考查推理能力和运算能力，要求学生能建立不等式组并求解。
答案与解析
【答案】D
【分析】根据第一象限内点的横纵坐标都为正，列出不等式组求解的取值范围即可．
【详解】解：∵第一象限内点的横坐标大于 0，纵坐标大于 0，点 2 − 1, 在第一象限
∴可得不等式组 2 − 1 > 0
> 0
解不等式 2 − 1 > 0，得 > 1
2
结合不等式 > 0，可得的取值范围是 > 1．
2
知识总结
① 核心规律：第一象限内点的横坐标>0、纵坐标>0；第二象限横0；第三象限横0，取公共部分得 m>1/2。③ 拓展关联：坐标特征常与不等式、函数定义域等结合考查。
如图，⊙ 的半径为 1，点，，在⊙ 上，∠ = 30°．则图中阴影部分的面积为（）
A．
6
B．
3
C．1
6
D．1
3
命题透视
核心考点：圆周角定理与扇形面积
命题分析：
情境创设：本题以圆为背景，考查圆周角与圆心角的关系及扇形面积计算。
问题设计：给出圆的半径为 1，圆周角∠ACB=30°，要求阴影部分（扇形）面积，需要先由圆周角定理求圆心角。
考查目标：侧重考查几何直观和推理能力，要求学生能够利用圆周角定理进行角度转化。
答案与解析
【答案】A
【分析】根据圆周角定理求出圆心角∠的度数，再利用扇形面积公式计算即可．
-
【详解】解：∵ ∠ = 30°，∠与∠分别是所对的圆周角和圆心角
∴ ∠ = 2∠ = 2 × 30° = 60°
∵⊙ 的半径为 1
∴
阴影
= 60⋅⋅12 = ．
3606
知识总结
① 核心定理：同弧所对圆心角是圆周角的 2 倍；扇形面积公式 S=(nπr^2)/360（n 为圆心角度数）。
② 解题要点：∠AOB=2∠ACB=60°，半径 r=1，所以 S_阴影=(60×π×1^2)/360=π/6。③ 拓展关联：圆
中常结合垂径定理、切线性质、弧长公式等综合考查。
某地开展广东非遗走进校园体验活动，有“广东醒狮”、“广绣”、“英歌舞”三个体验项目，小晨和小明各随机抽取一个，他们恰好抽到同一个项目的概率是（）
A．1
9
B．2
9
C．1
3
D．2
3
命题透视
核心考点：用列举法求两步随机事件的概率
命题分析：
情境创设：本题以广东非遗“广东醒狮”“广绣”“英歌舞”三个体验项目为背景，考查概率计算。
问题设计：小晨和小明各随机抽取一个项目，要求计算两人抽到同一项目的概率，可用列表法或树状图列举所有等可能结果。
考查目标：侧重考查数据观念和应用意识，要求学生能列举样本空间并准确计算概率。
答案与解析
【答案】C
【分析】本题考查用列举法计算随机事件概率，先求出所有等可能的结果总数，再找出两人抽到同一个项目的结果数，代入概率公式计算即可．
【详解】解：记三个体验项目“广东醒狮”、“广绣”、“英歌舞”分别为，，．
∵小晨和小明各随机抽取一个，所有等可能的结果为： , ， , ， , ， , ， , ， , ， , ，
, ， , ，共 9 种等可能结果．
其中两人恰好抽到同一个项目的结果有 , 、 , 、 , 共 3 种结果．
∴所求概率 = 3 = 1．
93
知识总结
核心方法：两步随机事件可用列表法或树状图列举所有等可能结果，概率 P=所求结果数/总结果数。
解题要点：三个项目分别记为 A、B、C，所有结果共 9 种，两人抽到同一项目有 3 种，故 P=3/9=1/3。
拓展关联：概率问题常与统计、游戏公平性、方案选择等结合。
如图，在 Rt △ 中，∠ = 90°， = 6， = 8，将△ 绕点逆时针旋转 90°得△ ′′，连接′，则△ ′的周长为（）
10
A．16 + 2
B．18C．18 + 2
D．24
10
命题透视
核心考点：旋转的性质与勾股定理
命题分析：
情境创设：本题以直角三角形旋转为背景，考查旋转性质和勾股定理的应用。
问题设计：将 Rt△ABC 绕点 A 逆时针旋转 90°得到△AB'C'，要求△AB'C 的周长，需要构造直角三角形求 B'C 的长度。
考查目标：侧重考查几何直观和推理能力，要求学生能够利用旋转性质进行线段和角度转化。
答案与解析
【答案】A
【分析】利用勾股定理求出的长，根据旋转的性质得到′ = = 6 及∠′= 90°，进而证得′ ∥ ，通过构造直角三角形求出′的长，最后计算周长即可．
【详解】解：在 Rt △ 中，∠ = 90°， = 6， = 8，
∴ = 2 + 2 = 62 + 82 = 10，
∵将△ 绕点逆时针旋转 90°得△ ′′，
∴′ = = 6，∠′= 90°，
∵∠ = 90°，
∴∠ + ∠′= 180°，
∴′∥ ，
过点′作′ ⊥ 于点，则四边形′为矩形，
∴′ = = 6， = ′= 6，
∴ = − = 8 − 6 = 2，
在 Rt △ ′中，′ =′2 + 2 = 62 + 22 = 2 10，
∴△ ′的周长为′+ + ′ = 6 + 10 + 2 10 = 16 + 2 10．
知识总结
① 核心性质：旋转前后对应线段相等、对应角相等；旋转角等于对应点与旋转中心连线的夹角。② 解题要点：由勾股定理得 AC=10，由旋转得 AB'=6，再构造矩形求 B'C=2√10，周长为 6+10+2√10。③ 拓展关联：旋转变换常与全等、勾股、圆等知识综合，构造辅助线是关键。
填空题
11．已知方程2 + 3 + = 0 的一个根是 1，则 =．
命题透视
核心考点：一元二次方程根的定义
命题分析：
情境创设：本题以一元二次方程的根为背景，考查方程根的概念。
问题设计：给出方程 x^2+3x+c=0 的一个根是 1，要求 c 的值，需将根代入方程求解。
考查目标：侧重考查运算能力，要求学生理解方程根的定义并能进行代入计算。
答案与解析
【答案】−4
【分析】根据一元二次方程根的定义，将已知根代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值．
【详解】解: 因为 1 是方程2 + 3 + = 0 的根，将 = 1 代入方程得：12 + 3 × 1 + = 0，
整理得 4 + = 0，
移项得 =− 4．
知识总结
① 核心概念：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的根。② 解题要点：将 x=1 代入方程，得 1+3+c=0，解得 c=−4。③ 拓展关联：已知方程根求参数是常见题型，还可利用根与系数关系（韦达定理）进行拓展。
因式分解：22 − 2 =．
命题透视
核心考点：提公因式与平方差公式
命题分析：
情境创设：本题以代数式变形为背景，考查因式分解。
问题设计：要求分解 2a^2−2，先提取公因式 2，再利用平方差公式继续分解。
考查目标：侧重考查运算能力，要求学生掌握因式分解的基本步骤和公式。
答案与解析
【答案】2( − 1)( + 1)
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【详解】解：原式= 2(2 − 1)
= 2( − 1)( + 1)．
知识总结
① 核心方法：因式分解首先看是否有公因式可提；平方差公式 a^2−b^2=(a+b)(a−b)。② 解题要点： 2a^2−2=2(a^2−1)=2(a−1)(a+1)。③ 拓展关联：因式分解与整式乘法互为逆运算，是解方程、化简分式的基础。
在桌上放一块平面镜，让手电筒的一束光斜射到平面镜上，在墙壁上就会出现一个明亮的光斑．如图，
∠1 = ∠2，若 tan∠ = 3， = 8，则 =．
4
命题透视
核心考点：锐角三角函数与余角性质
命题分析：
情境创设：本题以手电筒光束经平面镜反射到墙壁为物理情境，考查三角函数和余角性质。
问题设计：通过光的反射情境给出∠1=∠2、tan∠AOD=3/4、OB=8，要求 BC 的长，需要先利用余角关系得到∠AOD=∠BOC。
考查目标：侧重考查几何直观和模型观念，要求学生能从物理情境中抽象出几何关系。
答案与解析
【答案】6
【分析】根据余角的性质及已知条件∠1 = ∠2 推导出∠ = ∠， 再根据锐角三角函数的定义在 Rt △
中计算的长即可．
【详解】由题意可知，法线垂直于平面镜，
∴∠1 + ∠ = 90°，∠2 + ∠ = 90°，
∵∠1 = ∠2，
∴∠ = ∠，
∵tan∠ = 3，
4
∴tan∠ = 3，
4
在 Rt △ 中，∠ = 90°， = 8，
∴tan∠ = = = 3
84
∴ = 6．
知识总结
① 核心规律：入射角等于反射角，法线垂直于镜面；同角的余角相等。② 解题要点：由∠1+∠AOD=90°、
∠2+∠BOC=90°及∠1=∠2，得∠AOD=∠BOC，故 tan∠BOC=3/4，BC=OB×tan∠BOC=8×3/4=6。③ 拓展关联：三角函数常与仰角、俯角、坡度、镜面反射等实际情境结合。
14．如图，在四边形中， = = 2，连接，∠ = 110°，∠ = 20°，点，，分别是，
，的中点，连接，，，则 =．
命题透视
核心考点：三角形中位线定理与勾股定理
命题分析：
情境创设：本题以四边形中点连线为背景，考查三角形中位线和平行线性质。
问题设计：E、F、G 分别为 AD、BD、BC 中点，已知 AB=CD=2 及相关角度，要求 EG 的长，需要利用中位线性质和角度关系证明∠EFG=90°。
考查目标：侧重考查推理能力，要求学生能够利用中位线定理进行线段和角度转化。
答案与解析
【答案】 2
【分析】利用三角形中位线定理求得, 的长及 ∥ , ∥ ，再利用平行线的性质求得∠ = 90°，最后利用勾股定理求解．
【详解】解：∵点, 分别是, 的中点，
∴ 是△ 的中位线，
∴ ∥ , = 1 = 1，
2
∴ ∠ = ∠ = 20°，
∵点, 分别是, 的中点，
∴ 是△ 的中位线，
∴ ∥ , = 1 = 1，
2
∴ ∠ = ∠ = 110°，
∴ ∠ = 180° − ∠ = 180° − 110° = 70°，
∴ ∠ = ∠ + ∠ = 20° + 70° = 90°，
在 Rt △ 中， = 2 + 2 = 12 + 12 = 2．
知识总结
① 核心定理：三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半。② 解题要点：EF=1/2AB=1，FG=1/2CD=1，
∠EFG=90°，所以 EG=√(1^2+1^2)=√2。③ 拓展关联：中位线常与平行四边形、梯形、相似等知识综合，是几何证明的重要工具。
15．如图，直线 = 2 + 与反比例函数 = 在第二象限的图象交于点，，与轴交于点．点的横坐
标为−1，且 = 2，则反比例函数的解析式为．
命题透视
核心考点：反比例函数与一次函数综合、相似三角形
命题分析：
情境创设：本题以一次函数与反比例函数图象交点为背景，考查函数与几何综合。
问题设计：直线 y=2x+b 与反比例函数 y=k/x 在第二象限交于 A、B 两点，给出 A 点横坐标及 AB=2BC，要求反比例函数解析式，需要利用相似比求出 B 点坐标。
考查目标：侧重考查直观想象和推理能力，要求学生能结合函数图象与几何相似进行求解。
答案与解析
【答案】 =− 6
【分析】过点 A 作 ⊥ 轴于点 D，过点 B 作 ⊥ 轴于点 E，证明△ ∽△ ，得出 = = =
+2+33
=
= = 1，求出 =− 2 + ，设点 B 的坐标为 , ，则 = −
−
2
= + ， =−
2
1 − − =− 1 + ，求出 = −−1， = −2，根据 ⋅ = ，得出−−1 ⋅ −2 = 2 − ，求出 b 的值，即
223333
可得出答案．
【详解】解：过点 A 作 ⊥ 轴于点 D，过点 B 作 ⊥ 轴于点 E，如图所示：
则 ∥ ，
∴△ ∽△ ，
∴ = = =
=
= = 1，
+
2+
33
把 =− 1 代入 = 2 + 得： =− 2 + ，
∴点 A 的坐标为 −1, − 2 + ，
∴ =− 2 + ，
∵点 A 在反比例函数图象上，
∴ =− 1 × −2 + = 2 − ，
把 = 0 代入 = 2 + 得：0 = 2 + ，
解得： =− ，
2
∴点的坐标为 − , 0 ，
2
2
设点 B 的坐标为 , ，则 = − −
= + ，
2
=− 1 − −
2
∵ = = 1，
=− 1 + ，
2
3
+11
∴2 =
2
−1+
， = ，
3−2+3
解得： = −−1， = −2，
33
∵点 B 在反比例函数图象上，
∴ ⋅ = ，
即−−1 ⋅ −2 = 2 − ，
33
整理得： − 2 8 − = 0，解得： = 2 或 = 8，
当 = 2 时， = 2 − = 0，不符合题意舍去；
当 = 8 时， = 2 − =− 6，
∴反比例函数解析式为 =− 6．
知识总结
① 核心方法：函数图象交点满足两个解析式；通过作垂线构造相似三角形，利用比例关系求坐标。②解题要点：由 A(−1,−2+b)得 k=2−b；由△BCE∽△ACD 及 BC/AC=1/3，得 B 点坐标，代入反比例函数求 k=−6。
③ 拓展关联：反比例函数常与一次函数、几何面积、相似等结合，数形结合是关键。
三、解答题
计算： −10 + −3 −
−1
9
1
2
− sin30° +．
命题透视
核心考点：零指数、负指数、算术平方根与特殊角三角函数
命题分析：
情境创设：本题以实数混合运算为背景，综合考查多个基础运算知识点。
问题设计：要求计算(−1)^0+(−3)−√9−sin30°+((1)/2)^(−1)，涉及零指数、负指数、算术平方根和特殊角三角函数。
考查目标：侧重考查运算能力，要求学生准确掌握各类实数运算规则。
答案与解析
【答案】5
2
【详解】解：原式 = 1 + 3 − 3 − 1 + 2
2
= 5．
2
知识总结
① 核心法则：a^0=1(a≠0)；a^(−p)=1/a^p(a≠0)；√a^2=|a|；sin30°=1/2。② 解题要点：原式
=1+3−3−1/2+2=5/2。③ 拓展关联：实数运算是中考必考题型，常综合考查幂、根式、三角函数、绝对值等。 17．如图，直线经过⊙ 上的点，且 = ，∠ = 40°，∠ = 100°．求证：直线是⊙ 的 切线．
命题透视
核心考点：切线的判定与等腰三角形三线合一
命题分析：
情境创设：本题以圆和三角形为背景，考查切线的判定方法。
问题设计：已知直线 AB 经过圆上点 C，AC=BC，∠OAB=40°，∠AOB=100°，要求证明 AB 是圆的切线，需要通过角度计算证明 OC⊥AB。
考查目标：侧重考查推理能力，要求学生能综合运用三角形内角和、等腰三角形性质和切线判定定理。
答案与解析
【答案】证明：连接
∵∠ = 100°，∠ = 40°
∴∠ = 180° − ∠ − ∠ = 40°
∴∠ = ∠
∴ =
∵ =
∴ ⊥
∵点在⊙ 上，
∴为半径，
∴直线是⊙ 的切线．
【分析】连接，先由三角形内角和定理求出∠的度数，再证明△ 为等腰三角形，则由三线合一得到 ⊥ ，即可证明．
【详解】略
知识总结
① 核心定理：切线判定——经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；等腰三角形“三线合一”。② 解题要点：由∠AOB=100°、∠OAB=40°得∠OBA=40°，故 OA=OB，又 AC=BC，所以 OC⊥AB，即 AB 是切线。③ 拓展关联：切线证明常与等腰三角形、全等、勾股定理等结合，关键是证明半径与直线垂直。
18．如图， = ， ∥ ，连接．
尺规作图：在上作点，连接，使得平分∠．（保留作图痕迹，不写作法．）
连接，求证：四边形是菱形．
命题透视
核心考点：尺规作图（角平分线）与菱形判定
命题分析：
情境创设：本题以尺规作图和四边形证明为背景，考查几何作图与推理。
问题设计：第（1）问要求在 AE 上作点 D 使 BD 平分∠ABC；第（2）问要求证明四边形 ABCD是菱形，需结合平行线、角平分线和平行四边形判定。
考查目标：侧重考查几何直观和推理能力，要求学生掌握尺规作图方法和菱形判定定理。
答案与解析
【答案】(1)如图，点即为所求；
(2)
证明：∵ ∥ ，
∴∠ = ∠
∵平分∠
∴∠ = ∠
∴∠ = ∠
∴ =
∵ =
∴ =
∵ ∥ ，即 ∥
∴四边形是平行四边形，又∵ = ，
∴四边形是菱形．
【分析】（1）根据作角平分线的尺规作图方法作出∠的平分线与的交点即为点；
（2）先根据平行线+角平分线证明 = ，然后进行等量代换结合平行证明四边形是平行四边形，再由有一组邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．
【详解】（1）略
（2）略
知识总结
核心方法：作∠ABC 的平分线，与 AE 的交点即为 D；菱形判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形。
解题要点：由 AE∥BC 和 BD 平分∠ABC 可得 AB=AD，结合 AB=BC 得 AD=BC，从而四边形 ABCD 是平行四边形，再由 AB=BC 得菱形。③ 拓展关联：尺规作图还包括作线段、作垂线、作垂直平分线等，常与全等、特殊四边形判定综合。
低空经济赋能乡村振兴，在广东某地万亩高标准农田里，农业无人机旋翼轰鸣，稻种精准洒落，科技助农的场景让农户们连连感叹．现有 A，B 两种型号的无人机可用来播种．
如果购买 1 台 A 型无人机和 3 台 B 型无人机需 9 万元，购买 3 台 A 型无人机和 1 台 B 型无人机需 11 万
元，求两种型号的无人机单价分别是多少万元．
每台 A 型无人机比 B 型无人机日均播种面积多 200 亩，每台 A 型无人机播种 1500 亩所用时间与 B 型无人机播种 900 亩所用时间相等，求两种型号的无人机每台日均分别播种多少亩．
命题透视
核心考点：二元一次方程组与分式方程的实际应用
命题分析：
情境创设：本题以广东低空经济背景下农业无人机播种为情境，考查方程建模与实际应用。
问题设计：第（1）问根据购买无人机的总价列二元一次方程组求单价；第（2）问根据播种面积与时间关系列分式方程求日均播种面积。
考查目标：侧重考查模型观念和应用意识，要求学生能从实际问题中抽象数量关系并建立方程。
答案与解析
【答案】(1)A 型无人机单价为 3 万元，B 型无人机单价为 2 万元．
(2)A 型无人机每台日均播种 500 亩，B 型无人机每台日均播种 300 亩．
【详解】（1）解：设 A 型无人机的单价是 x 万元、B 型无人机的单价是 y 万元，
根据题意得：
3 + = 11
+ 3 = 9 ，
解得： = 3 ，
= 2
答：A 型无人机单价为 3 万元，B 型无人机单价为 2 万元；
（2）解：设 A 型无人机每台日均播种 m 亩，B 型无人机每台日均播种 − 200 亩，则
1500 = 900 ，
−200
解得 = 500，
经检验 = 500 是分式方程的解且符合题意，
− 200 = 500 − 200 = 300，
答：A 型无人机每台日均播种 500 亩，B 型无人机每台日均播种 300 亩．
知识总结
① 核心方法：设未知数、列方程（组）、解方程（组）、检验、作答。② 解题要点：第（1）问列方程
组 x+3y=9、3x+y=11，解得 x=3、y=2；第（2）问列分式方程 1500/m=900/(m−200)，解得 m=500，需检验。
拓展关联：分式方程应用题必须检验分母不为零且符合实际意义；方程（组）是处理“和差倍分”“工程”“行程”等问题的基本工具。
为弘扬中华优秀传统文化，某校举办了古诗词知识竞赛．在 300 名参赛学生中随机抽取 12 名，他们的参赛成绩（单位：分）如下：
67 83 66 85 79 81 86 86 90 91 72 98
求这 12 名学生参赛成绩的平均数；
求这 12 名学生参赛成绩在 − 9.3分与 + 9.3分之间的人数，据此估计 300 名学生参赛成绩在 − 9.3
分与 + 9.3分之间的人数．
命题透视
核心考点：平均数与用样本估计总体
命题分析：
情境创设：本题以古诗词知识竞赛成绩为背景，考查统计量的计算与样本估计。
问题设计：第（1）问计算 12 名学生成绩的平均数；第（2）问先统计样本中落在某区间内
的人数，再估计 300 名学生中相应人数。
考查目标：侧重考查数据观念和应用意识，要求学生掌握平均数计算和样本估计总体的方法。
答案与解析
【答案】(1)̅ = 82 分
(2)12 名参赛学生中成绩在区间内的人数为 8 人，估计 300 名参赛学生中成绩在区间内的人数为 200 人
【分析】（1）利用平均数的计算公式即可得到答案；
（2）先计算出 12 名参赛同学中参赛成绩在 − 9.3 分与 + 9.3 分之间的比例，再进行估算即可得到答案．
【详解】（1）解：̅ = 67 + 83 + 66 + 85 + 79 + 81 + 86 + 86 + 90 + 91 + 72 + 98 ÷ 12 = 82；
（2）解：参赛成绩在 − 9.3 分与 + 9.3 分之间，即参赛成绩在 72.7 与 91.3 之间，
12 名参赛学生中一共有 8 名同学的参赛成绩在 72.7 与 91.3 之间，
估计 300 名参赛学生中成绩在区间内的人数= 300 × 8 = 200（人），
12
答：估计 300 名参赛学生中成绩在区间内的人数为 200 人．
知识总结
① 核心公式：平均数 x =(x1+x2+…+xn)/n；用样本估计总体：总体中某类数量≈总体容量×样本中该类频率。② 解题要点：x =(67+83+66+85+79+81+86+86+90+91+72+98)/12=82；样本中落在(72.7,91.3)
的有 8 人，估计 300 人中有 300×8/12=200 人。③ 拓展关联：统计量还包括中位数、众数、方差等，常结合统计图表进行分析。
综合与实践
【提出问题】
同一平面内，有条直线两两相交，设它们最多有个交点，相交所成的最小角为．某数学学习小组提出了下列探究问题．
问题一：与的关系；
问题二：的最大值与的关系．
【特例感知】
如图 1，当 = 2 时，学习小组发现 = 1，的最大值为 90°．
【实验探究】
步骤一：动手操作
学习小组画出了当 = 3 时的两种情况，如图 2，图 3．步骤二：观察分析
由图 2，图 3 得 = 3；
在图 2 中，的最大值为 60°；
在图 3 中，的最大值为 360° ÷ 6 = 60°．
【规律探索】
完成下表：
2
3
4
5
1
3
的最大值
90°
60°
【解决问题】
①用关于的代数式表示，直接写出即可；
②的最大值与的关系是什么？写出并说明理由．
命题透视
核心考点：n 条直线相交的交点个数与最小角最大值
命题分析：
情境创设：本题以“同一平面内 n 条直线两两相交”为数学探究情境，考查综合与实践。
问题设计：通过 n=2,3,4,5 的特例，引导学生归纳交点个数 m 和最小角最大值α的一般规律，并要求用代数式表示 m 和说明α的最大值。
考查目标：侧重考查创新意识和推理能力，要求学生经历从特殊到一般、从归纳到论证的探究过程。
【答案】(1)
答案与解析
(2)①2−；
2
②的最大值为180°，理由如下：
将所有直线平移至交于同一点，直线间的夹角大小保持不变，此时 n 条直线将周角 360°分割为 2个相邻的角(对顶角两两相等)，设为∠1, ∠2, ∠3, ⋯, ∠2，
则∠1 + ∠2 + ∠3 + ⋯ + ∠2 = 360°，
∵最小角为，
∴∠1 ≥ , ∠2 ≥ , ∠3 ≥ , ⋯, ∠2 ≥
∴∠1 + ∠2 + ∠3 + ⋯ + ∠2 = 360° ≥ 2 ⋅
解得 ≤ 180°
2
3
4
5
1
3
6
10
的最大值
90°
60°
45°
36°
∴的最大值为180°．
【分析】（1）找出规律即可求解；
（2）①根据（1）中填表得到的规律求解即可；②将所有直线平移至交于同一点，直线间的夹角大小保持不变，此时 n 条直线将周角 360°分割为 2个相邻的角(对顶角两两相等)，设为∠1, ∠2, ∠3, ⋯, ∠2，可得不等式∠1 + ∠2 + ∠3 + ⋯ + ∠2 = 360° ≥ 2 ⋅ ，即可求解．
【详解】（1）解：2 条直线相交，最多有 1 个交点，的最大值为 360° ÷ 2 × 2 = 90°；
3 条直线相交，最多有 1 + 2 = 3 个交点，的最大值为 360° ÷ 3 × 2 = 60°；
4 条直线相交，最多有 1 + 2 + 3 = 6 个交点，的最大值为 360° ÷ 4 × 2 = 45°；
5 条直线相交，最多有 1 + 2 + 3 + 4 = 10 个交点，的最大值为 360° ÷ 5 × 2 = 36°；故填表见答案；
（2）解：①由（1）规律可得， = 1 + 2 + 3 + ⋯ + − 1
= 1+−1 −1 = −1 = 2−；
2
2
2
②略
知识总结
① 核心规律：n 条直线两两相交最多有 m=n(n−1)/2 个交点；最小角的最大值为 180°/n。② 探究方法：通过特例填表发现规律，再运用平移思想和周角 360°分割进行证明：2n 个相邻角均不小于α，故 2nα≤360°，得α≤180°/n。③ 拓展关联：此类问题体现了数学归纳、猜想、证明的完整探究过程，是综合与实践领域的典型题型。
如图，在 Rt △ 中，∠ = 90°， = 2 5，点在上，且 = 3，连接．过点作
的垂线交于点，交于点，连接， = 2．
求的长；
(2)求证：2 = 9 ⋅ ；
求△的值．
△
命题透视
核心考点：相似三角形、勾股定理与面积比
命题分析：
情境创设：本题以直角三角形为背景，综合考查相似、勾股和面积比，是几何压轴题。
问题设计：第（1）问用勾股定理求 CE；第（2）问证明△ADE∽△CDA，得出 AD^2=DE·DC，进而证明 BD^2=9DE·DC；第（3）问通过证明 F 为 BC 中点，利用共高三角形面积比求解。
考查目标：侧重考查推理能力和综合应用能力，要求学生能灵活运用相似、勾股和面积转化。
答案与解析
【答案】(1)4
(2)
证明：∵∠ = 90°， ⊥ ，
∴∠ = ∠ = 90°，∠ = ∠ = 90° − ∠，
∵∠ = ∠，
∴△ ∽△ ，
∴ =
∴2 = ⋅
∵ = 3
∴2 = 92
∴2 = 9 ⋅ ；
(3)2
【分析】（1）直接由勾股定理求解即可；
证明△ ∽△ ，得到2 = ⋅ ，再由 = 3代入求证即可；
先证明点为的中点，然后求出，，再由共高三角形面积比等于底之比求解即可．
【详解】（1）解：∵ = 2 5， = 2， ⊥ ，
∴ = 2 − 2 = 4；
（2）略
（3）解：由（2）知∠ = ∠，
∵ ⊥ ，
∴∠ = ∠ = 90°，
∴△ ∽△ ，
∴ = = ，
∴2 = = ，
422 5
∴ = 1, = 5，
∴ = 3 = 3 5，
∴ = + = 4 5，
∴ × = 5 × 4 5 = 20，
∵2 = 2 5 2 = 20，
∴2 = × ，
∴ = ，
∵∠ = ∠，
∴△ ∽△ ，
∴∠ = ∠，
∵∠ = ∠，
∴∠ = ∠，
∴ = ，
∵∠ = 90°，
∴∠ + ∠ = ∠ + ∠ = 90°，
∴∠ = ∠，
∴ = ，
∴ = ，
∵∠ = 90°，
∴ = 1 = 1 × 2 + 2 = 1 ×2 5 2 + 4 5 2 = 5，
222
∴ = − = 3，设△ = ，
∵ = 3，
∴△ = 3，
∴△ = △ + △ = 4，
∵ = 2，
3
∴△ = = 2，
△
3
∴△ = 6，
∴△ = 6 = 2．
△
3
知识总结
① 核心方法：证明△ADE∽△CDA 得 AD^2=DE·DC；证明△AED∽△CEA 得 DE=1、AD=√5；证明
△DAC∽△CAB 得 F 为 BC 中点；利用共高三角形面积比求解。② 解题要点：第（3）问关键是证明 F 为 BC中点，再设 S△ADE=S，利用 BD=3AD、AE/EF=2/3 逐步推导得面积比为 2。③ 拓展关联：几何综合题常涉及相似、勾股、面积、三角函数等知识的综合转化，添加辅助线和寻找基本模型是突破口。
如图 1，设为坐标原点，二次函数 =− 2 + + 3 的图象经过点−3,0，与轴交于点，其对称轴与轴交于点，连接，．
求二次函数的解析式；
求 cs∠的值；
如图 2，动点在线段上，过点作的垂线?，与二次函数在第二象限的图象交于点，求 + 2?
的最大值．
命题透视
核心考点：二次函数解析式、三角函数与最值
命题分析：
情境创设：本题以二次函数图象为背景，综合考查函数、几何和最值，是函数压轴题。
问题设计：第（1）问用待定系数法求二次函数解析式；第（2）问通过构造垂线、等积法求 cs∠ABC；第（3）问设参数表示 BP+2PQ，转化为二次函数求最大值。
考查目标：侧重考查综合应用能力和直观想象，要求学生能进行参数设元、数形转化和最值求解。
答案与解析
【答案】(1) =− 2 − 2 + 3
2 5
5
25 2
8
【分析】（1）运用待定系数法求解即可；
过点作? ⊥ 于点?，先由勾股定理求解，然后运用等积法求解?，再由勾股定理求解?，即可求解 cs∠；
过点作 ⊥ 轴交、轴于点, ，可得△ ，△ 为等腰直角三角形，设? = = ，则
= 2，设 = = ，则 = 2，表示出 − 3, + 2 ，将点 − 3, + 2 代入 =−
2 − 2 + 3，整理得 =− 2 2 + 3 2 ，那么得到 + 2? = 3 2 − 2 − 2 2 + 3 2 ，整理得， +
2222
2? =− 2 2 + 2 + 3 2，再由二次函数的性质求解即可．
22
【详解】（1）解：∵二次函数 =− 2 + + 3 的图象经过点 −3,0 ，
∴将点 −3,0 代入 =− 2 + + 3，则−9 − 3 + 3 = 0
解得 =− 2
∴二次函数的解析式为 =− 2 − 2 + 3；
解：过点作? ⊥ 于点?
对于 =− 2 − 2 + 3，当 = 0 时， = 3，
∴ 0,3 ，
∴ = 3，
∵ −3,0 ，
∴ = 3，
∴ = 2 + 2 = 3 2
∵ =− 2 − 2 + 3 =− + 1 2 + 4
∴对称轴为直线 =− 1
∴ −1,0 ，
∴ = 1， =− 1 − −3 = 2
∴ = 2 + 2 = 10，
∵? ⊥
∴1 × ? = 1 ×
22
∴? = 2×3 = 2，
3 2
∴? = 2 − ?2 = 2 2
∴在 Rt △ ?中，cs∠ = ? = 2 2 = 2 5；
105
解：过点作 ⊥ 轴交、轴于点, ，
由（2）知 = = 3，
∵∠ = 90°
∴∠ = 45°，
∴∠ = ∠ = 45°，△ 为等腰直角三角形
∵ ⊥ ，
∴△ 为等腰直角三角形， =
∴ =2 + 2 = 2
设? = = ，则 = 2，同理设 = = ，则 = 2
∴ = − = 3 −
∴ − 3, + 2 ，
将点 − 3, + 2 代入 =− 2 − 2 + 3，则− − 3 2 − 2 − 3 + 3 = + 2，
2
2．
8
2 = 25
2222
∴最大值为− 2 × 1 2 + 2 × 1 + 3
2
2
2× − 2
2
∴当 =− 2 = 1时， + 2?取得最大值，
整理得， =− 2 2 + 3 2 ，
∵− 2 < 0
2
设抛物线顶点为点，对称轴与线段的交点为点，
∵ =− + 1 2 + 4
∴ −1,4 ，
同理可得△ 为等腰直角三角形，
∴ = = 2，
∴ −1,2 ，
∴2 + 2 = −1 − 0 2 + 4 − 3 2 + −1 − 0 2 + 3 − 2 2 = 4，2 = 4 − 2 2 = 4
∴2 + 2 = 2
∴ ⊥
∴当点与点重合时，则点 Q 与抛物线顶点重合，则点 D 为抛物线对称轴与线段的交点，
∴0 < ≤ 2，
2
整理得， + 2? =− 2 2 + 2 + 3 2
2
2
∴ + 2? = 3 2 − 2 − + 2 = 3 2 − 2 − 2 2 + 3 2
2
∵ = − = 3 2 − 2 −
2
知识总结
① 核心方法：待定系数法；等积法求线段长度；等腰直角三角形中边的比例关系；二次函数最值。②解题要点：将 A(−3,0)代入得 y=−x^2−2x+3；cs∠ABC=(2√5)/5；第（3）问设 PQ=PD=m、DE=AE=n，得 Q(n−3,n+√2m)，代入抛物线得 m 关于 n 的表达式，进而 BP+2PQ=−(√2/2)n^2+(√2/2)n+3√2，当 n=1/2时最大值为(25√2)/8。③ 拓展关联：二次函数综合题常与一次函数、三角形、圆、动点等结合，参数设元和数形结合是核心思想。