2026年中考数学真题完全解读（广东省深圳卷）

这是一份2026年中考数学真题完全解读（广东省深圳卷），共9页。试卷主要包含了7 ，8 ，16 题，包括简单概率计算等内容，欢迎下载使用。

试题分析
2026 年广东省深圳市中考数学试卷共 20 题，满分 100 分，考试时间 90 分钟。试卷采用单选题 8 题（24分）、填空题 5 题（15 分）、解答题 7 题（61 分）的结构，分值分布依次为 6、7 、8、8 、10、10、12 分。整体难度以基础性为主，兼顾综合性、应用性和创新性，突出对数学核心素养的全面考查。选择题第 1~8 题覆盖三视图、误差与范围、坐标平移、幂运算、平行线性质、函数图象、不等式组、四巧板拼接等核心 知识，其中第 3 题以深圳传统孔明灯为情境考查坐标平移，第 6 题以无人机送货为背景考查函数图象分析，体现科技创新与传统文化融合。填空题第 9~ 13 题分别考查简单概率、代数式求值、解直角三角形、反比例函数与勾股定理、菱形性质与相似三角形，梯度清晰。解答题第 14~20 题中，第 14 题为实数混合运算，第 15 题为解二元一次方程组，第 16 题以深圳每周半天计划校外研学为情境考查统计图表与数据分析，第 17
题以科技节机器人采购为背景考查分式方程与不等式应用，第 18 题考查圆的切线证明、勾股定理与尺规作
图，第 19 题以国产电动汽车充电站运营为综合与实践情境考查一次函数与二次函数建模，第 20 题以倍四 边形新定义为载体考查平行四边形、相似三角形与解直角三角形的综合探究。全卷对运算能力、几何直观、推理能力、模型观念、应用意识、创新意识均有覆盖，尤其强调真实情境中的数学建模和数据分析，深圳 本土元素（每周半天计划、校外研学场馆、无人机物流、新能源汽车充电站、科技节机器人、孔明灯）有 机融入，育人导向鲜明。
试题亮点
深圳每周半天计划与校外研学场馆深度融合，凸显学科育人价值：第 16 题以深圳市实施的每周半天计划为背景，设置学生前往美术馆、音乐厅、植物园、博物馆、科技馆五个场馆开展校外研学实践的统计问题，
通过条形统计图补全、折线图数据分析、满意度打分比较等任务，让学生在真实社会情境中运用统计知识解决实际问题。这种设计既贴近深圳学生的日常生活，又体现数学服务社会发展的价值，厚植家国情怀与地方认同。
科技创新之城情境贯穿全卷，强化应用意识与建模能力：第 6 题以深圳无人机完成送货任务后返回快递站为情境，通过距离-时间函数图象分析往返速度之差，考查学生从图象中提取信息、建立函数关系的能力；
第 17 题以学校科技节购买甲、乙两种型号机器人为背景，设置分式方程与一元一次不等式的综合应用问题，
引导学生从实际采购约束中抽象数学模型；第 19 题以国产电动汽车充电站运营为综合与实践主题，建立收
入与充电汽车数量的一次函数模型，并进一步研究成本、收支平衡与净收益最值问题，是新能源产业与数学建模的深度融合。
新定义压轴与几何探究强化思维品质与创新能力考查：第 20 题定义倍四边形，设置平行四边形中的比例计算、倍四边形中的代数表达、相似三角形与勾股定理综合求解、射线动点与分类讨论四个层次，从特殊到 一般，层层递进，考查学生即时学习定义、抽象数学关系、逻辑推理和代数运算的综合能力；第 18 题以圆 的切线证明、勾股定理计算和尺规作图为综合载体，融合圆周角定理、切线性质、垂径定理等多重几何知识。两题合计 22 分，是顶尖区分度载体，突出逻辑推理和探究能力。
命题趋势
深圳卷结构保持稳定，解答题分值分布体现能力梯度：2026 年深圳卷继续采用 8+5+7 的题量结构，选择题
24 分、填空题 15 分、解答题 61 分，解答题分值依次为 6 、7、8 、8、10、10、12，压轴题（第 19、20 题）合计 22 分。第 14~ 16 题为常规计算、方程、统计，第 17~ 18 题为分式方程不等式与圆的综合应用，第 19
~20 题为函数建模与新定义探究。未来深圳卷大概率延续这一结构，通过题位固定和能力分层实现稳定选拔。
真实情境与科技创新将持续入题，应用意识考查常态化：第 6 题无人机物流、第 16 题每周半天计划校外研
学、第 17 题科技节机器人、第 19 题新能源汽车充电站，均取材于深圳科技创新、教育政策和新兴产业。
未来深圳卷将继续选取具有地域辨识度和时代意义的素材，引导学生在真实情境中提取信息、建立数学模型、解释结果并做出决策，体现数学服务生活、驱动创新的价值。
新定义与探究性设问成为压轴主流，思维过程考查持续强化：第 20 题倍四边形新定义和第 19 题充电站运营
综合实践，分别以几何和函数为载体设置新情境和递进式问题。第 20 题需要学生即时学习定义、建立比例
关系、运用相似三角形和勾股定理求解；第 19 题需要从表格数据抽象函数关系、列方程求收支平衡、利用二次函数顶点求最值。未来压轴题将继续淡化复杂计算、强化思维过程和数学表达规范，备考中需特别强化阅读理解、抽象建模和逻辑推理能力。
基础题送分到位但概念理解要求更深，拒绝机械刷题：选择题第 1~5 题和填空题第 9~10 题总体保持较低难度，但第 5 题平行线性质与角度计算、第 7 题不等式组解集在数轴上的表示、第 8 题四巧板拼接求边长、
第 11 题解直角三角形、第 12 题反比例函数与勾股定理综合等，均需准确理解概念本质。这些题目提示未来基础题将继续通过反套路设计检验学生是否真正理解概念本质。
考点细目表
题号
题型
分值
具体考点
关键能力
1
单选
3
图形的性质→投影与视图→三视图（主视图、左视图）
空间观念、几何直观
2
单选
3
数与式→实数→误差与取值范围
运算能力
考点模块占比分析
数与式模块（约 24%，24 分）：对应第 2、4、7、10、14、15、17 题，重点考查误差与取值范围、幂的运算、不等式组求解、代数式变形、实数混合运算、二元一次方程组、分式方程与不等式应用等基础概念与运算 技能。该模块强调运算准确性和算理理解，是后续代数学习的基石。
函数模块（约 16%，16 分）：对应第 6 、12、19 题，涵盖距离-时间函数图象分析、反比例函数图象上点的坐标特征、一次函数建模与二次函数最值。该模块强调函数思想、建模意识和从实际问题中抽象函数关系的能力。
图形的性质模块（约 22%，22 分）：对应第 1 、5、13、18 题，涉及三视图、平行线性质、菱形性质与相似三角形、圆的切线证明与勾股定理等综合推理。该模块突出几何直观与逻辑推理。
3
单选
3
图形的变化与综合实践→ 图形的平移→平面直角坐标系中点的平移
几何直观
4
单选
3
数与式→整式→幂的运算与乘法公式
运算能力
5
单选
3
图形的性质→相交线与平行线→平行线的性质与角度计算
几何直观、推理能力
6
单选
3
函数→函数的图象→距离-时间函数图象分析
模型观念、运算能力
7
单选
3
数与式→不等式→一元一次不等式组的解法与数轴表示
运算能力
8
单选
3
图形的变化与综合实践→ 图形的拼接→ 四巧板拼接与边长计算
推理能力、几何直观
9
填空
3
统计与概率→概率→简单概率计算
数据观念
10
填空
3
数与式→代数式→代数式变形与求值
运算能力
11
填空
3
图形的变化与综合实践→解直角三角形→锐角三角函数（正切）的实际应用
模型观念、运算能力
12
填空
3
函数→反比例函数→反比例函数图象上点的坐标特征与勾股定理
运算能力、推理能力
13
填空
3
图形的性质→菱形→菱形性质、相似三角形与勾股定理
推理能力、运算能力
14
解答
6
数与式→实数运算→实数的混合运算
运算能力
15
解答
7
数与式→方程→二元一次方程组的解法
运算能力
16
解答
8
统计与概率→统计量→条形统计图、折线统计图与数据分析
数据观念、运算能力
17
解答
8
数与式→分式方程→分式方程与一元一次不等式的应用
模型观念、运算能力
18
解答
10
图形的性质→ 圆→圆的切线证明、勾股定理与尺规作图
推理能力、几何直观
19
解答
10
函数→一次函数与二次函数→函数建模、收支平衡与二次函数最值
模型观念、创新意识
20
解答
12
图形的变化与综合实践→新定义→倍四边形：平行四边形、相似三角形与解直角三角形综合探究
创新意识、推理能力
图形的变化与综合实践模块（约 21%，21 分）：对应第 3、8 、11、20 题，考查坐标平移、四巧板拼接、解直角三角形的实际应用、倍四边形新定义综合探究。第 19 题虽以函数为主，但充电站情境属于综合实践，
第 20 题是几何新定义压轴，两题合计 22 分体现综合实践与创新意识的考查。
统计与概率模块（约 11%，11 分）：对应第 9、16 题，包括简单概率计算、条形统计图与折线统计图的数据分析。第 16 题以深圳每周半天计划校外研学为情境，将统计知识融入地方教育政策，强调数据分析和决策意识。
核心复习策略
夯实基础，构建数与式、方程、函数知识网络
回归教材，熟练掌握实数运算、整式、分式、二次根式、方程不等式的基础运算与算理，确保选择题前 5 题和填空题前 2 题快速准确得分。
建立知识联系，如将方程、不等式与函数图象结合理解，掌握从文字、表格、图象中提取信息的方法，提升综合调用能力。
突破几何与函数综合，强化推理与建模
系统梳理三角形、四边形、圆的性质定理及判定方法，规范几何证明书写，特别关注全等、相似、勾股定理、切线性质、垂径定理的综合运用。
加强函数图象分析、实际情境建模训练，掌握从文字、表格、图象中提取信息的方法，重视新定义题型的阅读理解和即时学习能力。
关注统计实践与科技创新情境，提升应用意识
熟悉统计图表、中位数众数平均数、概率计算及数据解释，重视生活中的数据分析，掌握满意度调查等实际统计方法。
关注深圳科技创新、教育政策、新兴产业等情境素材，培养用数学眼光观察现实的能力，在真实情境中建立数学模型、解释结果并做出决策。
避坑提醒（考试最易踩的雷）
×只刷难题忽视基础：选择题、填空题的前几题和计算题失分最可惜，第 2 题误差范围判断、第 4 题幂运算、
第 14 题实数混合运算等必须确保零失误。
×只记结论不理解算理：因式分解、解方程、函数性质必须在理解基础上灵活运用，避免死记硬背导致换情境即错。
×几何证明跳步或依据不足：全等、相似、圆的性质要写明判定依据，如ASA、SAS、两角对应相等等，避免被扣步骤分。
×审题不清或单位答语缺失：应用题要关注实际意义、单位换算和完整作答，第 19 题求充电汽车数量必须写出完整答句。
单选题
下列四个立体花瓶图形中，主视图与左视图不同的是 ()
．
A．
B．
C D．
命题透视
核心考点：三视图（主视图与左视图）
命题分析：
情境创设：以四个立体花瓶图形为情境，考查主视图与左视图的识别。
问题设计：四个选项给出不同立体花瓶，要求学生根据主视图和左视图的定义，判断哪个图形的主视图与左视图不同。
考查目标：考查空间观念和几何直观，以及对三视图概念的理解。
答案与解析
【答案】C
【分析】根据主视图是从正面看到的图形，左视图是从左面看到的图形，对各选项中的立体图形进行分析判断即可．
【详解】A、该几何体是旋转体，主视图与左视图轮廓相同，均为轴对称图形，故不符合题意；
B 、该几何体是旋转体，主视图与左视图轮廓相同，均为轴对称图形，故不符合题意；
C、该几何体瓶颈两侧有装饰物，主视图能看到两侧的装饰物，左视图看到的是瓶身的侧面，轮廓宽度不同，故主视图与左视图不同，符合题意；
D 、该几何体是旋转体，主视图与左视图轮廓相同，均为“8”字形，故不符合题意．
知识总结
① 核心概念：主视图是从正面看到的图形，左视图是从左面看到的图形；旋转体的主视图与左视图通 常相同。② 解题要点：分析各选项几何体的结构特征，判断从正面和左面观察到的轮廓是否一致；注意非 旋转体可能存在装饰物导致视图不同。③ 拓展关联：三视图是空间几何学习的基础，与立体图形的展开图、表面展开图密切相关。
比赛用乒乓球的标准直径规定为 ，允许误差为．现随机抽取 4 个乒乓球进行检测，测得它们的直径（单位： ）如下，其中符合标准的是 ()
A．B．C．D．
命题透视
核心考点：误差与取值范围
命题分析：
情境创设：以比赛用乒乓球标准直径检测为情境，考查误差与取值范围。
问题设计：已知标准直径和允许误差，给出四个检测数据，要求判断哪个符合标准。
考查目标：考查运算能力，以及对误差和取值范围概念的理解。
答案与解析
，不符合．
选项 D：
，符合标准；
选项 C：
，不符合；
选项 B：
∴ 符合标准的直径 满足
即
选项A：，不符合；
，允许误差为
【详解】解：∵ 标准直径为
【答案】C
【分析】先根据允许误差求出符合标准的乒乓球直径的取值范围，再判断各选项的数值是否在范围内即可得到答案．
知识总结
① 核心概念：标准值±误差得到合格范围；检测结果落在该范围内即为符合标准。② 解题要点：先
根据标准直径和允许误差求出合格范围，再逐一判断各选项是否在该范围内。③ 拓展关联：误差与范围是实际测量中的基本概念，与不等式、绝对值等知识相关。
3 ．孔明灯（又称天灯）是一种利用热空气上升原理制成的传统飞行器．如图，在平面直角坐标系中，一孔明灯初始位置为点 ，若将该孔明灯向上平移个单位长度，则平移后对应点的坐标是 ()
B． C． D．
命题透视
核心考点：平面直角坐标系中点的平移
命题分析：
情境创设：以深圳传统孔明灯为情境，考查平面直角坐标系中点的平移。
问题设计：已知孔明灯初始位置坐标，将其向上平移若干个单位长度，求平移后对应点的坐标。
考查目标：考查几何直观，以及对坐标平移规律的理解。
答案与解析
【答案】B
【分析】根据平移中点的变化规律（横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减）求解即可．
【详解】解：∵ 孔明灯初始位置为点
，将该孔明灯向上平移 个单位长度，
∴ 平移后对应点 的坐标是
．
知识总结
① 核心概念：在平面直角坐标系中，点向上平移 a 个单位，横坐标不变，纵坐标加a；向下平移则纵坐标减a；向左平移横坐标减，向右平移横坐标加。② 解题要点：明确平移方向和距离，直接应用横坐标左减右加、纵坐标下减上加的规律。③ 拓展关联：坐标平移是图形变换的基础，与对称、旋转等变换共同
命题透视
核心考点：幂的运算与乘法公式
命题分析：
情境创设：直接考查幂的运算和乘法公式，属于基础代数题。
问题设计：四个选项给出不同的运算式，要求判断哪个运算正确。
考查目标：考查运算能力，以及对幂的运算法则和乘法公式的掌握。
答案与解析
， D 运算错误．
，
选项 D：根据二次根式性质
， C 运算错误；
选项 C：根据完全平方公式，
， B 运算错误；
选项 B：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，
，A 运算正确；
【答案】A
【详解】解：选项A：根据积的乘方法则，可得
知识总结
① 核心概念：积的乘方等于乘方的积；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；完全平方公式(a±b)²=a²
±2ab+b²；二次根式性质√ (a²)=|a|。② 解题要点：逐一分析各选项，对照运算法则判断正误；特别注意符号和指数变化。③ 拓展关联：幂的运算是整式运算、因式分解、分式运算的基础。
如图，一个盛有水的水槽放置在斜坡上，水槽外侧装有液体水平仪．已知水平仪中液面与水平面的夹角为，且，，，则的度数为 ()
构成几何变换知识体系。
4 ．下列运算正确的是 (
)
A．
B．
C．
D．
A． B．C．D．
命题透视
核心考点：平行线的性质与角度计算
命题分析：
情境创设：以斜坡上的水槽和液体水平仪为情境，考查平行线的性质与角度计算。
问题设计：已知水平仪中液面与水平面的夹角，以及平行线关系，求某角的度数。
考查目标：考查几何直观和推理能力，以及对平行线性质和角度关系的理解。
答案与解析
【答案】C
【分析】延长交的延长线于点 F，根据平行线的性质求解即可．
∵
,
,
,
【详解】解：如图，延长交的延长线于点 F，
知识总结
① 核心概念：两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补；直角三角形两锐角互余。② 解题要点：通过延长线构造交点，利用平行线性质和三角形内角和定理推导角度关系。③ 拓展关联：平行线性质是三角形、四边形、圆中角度计算的基础工具。
6 ．如图，为某无人机完成送货任务后返回快递站的过程中，无人机与快递站的距离（单位：）随时间
（单位：）变化的函数图象．根据图中信息，无人机在往返途中的速度（）之差为 ()
B．C．D．
命题透视
核心考点：距离-时间函数图象分析
命题分析：
情境创设：以深圳无人机完成送货任务后返回快递站为情境，考查距离-时间函数图象分析。
问题设计：给出无人机与快递站的距离随时间变化的函数图象，要求根据图象信息计算往返速度之差。
考查目标：考查模型观念和运算能力，以及从函数图象中提取信息、建立数量关系的能力。
答案与解析
【答案】D
【分析】先分别求出无人机去程速度和回程速度，再相减即可得出结果．
【详解】由图可得，无人机去程速度为：
，
无人机回程速度为：
，
∴ 根据图中信息，无人机在往返途中的速度之差为
．
知识总结
核心概念：距离-时间图象中，线段的斜率表示速度；去程和回程的速度可通过距离除以时间求得。
解题要点：从图象中读取去程距离、去程时间、回程距离、回程时间，分别计算速度后求差。③ 拓展关联：函数图象分析是函数学习的核心技能，广泛应用于行程、工程、经济等实际问题。
不等式组 的解集在数轴上表示为 ()
A．B．
C．D．
命题透视
核心考点：一元一次不等式组的解法与数轴表示
命题分析：
情境创设：直接考查一元一次不等式组的求解，属于基础代数题。
问题设计：给出一个不等式组，要求分别求解每个不等式，求公共解集，并在数轴上表示。
考查目标：考查运算能力，以及对不等式组解法和数轴表示的掌握。
.
解集在数轴上表示如下：
，
则不等式组的解集为
；
，得
解不等式
；
，得
【详解】解：解不等式
【答案】A
【分析】分别求出每个不等式的解集，再求出两个解集的公共部分，然后在数轴上表示出来即可．
答案与解析
知识总结
① 核心概念：不等式组的解集是各不等式解集的公共部分；数轴表示时注意空心圆圈（不含等号）和实心圆点（含等号）。② 解题要点：分别求解每个不等式，取解集的交集；在数轴上标出边界点和方向。
拓展关联：不等式组与方程组、函数图象、实际问题的约束条件密切相关。
在数学实践课上，老师将一副四巧板中的四块图形按如图 1 所示摆放，再将这些图形重新拼接成如图 2
所示的图形．已知拼接后点，为图 2 中图形的顶点，则的长为 ().
A．2B ．C ．3D．
命题透视
核心考点：四巧板拼接与边长计算
命题分析：
情境创设：以数学实践课上四巧板拼接为情境，考查图形拼接与边长计算。
问题设计：给出四巧板各块的原始摆放和重新拼接后的图形，已知部分边长，求拼接后某两点间的距离。
考查目标：考查推理能力、几何直观和运算能力，是选择题的压轴题。
答案与解析
【答案】B
【分析】先根据图 1 给出的边长，确定四块四巧板各边的线段长度，再分析图 2 中点 ， 的距离．
【详解】解：等腰直角三角形①斜边为
，
由
以及边平行，得到存在一个平行四边形，
则直角梯形下底长与等腰直角三角形①斜边相等，
.
知识总结
① 核心概念：四巧板由等腰直角三角形、直角梯形等图形组成；拼接前后对应边长度不变。② 解题要点：根据原始图形确定各块边长，分析拼接后图形的结构，利用平行四边形性质和勾股定理求距离。③
拓展关联：图形拼接与分割是几何变换的重要内容，与面积计算、相似三角形、勾股定理综合考查。
二、填空题
某班开展“说唱脸谱”主题实践活动，老师准备了“红脸”、“黄脸”、“白脸”、“蓝脸”、“黑脸”五张脸谱卡片，这些卡片除颜色名称不同外其余完全相同．现从这五张卡片中随机抽取一张，则抽到“蓝脸”的概率为
.
命题透视
核心考点：简单概率计算
命题分析：
情境创设：以说唱脸谱主题实践活动为情境，考查简单概率计算。
问题设计：从五张脸谱卡片中随机抽取一张，求抽到蓝脸的概率。
考查目标：考查数据观念，以及概率公式在实际情境中的应用。
答案与解析
【答案】
【分析】先确定所有等可能的结果总数，再确定所求事件的结果数，代入概率公式计算即可．
【详解】∵ 从五张卡片中随机抽取 张，所有等可能的结果共 种，其中抽到“蓝脸”的结果有 种，
∴ 抽到“蓝脸”的概率为 ．
知识总结
① 核心概念：概率 P(A)=事件A 发生的结果数÷所有等可能结果总数。② 解题要点：确定所有等可能结果数（5 种），确定符合条件的结果数（1种），代入公式计算。③ 拓展关联：概率计算常与游戏公平性、决策分析、统计估计等实际问题结合。
10 ．已知，则 的值为．
命题透视
核心考点：代数式变形与求值
命题分析：
情境创设：直接考查代数式变形，属于基础代数题。
问题设计：已知一个等式，要求通过变形求另一个代数式的值。
考查目标：考查运算能力，以及对代数式变形方法的掌握。
答案与解析
【答案】
【分析】将已知等式拆分变形，整理后即可计算得到 的值．
【详解】解：
，
,
即
，
移项得
，
等号两边都除以 2 得
．
故答案为 ．
知识总结
① 核心概念：代数式变形是通过移项、合并同类项、因式分解等手段将已知等式转化为目标形式。②解题要点：将已知等式展开整理，通过移项和合并得到目标代数式的值。③ 拓展关联：代数式变形是解方程、化简求值、函数解析式推导的基础技能。
一天正午，太阳光与水平地面的夹角为 ．身高为的小明站在水平地面上，此时他的影长为
，
）
．（参考数据 ，
命题透视
核心考点：锐角三角函数（正切）的实际应用
命题分析：
情境创设：以正午阳光下小明的影长为情境，考查解直角三角形的实际应用。
问题设计：已知太阳光与水平地面的夹角、小明身高和参考正切值，求影长。
考查目标：考查模型观念和运算能力，以及从实际问题中抽象直角三角形模型的能力。
答案与解析
．
解得
，
代入得
，将
根据正切的定义得
，邻边为影长，
，该角的对边为小明身高
夹角为
【分析】本题将实际问题转化为直角三角形问题，利用锐角正切的定义求解，小明身高垂直地面，影长为
水平直角边，结合太阳光与地面的给定夹角，代入参考正切值即可计算出影长．
【详解】解：设此时小明的影长为，
由题意可得，小明身高垂直于水平地面，身高、影长与太阳光构成直角三角形，其中太阳光与水平地面的
【答案】
知识总结
① 核心概念：正切tanA=对边/邻边；在直角三角形中，已知一个锐角和一条直角边，可求另一条直角边。② 解题要点：将实际问题转化为直角三角形模型，确定已知角的对边和邻边，代入正切定义列方程求解。③ 拓展关联：解直角三角形的实际应用是中考常见题型，常见于测量高度、距离、坡度等问题。
如图，在平面直角坐标系中，点 ， 均在反比例函数 的图象上，且 , 则的值为．
命题透视
核心考点：反比例函数图象上点的坐标特征与勾股定理
命题分析：
情境创设：以反比例函数图象为背景，考查反比例函数性质与勾股定理的综合。
问题设计：已知两点在反比例函数图象上，且满足某距离关系，求反比例函数解析式中的参数值。
考查目标：考查运算能力和推理能力，以及对反比例函数性质和勾股定理的综合运用。
答案与解析
【答案】
【分析】根据点 ， 在反比例函数图象上，用含 的代数式表示 ， ，再根据
结合勾股定理列
出关于 的方程，求解即可．
【详解】解： 点
，
在反比例函数
的图象上，
,
,
,
,
∴
解得
，
反比例函数图象在第一象限，
,
.
知识总结
① 核心概念：反比例函数 y=k/x（k≠0）图象上任意一点（x,y）满足 xy=k；勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。② 解题要点：将两点坐标代入反比例函数解析式，用含参数的代数式表示坐标，再根据距离关系列方程求解。③ 拓展关联：反比例函数与一次函数、二次函数的交点问题、面积问题是中考常见综合题型。
如图，在菱形中，点为边的中点，连接， ．若 ，且，则菱形的边长为．
命题透视
核心考点：菱形性质、相似三角形与勾股定理
命题分析：
情境创设：以菱形为背景，考查菱形性质、相似三角形和勾股定理的综合。
问题设计：已知菱形中某点为边中点，连接线段后满足某角度关系，求菱形的边长。
考查目标：考查推理能力、运算能力和几何直观，是填空题的压轴题。
答案与解析
是菱形，
四边形
的边长为 ，
【详解】解：设菱形
，建立关于 和 的方程组，求解即可．
和
示出
，利用勾股定理分别表
线于点 ，过点 作
交的延长
；过点 作
和
, 设
【分析】设菱形的边长为 ，根据中点定义和已知条件表示出
于点 ，证明
【答案】
, ,
点为边的中点，
,
,
,
过点作交的延长线于点 ，过点作于点，如图，
,
,
,
在和中，
,
,
,,
设，
在中，，
在中，∵,
,
,
,
在中，∵ ,
,
,
∴,
∴
,
将代入①得
，
即
，
解得
（负值舍去）．
知识总结
① 核心概念：菱形四边相等，对角线互相垂直平分；相似三角形对应边成比例；勾股定理适用于直角三角形。② 解题要点：设边长为参数，利用菱形性质和中点条件表示线段，通过构造相似三角形和直角三角形，建立方程求解。③ 拓展关联：菱形与正方形、平行四边形的性质联系紧密，相似三角形和勾股定理
是几何计算的核心工具。
三、解答题
计算： ．
命题透视
核心考点：实数的混合运算
命题分析：
情境创设：直接考查实数混合运算，属于常规计算题。
问题设计：给出一个实数混合运算算式，要求学生按步骤规范计算。
考查目标：考查运算能力，以及对实数运算法则的掌握。
答案与解析
知识总结
【答案】
【详解】解：
.
① 核心概念：实数混合运算遵循先乘方、再乘除、后加减，有括号先算括号内的顺序；零指数幂、负整数指数幂、绝对值、二次根式等需分别按法则计算。② 解题要点：注意运算顺序和符号；零指数幂结果为 1，负整数指数幂等于倒数的正整数指数幂。③ 拓展关联：实数运算是代数学习的基本技能，广泛应用于方程、函数和实际问题的求解。
解二元一次方程组： ．
命题透视
核心考点：二元一次方程组的解法
命题分析：
情境创设：直接考查二元一次方程组求解，属于常规计算题。
问题设计：给出一个二元一次方程组，要求学生用加减消元法求解。
考查目标：考查运算能力，以及对二元一次方程组解法的掌握。
答案与解析
【答案】
【分析】利用加减消元法解二元一次方程组即可．
【详解】解：
，
将
代入①得
，
解得
，
∴ 方程组的解为
．
由得，
知识总结
① 核心概念：加减消元法是通过将方程两边同乘适当系数，使某一未知数的系数相等或相反，再将两方程相加或相减消去该未知数。② 解题要点：观察系数特征，选择消去系数较简单的未知数；消元后解一元一次方程，再回代求另一未知数。③ 拓展关联：二元一次方程组是多元方程组的基础，与一次函数、线性规划等知识相关。
深圳市实施“每周半天计划”，某校组织学生利用半天时间开展校外研学实践，可供选择的五个场馆分别
为：美术馆、音乐厅、植物园、博物馆、科技馆．参与本次研学活动的某班学生共有 50 人，各场馆参与人数如下的条形统计图所示（图 1）．
请根据图中信息，补全条形统计图；
现从参与人数最多的两个场馆（博物馆和科技馆）的学生中，开展满意度打分调查，满分为 10 分．打分数据如下列折线图所示（图2），图中横坐标表示学生编号，纵坐标表示对应打分．
对以上打分数据进行整理，得到如下统计表：
求表中的数据，；
结合表格中的统计数据，综合分析你认为哪个场馆的体验更好？并说明理由．
命题透视
核心考点：条形统计图、折线统计图与数据分析
命题分析：
情境创设：以深圳每周半天计划校外研学为情境，考查统计图表与数据分析。
问题设计：第(1)问要求根据总人数和已知场馆人数补全条形统计图；第(2)问根据折线图数据求频率和中位数；第(3)问结合统计量综合分析哪个场馆体验更好并说明理由。
考查目标：考查数据观念、运算能力和应用意识，以及从统计图表中提取信息、做出决策的能力。
答案与解析
场馆
平均数
众数
中位数
频率（满意度分
博物馆
科技馆
（3）略
；
中位数
， ， ， ， ， ， ，， ，
从小到大排列为：
科技馆的打分为： ，， ， ， ， ，， ， ，
，
分的频率
（2）解：博物馆的满意度
；
【详解】（1）解：植物园的人数为：
；
博物馆体验更好，理由：
博物馆打 分的人最多，体验感会更好一些
【分析】（1）根据总人数减去其他场馆的人数求得植物园的人数，进而补全统计图，即可；
根据频率以及中位数的定义，结合折线统计图，即可求得的值；
根据博物馆打 分的人最多，则体验感会更好一些．
【答案】(1)
知识总结
① 核心概念：条形统计图直观展示各类别的数量；折线统计图展示数据的变化趋势；频率=某类别频 数÷总频数；中位数是将数据排序后位于中间位置的数。② 解题要点：补全条形图需先计算未知类别数量；求频率需确定满意打分的频数；比较场馆体验可从平均数、众数、中位数、方差等多角度分析。③ 拓展关联：统计图表与数据分析是统计学习的核心，广泛应用于质量评估、民意调查、教育评价等领域。
为激发学生对科技的兴趣，某校计划购买甲、乙两种型号的机器人用于科技节展示．已知用 200 万元
购买甲型机器人的数量，是用 120 万元购买乙型机器人数量的 2 倍，且每台乙型机器人比每台甲型机器人
贵 5 万元．小丽和小亮分别提出了不同的解题思路：
学生
设未知量
所列方程
请写出小亮所列的方程；
若购买甲、乙两种型号的机器人共 16 台，且总费用不超过 420 万元，则最多可购买乙型机器人多少台？
命题透视
核心考点：分式方程与一元一次不等式的应用
命题分析：
情境创设：以学校科技节购买甲、乙两种型号机器人为情境，考查分式方程与不等式的综合应用。
问题设计：第(1)问要求根据数量关系和单价关系列出分式方程；第(2)问在总数量和总费用约束下，列一元一次不等式求最多可购买乙型机器人的数量。
考查目标：考查模型观念和运算能力，以及从实际问题中抽象数学模型、列方程和不等式求解的能力。
答案与解析
【答案】(1)
；
(2)最多可购买乙型机器人 4 台
【分析】（1）根据“总价单价数量”，结合题干中甲型数量和乙型数量的倍数关系，即可列出小亮的方程；
（2）先求解第一问的方程得到甲乙两种机器人的单价，再设购买乙型机器人的数量，根据总费用不超过 420
万元列出一元一次不等式，求解后取最大正整数即可得到结果．
【详解】（1）解：∵ 设每台甲型机器人的价格为 万元，且每台乙型机器人比每台甲型机器人贵 万元，
每台乙型机器人的价格为
万元，
用 200 万元购买甲型机器人的数量，是用 120 万元购买乙型机器人数量的 倍，
甲型数量为，乙型数量为，
∴可得方程：
，即
；
小丽
设甲型机器人的数量为台
小亮
设每台甲型机器人的价格为万元
（请补充）
（2）解：
解得
，
经检验
是原方程的解，符合题意，
每台甲型机器人 25 万元，每台乙型机器人
万元，
设购买乙型机器人 台，则购买甲型机器人
台，
根据题意得
解得，
是非负整数，的最大值为 ，
最多可购买乙型机器人 台．
知识总结
① 核心概念：总价=单价×数量；分式方程是分母中含有未知数的方程，解后必须验根；一元一次不等式的解集需结合实际意义取整数解。② 解题要点：设未知数，根据数量倍数关系和单价差列分式方程；解方程后验根，确保分母不为零；第(2)问根据总费用约束列不等式，取最大正整数解。③ 拓展关联：方程与不等式的应用是中考解答题的重要类型，常见于采购、行程、工程等问题。
如图，是的直径，点是圆上一点，连接并延长至点 ，使得．
求证 是的切线；
若 ， ，求的长；
利用圆规和无刻度直尺在图中作出点关于直线的对称点（保留作图痕迹，不要求写出作法）．
命题透视
核心考点：圆的切线证明、勾股定理与尺规作图
命题分析：
情境创设：以圆为背景，考查圆的切线证明、勾股定理和尺规作图。
问题设计：第(1)问要求证明某直线是圆的切线；第(2)问已知线段长度和角度，求某线段的长；第(3)问要求利用圆规和无刻度直尺作出点关于直线的对称点。
考查目标：考查推理能力、几何直观和运算能力，是几何综合题。
答案与解析
【答案】(1)
证明：∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
是
的直径，
,
∵
∴
为半径，
是的切线；
(2)
(3)如图，点 即为所求
【分析】（1）由
结合已知条件得到
，然后根据圆周角定理得到
，
再由直角三角形锐角互余以及等量代换证明即可；
（2）设, 则，先对运用勾股定理求解半径 ，然后利用
, 以及对运用勾股定理求解即可．
（3）以点 为圆心，为半径画弧与交点即为点 ．
【详解】（1）略
（2）解：过点 作于点 ，则
设
，则
∵
∴
,
∴
解得
，
∵
,
∴
∴
∴
∴
,
∴
∴
.
（3）解：连接
即可得到点
关于
，由作图可得
对称．
，则，再由垂径定理的推论可得垂直平分，
知识总结
① 核心概念：切线判定定理：经过半径外端且垂直于该半径的直线是圆的切线；勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；尺规作图需保留作图痕迹。② 解题要点：证明切线需证垂直关系，利用等腰三角形性质和角度推导；求线段长常设未知数，在直角三角形中应用勾股定理列方程；作对称点可利用垂径定理的推论。③ 拓展关联：圆的综合题常与三角形、四边形、相似三角形、三角函数结合，是中考几何压轴的主流形式。
综合与实践
【问题背景】
随着国家大力支持新能源汽车发展，国产电动汽车保有量持续增长，充电站作为配套基础设施，其运营效益成为关注重点．某充电站对其收入与充电汽车数量之间的关系进行了统计分析，并进一步研究成本与收支平衡问题．
【研究条件】
条件 1 ：该充电站收入（单位：元）与当日充电汽车数量（单位：辆）之间的对应关系如下表：
条件 2 ：该充电站的运营成本（单位：元）与充电汽车数量之间满足：
【模型构建】根据上述条件，请完成下列问题：
根据上表数据，求与的函数关系式，并计算当 时，该充电站的收入为多少元？
当收入等于成本时，充电站达到收支平衡．求此时的值，并写出该充电站收入与的新关系式；
【模型应用】
由于电池技术迭代，单车充电费用提升，该充电站收入与汽车数量的关系调整为，成本关系保持不变．已知当汽车数量为 80 辆时，净收益（净收益 收入 成本）取得最大值，请写出符合条件的值，并说明理由．
1
2
3
4
5
50
100
150
200
250
【总结反思】
函数模型可以帮助分析充电站的经营状况，但实际中还需考虑充电桩利用率、电价波动、用户排队等因素，后续可进一步优化模型，以更准确地指导运营决策．
命题透视
核心考点：函数建模、收支平衡与二次函数最值
命题分析：
情境创设：以国产电动汽车充电站运营为综合与实践情境，考查一次函数建模、收支平衡分析和二次函数最值。
问题设计：第(1)问根据表格数据用待定系数法求收入与汽车数量的一次函数关系；第(2)问根据收支平衡定义列方程求解；第(3)问在收入关系调整后，建立净收益的二次函数模型，利用顶点坐标求最值。
考查目标：考查模型观念、创新意识和运算能力，以及建立函数模型、分析数据、做出决策的综合能力。
答案与解析
∴
，
（2）解：收支平衡满足
（元）；
时，
，
与 的函数关系式为
∴
当
，
代入得
，
将
，
【详解】（1）解：由表格数据可知 与 成正比例关系，设
【答案】(1) 与 的函数关系式为
，当
时，该充电站的收入为
元；
(2) 的值为或
，收入 与 的关系式为
；
(3)
【分析】（1）观察表格数据可判断 是 的正比例函数，用待定系数法求出解析式，再代入
计算即可；
根据收支平衡的定义列等式，整理为一元二次方程求解，再根据收入等于成本写出新关系式；
设净收益为 W，再写出净收益的二次函数表达式，根据开口向下的二次函数在顶点处取得最大值，结合顶点横坐标为 80 即可求出 的值．
知识总结
① 核心概念：待定系数法求一次函数解析式；收支平衡即收入等于成本；二次函数 y=ax²+bx+c（a≠0）当 a