数学九年级上册（2024）第2章 一元二次方程2.2 一元二次方程的解法教学课件ppt

这是一份数学九年级上册（2024）第2章 一元二次方程2.2 一元二次方程的解法教学课件ppt，共19页。PPT课件主要包含了学习目标，知识回顾，问题引入，获取新知，讨论交流，新知归纳，有实数根，例题讲解，新知巩固，探究交流等内容，欢迎下载使用。
理解一元二次方程根的判别式的定义和意义．
掌握利用Δ的值判断一元二次方程实数根的三种情况．
能不解方程，直接判别方程根的情况；能根据根的情况反求参数取值．
1．一元二次方程求根公式是什么？使用公式的前提条件是什么？
2．为什么必须满足 b2－4ac≥0 才能开平方？
负数没有平方根，根号内必须非负．
判断下列方程是否有实数根：(1) x2－2x＋1＝0； (2) x2＋x＋1＝0； (3) 2x2－3x－2＝0．
思考：是否存在一种更快捷的方法，无需解方程就能直接判断一元二次方程是否有实数根？
一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)通过配方，可以变形为
因为 4a2＞ 0，所以这个方程是否有实数根以及实数根的个数取决于 b2－4ac ．
我们把式子 b2－4ac 叫作一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a≠0) 的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示，即 Δ＝b2－4ac．
Δ（b2－4ac）与一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a≠0) 的实数根之间有什么关系？
利用Δ的符号可以判别一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)的根的情况．
一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a≠0) 的根的情况： 当 Δ＞0时，有两个不相等的实数根； 当 Δ＝0时，有两个相等的实数根； 当 Δ＜0时，没有实数根．
例7 不解方程，判别下列方程根的情况．
解：(1) 由 a＝2，b＝3，c＝－4， Δ＝32－4×2×(－4)＝41＞0， 可得原方程有两个不相等的实数根．
(1) 2x2＋3x－4＝0；　 (2) 16y2＋9＝24y；　
(2) 原方程可变形为 16y2－24y＋9＝0．由 a＝16，b＝－24，c＝9， Δ＝(－24)2－4×16×9＝0，可得原方程有两个相等的实数根．
解：(3) 原方程可变形为 5x²－7x＋5＝0．由 a＝5，b＝－7，c＝5， Δ＝(－7)2－4×5×5＝－51＜0，可得原方程没有实数根．
(3) 5(x²＋1)－7x＝0．　
利用根的判别式判断一元二次方程的根的情况的基本步骤是什么？
一化：化成一般形式 ax2＋bx＋c＝0 (a≠0) ；二定：确定 a、b、c 的值(带自身正负号)三算：代入计算 Δ＝b2－4ac；四判：根据 Δ 正负判断根的三种情况．
不解方程，判别下列方程根的情况：
(1) x2＋3x－1＝0； (2) x2－6x＋5＝0；
解：(1) 由 a＝1，b＝3，c＝－1，
Δ＝32－4×1×(－1)＝13＞0，
可得原方程有两个不相等的实数根 .
(2) 由 a＝1，b＝－6，c＝5，
Δ＝(－6)2－4×1×5＝16＞0，
解：(3) 由 a＝2，b＝－3，c＝4，
可得原方程没有实数根.
① 只有一元二次方程（a≠0）才能用判别式；② 判断前必须把方程整理成标准一般式 ax2＋bx＋c＝0 ；③ a、b、c全部包含自身正负符号，代入计算不能丢负号．
利用根的判别式判断一元二次方程的根的情况时需要注意哪些问题？
判别关于 x 的一元二次方程 x²＋kx＋k－1＝0的实数根的情况．
解：由a＝1，b＝k，c＝k－1，Δ＝k2－4×1×(k－1)＝k2－4k＋4＝(k－2)2因为(k－2)2≥0对任意实数k恒成立．所以，当k≠2时，Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当k＝2时，Δ＝0，方程有两个相等的实数根．
这个方程会不会出现无实数根的情况？
不会，因为Δ始终不小于0．
例8 已知关于x的一元二次方程 mx2－(2m＋1)＋m＝0 (m≠0)有两个不相等的实数根，求m的取值范围．
解：∵ 方程有两个不相等的实数根，∴ Δ＞0，
1．当k取何值时，关于x的一元二次方程 x2－kx＋4＝0有两个相等的实数根？求此时方程的根．
∴ (－k)2－4×1×4＝0，解得k＝±4．
解：∵ 关于x的一元二次方程x2－kx＋4＝0有两个相等的实数根，
∴当k＝±4时，方程有两个相等的实数根．
当k＝4时，x2－4x＋4＝0，解这个方程得 x1＝x2＝2；
当k＝－4时，x2＋4x＋4＝0，解这个方程得 x1＝x2 ＝－2．
2．已知关于x的一元二次方程(a－1)x2＋(2a＋1)x＋2＝0．(1) 求证：此方程一定有两个不相等的实数根；
证明：(1) Δ＝(2a＋1)2－8(a－1) ＝4a2＋4a＋1－8a＋8 ＝4a2－4a＋1＋8 ＝(2a－1)2＋8，∵ (2a－1)2≥0，∴ (2a－1)2＋8＞0，∴ 此方程一定有两个不相等的实数根．
2．已知关于x的一元二次方程(a－1)x2＋(2a＋1)x＋2＝0．(2) 如果这个方程根的判别式的值等于9，求a的值．
(2) 解：∵ Δ＝(2a－1)2＋8＝9， ∴ (2a－1)2＝1， ∴ 2a－1＝±1 解得 a1＝1，a2＝0． ∵ a－1≠0，∴ a＝0．
2.2 一元二次方程的解法（6）
根的判别式的定义： Δ＝b2－4ac
三条核心结论：Δ＞0，两不等实根；Δ＝0，两相等实根；Δ＜0，无实根
一般步骤： 化一般式→定a，b，c→算Δ→判根
两类题型：①不解方程判根：②已知根的情况求参数