第二章 有理数及其运算 - 初中数学七年级上册 考点梳理+题型强化练习（北师大版2024）

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第二章 有理数及其运算 【知识点01】正数和负数 正数：大于0的数叫做正数。正数表示具有某种量的增加或上升等意义。 负数：在正数前面加上负号“-”的数叫做负数。负数表示与正数相反意义的量，如减少、下降等。 0：0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界。 【知识点02】有理数的概念 定义：整数和分数统称为有理数。有理数是可以表示为两个整数的比的数，其中分母不为0。 分类： 整数：包括正整数、0和负整数。 分数：包括正分数和负分数。注意，有限小数和无限循环小数也可以看作分数。 【知识点03】数轴、相反数、绝对值 1.数轴 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 点与数的对应关系：数轴上的每一个点都对应一个有理数，反之亦然。正数对应数轴原点右侧的点，负数对应数轴原点左侧的点，0对应原点。 应用：数轴可以用来比较有理数的大小，右边的数总比左边的数大。此外，数轴还可以用来表示有理数的加减运算结果等。 2.相反数 定义：只有符号不同的两个数叫做相反数。例如，5和-5是相反数。 性质：任何一个数都有相反数，而且只有一个。正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。0的相反数是0。 求法：求一个数的相反数，只需改变这个数前面的符号。 3.绝对值 定义：数轴上表示数a的点离开原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。 性质：正数的绝对值是它本身。负数的绝对值是它的相反数。0的绝对值是0。 应用：绝对值在有理数的运算、比较大小等方面有重要应用。 【知识点04】有理数的大小比较 利用数轴：在数轴上表示有理数，右边的数总比左边的数大。 利用法则：同为正数或同为负数时，绝对值大的数大。正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数。 两个负数比较时，绝对值大的反而小。 【知识点05】有理数的运算 1.法则： （1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数． （2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ． （3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0． （4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0) ． （5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0． (6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 2．运算律： （1）交换律: ① 加法交换律:a+b=b+a； ②乘法交换律:ab=ba； （2）结合律: ①加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab）c=a(bc) （3）分配律：a(b+c)=ab+ac 【知识点06】科学记数法 1.科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式（其中，是正整数），此种记法叫做科学记数法． 题型01 正负数的实际应用 【典例1】北宋沈括在《梦溪笔谈》中提到“算法用赤筹、黑筹，以别正、负之数”，古人用红色、黑色算筹分别表示具有相反意义的正数和负数，下列各数中不是负数的是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据负数的定义，判断每个选项是否为负数，负数是小于的数．本题主要考查负数的定义，熟练掌握“小于的数是负数”是解题的关键． 【详解】解：是负数，是负数，不是负数，是负数． 故选： ． 【变式1】《九章算术》中有注：“今两算得失相反，要令正负以名之．”意思是：“今有两数，若其意义相反，则分别叫做正数和负数．”如果收入1000元记作元，那么支出600元应记为（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】A 【分析】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：根据题意，收入1000元记作元， 则支出600元记作元． 故选：A． 【变式2】下列不是相反意义的量的是（    ） A．增长和减少 B．盈利400元和亏损200元 C．上升和下降 D．向上和向右 【答案】D 【分析】本题考查了正数和负数，理解具有相反意义的量的定义是解题的关键． 根据相反意义的量的定义对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A．增长和减少，是相反意义的量，故A选项不符合题意； B．盈利400元和亏损200元，是相反意义的量，故B选项不符合题意； C．上升和下降，是相反意义的量，故C选项不符合题意； D．向上和向右，不是相反意义的量，故D选项符合题意； 故选：D． 【变式3】在下列各对量中，具有相反意义的量是（   ） A．胜两局与负两局 B．气温升高与气温为 C．盈利3万元与支出3万元 D．向东走5米与向北走3米 【答案】A 【分析】本题考查了正数和负数，熟练掌握正数和负数的意义是解题的关键．根据正数和负数的意义，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、胜两局与负两局具有相反意义，故A符合题意； B、气温升高描述的是温度的变化量，气温为描述的是具体的温度，不是具有相反意义的量，故B不符合题意； C、盈利3万元的相反意义的量是亏损3万元，而不是支出3万元，故C不符合题意； D、向东和向北不是相反的方向，故D不符合题意； 故选：A． 题型02 有理数的分类 【典例2】把下列各数填在相应的集合内：，，，，10，0． 负数集合：{______…} 分数集合：{______…} 非负整数集合：{______…} 【答案】，，；，；10，0 【分析】本题考查了有理数的乘方，化简绝对值，有理数的分类，根据小于0的数为负数，非负整数包括0和正整数，据此相关性质内容进行分析，即可作答． 【详解】解：， 负数集合：{，，…} 分数集合：{，，…} 非负整数集合：{10，0，…} 【变式1】将下列各数填入适当的大括号内：，，0，，2.5，，26．（将各数用逗号隔开） 整数集合{       …}； 负分数集合{       …}； 正数集合{       …}． 【答案】整数集合 负分数集合 正数集合 【分析】本题考查了有理数分类，有理数的乘方，熟练掌握有理数的分类是解题的关键． 先计算，再根据有理数的分类，即可解答． 【详解】解：∵ ∴整数集合； 负分数集合； 正数集合． 【变式2】把下列各数填在相应的表示集合的大括号里． ，，1，，0，，，． 整数集合 负有理数集合 正有理数集合 【答案】（1），1，0；（2），，；（3），1，， 【分析】本题考查的是有理数的概念及分类，化简绝对值，化简双重符号，有理数的乘方运算，先化简各数，再利用有理数的概念与分类作答即可． 【详解】解：，，， ∴整数集合，1，0 负有理数集合， ， 正有理数集合，1， ， ． 【变式3】把下列各数填在相应的数集内： (1)正数集合{ …}； (2)整数集合 …}； (3)负分数集合{ …}； (4)非正整数集合{ …}； (5)有理数集合{ …}． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查了绝对值，乘方，有理数的分类，熟练掌握有理数的分类方式是解答本题的关键．有理数可分为整数和分数，整数分正整数，零和负整数；分数分正分数和负分数．有理数也可分为正有理数，零和负有理数，正有理数分为正整数和正分数，负有理数分为负整数和负分数． 【详解】（1）解：， 正数集合{，…}； （2）解：， 整数集合{，…}； （3）解：， 负分数集合{，…}； （4）解：， 非正整数集合{，…}； （5）解：， 有理数集合{，…}． 题型03 求一个数的绝对值、相反数、倒数 【典例3】的相反数是 ；的绝对值是 ． 【答案】 5 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数和绝对值，只有符号不同的两个数互为相反数，正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此求解即可． 【详解】解：的相反数是，的绝对值是， 故答案为：；． 【变式1】的相反数是 ；的绝对值是 ． 【答案】 2 /0.5 【分析】本题主要考查相反数的概念，绝对值的概念等知识点，解决此题的关键是熟练掌握各个知识点 【详解】解：的相反数是2；的绝对值是． 故答案：2；． 【变式2】的相反数是 ；的倒数是 ． 【答案】 3 4 【分析】本题考查了相反数和倒数的定义．相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数；倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．据此求解即可． 【详解】解：的相反数是3；的倒数是4； 故答案为：3，4． 【变式3】的相反数是 ．的倒数是 ．（为负数） 【答案】 【分析】本题考查了相反数、绝对值、倒数，熟练掌握相关概念是解题的关键．根据相反数、绝对值、倒数的定义即可求解． 【详解】解：的相反数是； ∵（为负数），的倒数是， ∴的倒数是； 故答案为：；． 题型04 绝对值得非负性 【典例4】若，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性，根据几个非负数的和为零，则每个非负数均为零，即可得出，，求解即可，熟练掌握非负数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， 故答案为：，． 【变式1】若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可，掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 【详解】解：， ，， ，， ． 故答案为：． 【变式2】（1）若，则 ， ． （2）已知，则 ． （3）已知与互为相反数，则 ． 【答案】 3 4 30 5 【分析】本题考查了绝对值的非负性质：几个绝对值的和为零，则它们全都为零，以及绝对值的计算. （1）根据绝对值的非负性质求a和b的值即可； （2）根据绝对值的非负性质先求出a，b，c的值再代入求解； （3）根据绝对值的非负性质得到x与y的值，代入求解. 【详解】解：（1） ； 故答案为：①3；②4； （2） 故答案为：30； （3）∵与互为相反数， ∴， ∴. 故答案为： 5． 【变式3】已知是非负数，且非负数中最小的数是0． (1)已知，则的值是_________； (2)当________时，有最小值，最小值是______． 【答案】(1)3 (2)1，2 【分析】本题考查绝对值； （1）有绝对值的非负性可以得出，代入即可求出答案． （2）根据绝对值的非负性解题即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵ ∴当时，最小，此时有最小值， ∴当时有最小值，最小值是， 故答案为：1，． 题型05 根据点在数轴上的位置判断式子的正负 【典例5】有理数m、n对应点在数轴上的位置，若图所示，则下列关系中正确的有 （填写序号）． ① ；②；③；④；⑤． 【答案】①③⑤ 【分析】本题考查了数轴，有理数的大小比较等知识，由数轴可得，，逐一判断即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得：，， ∵，， ∴，故①符合题意； ∵， ∴，故②不符合题意； ∵， ∴，， 又∵， ∴，故③符合题意； ∵， ∴，故④不符合题意； ∵，， ∴，故⑤符合题意； 综上，符合题意的有①③⑤， 故答案为：①③⑤． 【变式1】如图，A、B两点在数轴上表示的数分别为a、b，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的序号为 ． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查利用数轴判断式子的符号，有理数的运算，根据数轴，易知，，再逐一判断每个选项即可． 【详解】解：根据数轴可知，， 则：，故选项①正确，符合题意； ，故选项②正确，符合题意； ∵，， ∴，故选项③正确，符合题意； ∵， ∴，故选项④正确，符合题意； 综上，正确选项为：①②③④． 故答案为：①②③④． 【变式2】已知两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论： ①；②；③；④；⑤，正确的是 （只填序号）． 【答案】①⑤ 【分析】本题考查数轴，有理数的四则运算，掌握相关运算法则是解题关键．由数轴可知，，①两数相除异号得负可判断；②两数相乘异号得负可判断；③同号两数相加取相同的符号可判断；④a的绝对值小于b的绝对值可判断；⑤，可判断． 【详解】解：①∵由数轴可知，， ∴， ∴①对； ②由数轴可知，， ∴， ∴②错； ③，， ∴， ∴③错； ④由数轴可知，， ∵a的绝对值小于b的绝对值， ∴， ∴④错； ⑤∵，， ∴， ∴⑤对． 故答案为：①⑤． 【变式3】如图，数轴上的点，，分别表示数，，，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的序号有 ． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小．有理数的运算法则．根据数轴，可得结合有理数的运算法则逐项判定即可． 【详解】解：①∵ ∴， ∴①正确； ②∵ ∴， ∴②正确； ③∵ ∴， ∴③正确； ④∵， ∴， ∴④正确． ∴正确的有①②③④． 故答案为：①②③④． 题型06 有理数的大小比较 【典例6】比较大小： (填、或)． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数比较大小，根据正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小，绝对值越大其值越小进行求解即可． 【详解】解：，， 因为， 所以， 故答案为：． 【变式1】用“”或“”填空 （1） ；（2） 【答案】 【分析】根据有理数的大小比较法则（负数都小于，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小）比较即可． （1）需要将带分数化为假分数，然后通分比较大小； （2）两个负数比较大小，绝对值大的反而小，所以要先求出两个数的绝对值，再通分比较绝对值的大小； 【详解】解：（1）223=83=166，72=216， ∵166