2025-2026学年上海市普陀区同济大学第二附属中学高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2025-2026学年上海市普陀区同济大学第二附属中学高一（下）期末数学试卷（含解析），共5页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．设是虚数单位，，则 ．
2．函数是 函数（填“奇”或“偶” ．
3．函数，其中的导数 ．
4．若向量满足，且与的夹角为，则 ．
5．已知，，则向量在向量方向上的投影向量为 （用坐标表示）．
6．已知平面向量，若与共线，则的值为 ．
7．若，则 ．
8．已知，且，则的值是 ．
9．已知，，若与夹角为钝角，则的取值范围为 ．
10．已知，则 ．
11．若复数满足，则的最小值是 ．
12．如图，矩形中，，，，分别为边，上的动点，且．则的最小值为 ．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题好题5分，每题有且只有一个正确选项）
13．已知，“”是“为实数”的 条件
A．充分非必要B．必要非充分
C．充要D．既非充分也非必要
14．已知向量，，若，则（ ）
A．2B．C．D．5
15．要得到的图象，可由函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
16．在平面直角坐标系中，已知任意角以坐标原点为顶点，轴的非负半轴为始边，若终边经过点，，且，定义，称“正余弦函数”，对于“正余弦函数”，有同学得到以下性质：
①该函数的值域为；②该函数为奇函数；
③该函数在时取到最大或最小值；④该函数为周期函数，且最小正周期为．
其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
三、解答题（本大题共有5题，请分78分）
17．已知是关于的方程的一个根，其中，．
（1）求的值；
（2）设复数满足是纯虚数，求实数的值．
18．已知函数及点．
（1）若点在的图象上，求曲线在点处的切线的方程；
（2）若点在的图象外，过点与的图象相切的直线斜率是1，求的取值．
19．如图所示，公路一侧有一块空地△，其中，，，规划局设计在中间开挖人工湖△，、都在边上，、不与、重合，在、之间），且．
（1）若在距离点处，求的长度；
（2）为节省投入资金，要让人工湖△的面积尽可能小，设，试确定的值，使△的面积最小，并求出最小面积．
20．（18分）已知函数．
（1）将函数化为的形式；
（2）若关于的方程在上有解，求实数的取值范围；
（3）若有且只有一个，使得函数取得最小值，求的取值范围．
21．（18分）定义平面斜坐标系：如图，平面向量是两个单位向量，夹角为锐角，那么构成平面的一个基，若，则称有序数对，为在这个基下的一个斜坐标，表示为；若一个复数在该斜坐标系中对应向量，记对应的斜坐标为，．
（1）若，的斜坐标为2，3，的斜坐标为1，，求的值；
（2）设复数对应斜坐标向量，若，问是否存在锐角，若存在，求出，若不存在，说明理由；
（3）记，在该斜坐标系中，若，求的大小；
参考答案
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）
1．设是虚数单位，，则 13 ．
解：，则．
故答案为：13．
2．函数是 偶 函数（填“奇”或“偶” ．
解：根据题意，设，
则，其定义域是，
有，则为偶函数．
故答案为：偶．
3．函数，其中的导数 ．
解：，
则．
故答案为：．
4．若向量满足，且与的夹角为，则 ．
解：若向量满足，且与的夹角为，
根据平面向量数量积公式可得，
则
．
故答案为：．
5．已知，，则向量在向量方向上的投影向量为 （用坐标表示）．
解：，，
则向量在向量方向上的投影向量为：
．
故答案为：．
6．已知平面向量，若与共线，则的值为 ．
解：由可得，，
由与共线可得，解得．
故答案为：．
7．若，则 1 ．
解：，
故答案为1．
8．已知，且，则的值是 ．
解：，且，
，
，
．
故答案为：．
9．已知，，若与夹角为钝角，则的取值范围为 ．
解：因为，，
所以，由夹角为钝角得，即，得．
若与反向共线，则满足，解得，
此时夹角为，满足，但夹角不是钝角，因此要排除．
的取值范围是．
故答案为：．
10．已知，则 0 ．
解：根据题意，若，
则，
不妨设，，，，，、、、、都是整数），
则．
故答案为：0．
11．若复数满足，则的最小值是 5 ．
解：复数满足，
设，，，
则，，
，，
，，
设复数在复平面上的对应点为，
则点在直线上，
又，
，
等于到点和点的距离和，
，
当且仅当点为线段与直线的交点时等号成立，
由已知线段的方程为，，，
联立，解得，
当的坐标为，，取最小值，最小值为5，
当时，取最小值，最小值为5．
故答案为：5．
12．如图，矩形中，，，，分别为边，上的动点，且．则的最小值为 16 ．
解：因为矩形中，，，，分别为边，上的动点，且，
取线段的中点，连接、、，如下图所示：
则，且，
因为四边形为矩形，则，
因为，
所以，
当且仅当与方向相反时，等号成立，
故的最小值为16．
故答案为：16．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题好题5分，每题有且只有一个正确选项）
13．已知，“”是“为实数”的 条件
A．充分非必要B．必要非充分
C．充要D．既非充分也非必要
解：若为实数，则成立，
设，，，
若，则，
即，得，
即是实数，
即“”是“为实数”的充要条件，
故选：．
14．已知向量，，若，则（ ）
A．2B．C．D．5
解：意因为，，
若，则，解得，
所以，则，
因此，故正确．
故选：．
15．要得到的图象，可由函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
解：由函数的图象向左平移个长度单位，可得函数的图象，
故选：．
16．在平面直角坐标系中，已知任意角以坐标原点为顶点，轴的非负半轴为始边，若终边经过点，，且，定义，称“正余弦函数”，对于“正余弦函数”，有同学得到以下性质：
①该函数的值域为；②该函数为奇函数；
③该函数在时取到最大或最小值；④该函数为周期函数，且最小正周期为．
其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
解：由题意可知点坐标为，
则．
根据正弦函数的性质，可知的值域为，故①正确；
根据，，
可得，不是奇函数，故②错误；
当时，，，非最值，可知③错误；
根据为周期函数，最小正周期为，可知④正确．
综上所述，性质①④正确，正确的命题有2个．
故选：．
三、解答题（本大题共有5题，请分78分）
17．已知是关于的方程的一个根，其中，．
（1）求的值；
（2）设复数满足是纯虚数，求实数的值．
解：（1）是关于的方程的一个根，
是方程的另外一个根，
，解得，
；
（2），，
则，
又是纯虚数，
，解得．
18．已知函数及点．
（1）若点在的图象上，求曲线在点处的切线的方程；
（2）若点在的图象外，过点与的图象相切的直线斜率是1，求的取值．
解：（1）因为，若点在的图象上，
则，所以，又，所以，
所以曲线在点处的切线方程为，即；
（2）由点在的图象外，得，则，
设过点的直线与的图象切于点，
则切线的斜率，
由过点与的图象相切的直线斜率是1，
得，解得，，
所以的值为1．
19．如图所示，公路一侧有一块空地△，其中，，，规划局设计在中间开挖人工湖△，、都在边上，、不与、重合，在、之间），且．
（1）若在距离点处，求的长度；
（2）为节省投入资金，要让人工湖△的面积尽可能小，设，试确定的值，使△的面积最小，并求出最小面积．
解：（1）在△中，，，，
，则，
在△中，已知，，，
由余弦定理：
，故．
（2）设，则，
在△中，，，
由正弦定理得：．
在△中，由正弦定理得：，
△的面积：，
令，则
，
，，
当，即时，取得最大值，
此时取得最小值：，
当时，△的面积最小，最小面积为．
20．（18分）已知函数．
（1）将函数化为的形式；
（2）若关于的方程在上有解，求实数的取值范围；
（3）若有且只有一个，使得函数取得最小值，求的取值范围．
解：（1）
．
（2）由可得，可得，
令，，
由可得，所以，
故，故实数的取值范围是，．
（3），
当时，，且，
因为正弦函数在上从小到大的第一个最小值点为，第二个最小值点为，
因为有且只有一个，使得函数取得最小值，
则，解得，
故实数的取值范围是．
21．（18分）定义平面斜坐标系：如图，平面向量是两个单位向量，夹角为锐角，那么构成平面的一个基，若，则称有序数对，为在这个基下的一个斜坐标，表示为；若一个复数在该斜坐标系中对应向量，记对应的斜坐标为，．
（1）若，的斜坐标为2，3，的斜坐标为1，，求的值；
（2）设复数对应斜坐标向量，若，问是否存在锐角，若存在，求出，若不存在，说明理由；
（3）记，在该斜坐标系中，若，求的大小；
解：（1）根据题意知，，，，
所以，，
所以；
（2）由题意得，，，，因为，
所以
，所以，
又因为为锐角，所以不存在；
（3）因为，，，，
所以，，
则
，
因为，所以，
因为，所以，则，所以．