上海市普陀区同济大学二附中2024-2025学年高一（上）段考数学试卷（解析版）

这是一份上海市普陀区同济大学二附中2024-2025学年高一（上）段考数学试卷（解析版），共9页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）若集合，，中的元素是△的三边长，则△一定不是
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形
2．（3分）“关于的方程有实数根”是“”的
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．非充分非必要条件
3．（3分）关于的不等式组的解集不是空集，则实数的取值范围为
A．B．C．D．
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分．
4．（3分）已知集合，，，，且，则的值为 ．
5．（3分）满足，，的集合共有 个．
6．（3分）已知，，若是的充分不必要条件，则的取值范围是 ．
7．（3分）命题“存在，使得”的否定是 ．
8．（3分）已知关于的不等式的解集为，则 ．
9．（3分）集合，有且仅有两个子集，则 ．
10．（3分）已知全集，，，，，，，，，，若，则 ．
11．（3分）若关于的不等式的解集是，则的值为 ．
12．（3分）设，，则中等号成立的充要条件是 ．
13．（3分）设全集，2，3，4，5，6，7，8，9，，给出条件：①；②若，则；③若，则．那么同时满足三个条件的集合的个数为 ．
三、解答题：本题共4小题，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
14．设为实数，求关于的方程的解集．
15．已知关于的不等式：．
（1）若不等式的解集为，，求的值；
（2）若不等式的解集为，求的取值范围．
16．设集合，．
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的取值范围．
17．若集合具有以下性质：①，；②若、，则，且时，．则称集合是“好集”．
（1）分别判断集合，0，是否是“好集”，并说明理由；
（2）设集合是“好集”，求证：若、，则；
（3）对任意的一个“好集” ，证明：若、，则必有．
参考答案
一．选择题（共3小题）
一、单选题：本题共3小题，每小题3分，共9分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（3分）若集合，，中的元素是△的三边长，则△一定不是
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形
解：根据集合元素的互异性，
在集合，，中，必有、、互不相等，
故△一定不是等腰三角形；
故选：．
2．（3分）“关于的方程有实数根”是“”的
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．非充分非必要条件
解：若方程有实数根，则△，
即，但不一定有，充分性不成立；
若，则△，即方程有实数根，必要性成立；
所以“关于的方程有实数根”是“”的必要非充分条件．
故选：．
3．（3分）关于的不等式组的解集不是空集，则实数的取值范围为
A．B．C．D．
解：根据题意，对于不等式组，
分3种情况讨论：
当时，①的解集为，②的解集为，
此时不等式组的解集为，符合题意，
当时，①的解集为，②的解集为，
此时不等式组的解集一定不是，符合题意，
当时，①的解集为，，②的解集为，
若不等式的解集不是，必有且，解可得，
综合可得：，即的取值范围为．
故选：．
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分．
4．（3分）已知集合，，，，且，则的值为 0 ．
解：，，，，且，
，
解得，或．
不满足集合中元素的互异性，舍去．
符合题意．
故答案是：0．
5．（3分）满足，，的集合共有 4 个．
解：根据，，可得可以为，，，，，，，，故共有4个符合条件的集合．
故答案为：4．
6．（3分）已知，，若是的充分不必要条件，则的取值范围是 ．
解：已知，，若是的充分不必要条件，
故，，，
所以，
故实数的取值范围为．
故答案为：．
7．（3分）命题“存在，使得”的否定是 对任何，都有 ．
解：因为命题“存在，使得”是特称命题，根据特称命题的否定是全称命题，
可得命题的否定为：对任何，都有．
故答案为：对任何，都有．
8．（3分）已知关于的不等式的解集为，则 ．
解：关于的不等式的解集是，
所以方程的解为：和3，
由根与系数的关系知，，，
解得，
所以．
故答案为：．
9．（3分）集合，有且仅有两个子集，则 2或 ．
解：集合，有且仅有两个子集，
只有一个解，
或△，
解得或．
故答案为：2或．
10．（3分）已知全集，，，，，，，，，，若，则 ，，0， ．
解：，，，，，，，
当时，解得，集合，1，，，，，不满足，
当时，解得，集合，0，，，，，满足，
显然，
综上所述，
，
，，0，，
故答案为：，，0，．
11．（3分）若关于的不等式的解集是，则的值为 5 ．
解：关于的不等式的，即，它解集是，
故，，求得，
故答案为：5．
12．（3分）设，，则中等号成立的充要条件是 且 ．
解：因为，
当，时取等号．
故答案为：且．
13．（3分）设全集，2，3，4，5，6，7，8，9，，给出条件：①；②若，则；③若，则．那么同时满足三个条件的集合的个数为 32 ．
解：若，则，，；
若，则，，，此时1，2，4，8的放置有2种；
若，则；
若，则，此时3，6的放置有2种；
若，则；
若，则，此时5，10的放置有2种；
7，9的放置各2种，
综上所述：同时满足三个条件的集合的个数为．
故答案为：32．
三、解答题：本题共4小题，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
14．设为实数，求关于的方程的解集．
解：方程可化为，
时，，
若，则方程为，显然不成立，方程无解；
若，则方程为，方程的解为；
若时，解方程得；
综上，时，方程的解集为；
时，方程的解集为；
时，方程的解集为．
15．已知关于的不等式：．
（1）若不等式的解集为，，求的值；
（2）若不等式的解集为，求的取值范围．
解：（1）关于的不等式：的解集为，，
当时，不等式变为，不满足条件，故．
则和1 是 的两个实数根，
，得．
（2）若不等式的解集为，即恒成立．
当时，不等式变为，满足条件．
当时，解得．
综上，即的范围为．
16．设集合，．
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的取值范围．
解：由得或，故集合，
（1），，代入中的方程，
得或；
当时，，，满足条件；
当时，，满足条件；
综上，的值为或；
（2）对于集合，
△．
，，
①当△，即时，满足条件；
②当△，即时，，满足条件；
③当△，即时，，才能满足条件，
则由根与系数的关系得
矛盾；
综上，的取值范围是，．
17．若集合具有以下性质：①，；②若、，则，且时，．则称集合是“好集”．
（1）分别判断集合，0，是否是“好集”，并说明理由；
（2）设集合是“好集”，求证：若、，则；
（3）对任意的一个“好集” ，证明：若、，则必有．
解：（1）集合不是“好集”，理由是，，而，所以不是“好集”；
（2）证明：因为集合是“好集”，所以，
若，，则，即，
所以，即；
（3）证明：对任意一个“好集” ，任取、；
若、中有0和1时，显然；
下设、均不含0，1，由定义得，，，
所以，所以，
由（2）得，同理，
若或，显然；
若，且，则；
所以．
题号
1
2
3
答案
D
B
B