2026-2027学年北师大版九年级上册数学测试卷 第3章《图形的相似》达标测试卷

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一、选择题：本大题共8小题，共24分。
1.线段a，b，c，d是成比例线段，a=4，b=2，c=2，则d的长为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
2.如图，直线l1//l2//l3，直线a，b与l1，l2，l3分别交于点A，B，C和点D，E，F，若AB:BC=1:2，DE=2，则EF的长为( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
3.如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是( )
A. ∠ABD=∠ACBB. ∠ADB=∠ABC
C. AB2=AD⋅ACD. ADAB=ABBC
4.如图，一同学在湖边看到一棵树，他测出自己与树的距离为20m，树的顶端在水中的倒影距自己5m远，该同学的身高为1.7m，则树高为( )
A. 3.4mB. 5.1mC. 6.8mD. 8.5m
5.若两个相似三角形的相似比为1:4，则这两个三角形面积的比是( )
A. 1:2B. 1:4C. 1:8D. 1:16
6.已知a3=b4=c5≠0，则3a−2bc的值为( )
A. 15B. 1C. 175D. 517
7.如图，在平面直角坐标系中，已知点A，B的坐标分别为(−3,1)，(−1,4).以点O为位似中心，在原点的另一侧按2:1的相似比将△OAB缩小，则点A的对应点A′的坐标是( )
A. (−3,1)B. (−32,12)C. (3,−1)D. (32,−12)
8.如图，菱形ABCD的边长为3，∠ADC=60∘，过点D作DE⊥AB，交BA的延长线于点E，连接CE分别交BD，AD于点G，F，则FG的长为( )
A. 75B. 2 75C. 3 75D. 4 75
二、填空题：本大题共5小题，共15分。
9.已知△ABC∽△DEF，∠A=30∘，∠B=50∘，则∠F= ∘.
10.若xy=52，则x−yx+y= .
11.如图，BC//DE，AD=3，AE=4，AB=9，则CE= .
12.二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一.音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时，奏出来的音调最和谐、最悦耳.如图，一把二胡的琴弦AC长为80cm，千斤线绑在点B处，则B点下方的琴弦BC长为 cm.
13.如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，点P是AC的中点，过P点的直线交AB于点Q，若以A，P，Q为顶点的三角形和以A，B，C为顶点的三角形相似，则AQ的长为 .
三、解答题：本大题共12小题，共61分。
14.如图，点D，E，F分别在△ABC的三条边上，且DE//BC，EF//AB.
求证：△ADE∽△EFC.
15.如图，已知△ABC，请用尺规作图法在BC上找一点P，使得△PAC∽△ABC(保留作图痕迹，不写作法).
16.小聪和他的同学利用影长测量旗杆高度(如图)，当1m长的直立竹竿的影长为1.5m时，测量旗杆落在地上的影长为21m，落在墙上的影长为2m，求旗杆的高度.
17.如图，在矩形ABCD中，M为BC上一点，EM⊥AM交AD的延长线于点E.
(1)求证：△ABM∽△EMA;
(2)若AB=4，BM=3，求ME的长.
18.如图，已知O是坐标原点，M，N的坐标分别为(4,2)，(6,−2).
(1)在y轴的左侧以O为位似中心作△OMN的位似△OPQ，所作新图形与原图形的相似比为1:2;
(2)分别写出M，N的对应点P，Q的坐标;
(3)求△OPQ的面积.
19.某校社会实践小组为了测量古塔的高度，在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2m的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，古塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得EC=1.2m，将标杆向后平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，古塔的塔尖点B正好在同一直线上(点F，点G，点E，点C与古塔底处的点A在同一直线上)，这时测得FG=1.8m，CG=20m.请你根据以上数据，估算古塔的高度AB.(结果保留一位小数)
20.如图，在正方形ABCD中，AB，BC的中点分别为点E，F，连接DE，AF交于点G，连接CG，CH平分∠DCG交DE于点H.
(1)探索AF与DE的关系;
(2)求证：点H为DG的中点;
(3)求GFCF的值.
答案和解析
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】A
7.【答案】D
8.【答案】B
【解析】∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=CD=AD=3，∠ABC=ADC=60∘，AB//CD，
∴∠EAD=∠ADC=60∘，∠ABD=12∠ABC=30∘.
∵DE⊥AB，∴∠DEB=∠EDC=90∘，∴∠ADE=30∘.
在Rt△ADE中，∵AE=12AD=32，∴DE= 3AE=3 32.
在Rt△CDE中，CE= DE2+CD2= (3 32)2+32=3 72
∵BE//CD，∴△BEG∽△DCG，
∴EGCG=BEDC=923=32，∴EGEC=35，
∴EG=35×3 72=9 710.
∵AE//CD，∴△AEF∽△DCF，∴EFCF=AEDC=323=12，
∴EFCE=13，∴EF=13×3 72= 72，
∴FG=EG−EF=9 710− 72=2 75.故选B.
9.【答案】100
10.【答案】37
11.【答案】8
12.【答案】40( 5−1)
13.【答案】4或94
【解析】∵点P是AC的中点，∴AP=12AC=3.
当△AQP∽△ABC时，AQAB=APAC，即AQ8=36，解得AQ=4;
当△AQP∽△ACB时，AQAC=APAB，即AQ6=38，解得AQ=94.
14.【答案】证明：∵DE//BC，EF//AB，
∴∠AED=∠C，∠A=∠FEC，
∴△ADE∽△EFC.

15.【答案】解：如图，点P即为所求.

16.【答案】解：如图，CD=2m，BD=21m.
∵CDDE=11.5，∴DE=1.5CD=3m.
∵ABBE=11.5，∴AB=21+31.5=16(m).
答：旗杆的高度为16m.

17.【答案】【小题1】
证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B=90∘，AD//BC，
∴∠EAM=∠AMB.
∵EM⊥AM，∴∠AME=90∘.
∴∠B=∠AME，∴△ABM∽△EMA.
【小题2】
解：∵AB=4，BM=3，
∴AM= AB2+BM2= 42+32=5.
∵△ABM∽△EMA，
∴ABME=BMAM，即4ME=35，
∴ME=203.

18.【答案】【小题1】
解：如图，延长MO，NO至P，Q，使OP:OM=1:2，OQ:ON=1:2，连接PQ得到△OPQ，则△OPQ即为所求.
【小题2】
∵位似中心在原点，△OPQ与△OMN的相似比为1:2，且△OPQ在y轴左侧，
∴将M，N的坐标分别乘−12得到P，Q的坐标，
∴P(−2,−1)，Q(−3,1).
【小题3】
S△OPQ=3×2−12×2×1−12×2×1−12×3×1=6−1−1−32=52.

19.【答案】解：根据题意得AB⊥AF，CD⊥AF，HG⊥AF，GH=CD，
∴HG//AB，CD//AB，
∴△CDE∽△ABE，△FGH∽△FAB，
∴CDAB=CEAE，HGAB=FGFA，
∴CEAE=FGFA.
∵EC=1.2m，FG=1.8m，CG=20m，
∴1.21.2+AC=1.81.8+20+AC，解得AC=40m，
∴2AB=1.21.2+40，解得AB≈68.7m.
答：古塔的高度AB约为68.7米.

20.【答案】【小题1】
解：在正方形ABCD中，
∵AD=AB=BC，∠DAE=∠ABF=90∘，点E，F分别为边AB，BC的中点，
∴AE=12AB，BF=12BC，∴AE=BF，
∴△DAE≌△ABF(SAS)，∴AF=DE，∠ADE=∠BAF.
∵∠DAG+∠BAF=90∘，∴∠DAG+∠ADE=90∘，
∴∠AGD=90∘，∴AF⊥DE，
∴AF=DE且AF⊥DE.
【小题2】
证明：方法一：如图1，延长AF交DC延长线于点M.
∵点F为BC的中点，∴CF=FB.
又∵四边形ABCD是正方形，∴DM//AB，AB=CD，
∴∠M=∠FAB.
在△ABF与△MCF中，∠FAB=∠M,∠BFA=∠CFM,FB=FC,
∴△ABF≌△MCF(AAS)，∴AB=CM，∴CD=CM.
又∵∠DGM=90∘，∴CG=12DM，∴CG=CD.
∵CH平分∠DCG，∴点H为DG的中点.
方法二：如图2，连接DF.
∵四边形ABCD是正方形，
∴DC=AB，∠DCF=∠ABF=90∘，DC//AB.
∵点F为CB的中点，∴CF=FB，∴△DCF≌△ABF(SAS)，
∴∠DFC=∠AFB.
由(1)已证△DAE≌△ABF，∴∠AFB=∠DEA.
又∵DC//AB，∴∠CDE=∠DEA，∴∠CDE=∠CFD.
又∵由(1)已证AF⊥DE，∴∠DGF=90∘，
∴∠DGF+∠DCF=90∘+90∘=180∘，∴D，G，F，C四点共圆，
∴∠DGC=∠CFD，∴∠DGC=∠CDE，∴DC=CG.
∵CH平分∠DCG，∴点H为DG的中点.
【小题3】
解：设正方形ABCD的边长为2a，
则由(1)和(2)可得：AD=AB=2a，AE=BF=CF=a.
∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=90∘，
∴AF= AB2+BF2= 5a.
在△DGA与△DAE中，∵∠DGA=∠DAE=90∘，∠ADG=∠EDA，
∴△DGA∽△DAE，∴DGDA=AGAE=ADDE，即DG2a=AGa=2a 5a，
∴DG=4 55a，AG=2 55a，
∴GF=AF−AG= 5a−2 55a=3 55a，
∴GFCF=3 55.