2027届高三数学一轮复习练习课件：第3章　高考热点2　导数中的构造问题(含解析)

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高考热点2　导数中的构造问题
目 录 CONTENTS
类型1 导数中原函数与导函数的混合构造类型2 导数中的指对同构问题
类型1　导数中原函数与导函数的混合构造
1.★★★(2026届河南部分学校第三次质量检测,8)已知定义域为R的偶函数f(x)的导函数为f '(x),且当x∈ 时, f '(x)cs x+f(x)sin x>0,若a= f ,b=2f ,c= f ,则a,b,c的大小关系为 ( )A.c1, f(1)=3,则不等式exf(x)>ex+2e的解集为 ( )A.(2,+∞)　　    B.(1,+∞)　　    C.(-∞,2)　　     D.(-∞,1)
解析　设g(x)=exf(x)-ex(x∈R),则g'(x)=exf(x)+exf '(x)-ex=ex[f(x)+f '(x)-1],因为f(x)+f '(x)>1,所以f(x)+f '(x)-1>0,又ex>0,所以g'(x)>0恒成立,所以g(x)在定义域R上单调递增.故原不等式可转化为exf(x)-ex>2e,又f(1)=3,所以g(1)=ef(1)-e=2e,所以g(x)>g(1),所以x>1,故不等式exf(x)>ex+2e的解集为(1,+∞).故选B.
4.★★★★(2025届浙江杭州学军中学模拟,8)定义在(0,+∞)上的可导函数f(x),满足f '(x)+ = ,且f(e)= ,若a=f(3),b=f(2),c=f(e),则a,b,c的大小关系是 ( )A.a>b>c　　    B.a>c>b　　    C.b>c>a　　    D.c>b>a
解析　由已知可得:x2f '(x)+2xf(x)=ln x,令g(x)=x2f(x),则f(x)= ,g'(x)=x2f '(x)+2xf(x)=ln x,f '(x)= = ,令h(x)=xln x-2g(x),则h'(x)=1+ln x-2g'(x)=1-ln x,∴当x∈(0,e)时,h'(x)>0,即函数h(x)在(0,e)上单调递增,当x∈(e,+∞)时,h'(x)0,故存在x0∈ ,使得h(x0)=2x0+ln x0+1=0,则ln x0=-2x0-1.当00,故函数g(x)在(x0,+∞)上单调递增.
故g(x)≥g(x0)= +x0ln x0=- -x0=- + ,令m(x0)=- + ,因为x0∈ ,所以m