北师大版（2024）八年级上册数学第七章 证明 教案【表格式】

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北师大版（2024）八年级上册数学第七章 证明 教案课程标准1.体会通过合情推理探索数学结论,运用演绎推理加以证明的过程,在多种形式的数学活动中,发展合情推理与演绎推理的能力。2.通过具体实例,了解定义、命题、定理、推论的意义。3.结合具体实例,会区分命题的条件和结论。4.知道证明的意义和证明的必要性,知道数学思维要合乎逻辑,知道可以用不同的形式表述证明的过程,会用综合法的证明格式。5.了解反例的作用,知道利用反例可以判断一个命题是错误的。6.探索并掌握对顶角相等、同角(或等角)的余角相等、同角(或等角)的补角相等的性质。7.掌握平行线基本事实:两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行。8.掌握平行线基本事实:过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。9.掌握平行线的性质定理:两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等。10.探索并证明平行线的判定定理:两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等(或同旁内角互补),那么这两条直线平行;探索并证明平行线的性质定理:两条平行直线被第三条直线所截,内错角相等(或同旁内角互补)。11.能用三角板和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线。12.了解平行于同一条直线的两条直线平行。教材分析本单元围绕命题与证明展开,涵盖定义、命题等基础概念,平行线的判定与性质定理等内容。这些知识相互关联,是一个有机整体,为后续几何学习奠定基础。本单元是实验几何过渡到论证几何的关键启蒙章节。此前学生在七年级上册经历了“图形的初步知识”的实验入门,七年级下册以“三角形的初步知识”开始出现局部推理,八年级上册“平行线的证明”的学习则进一步向推理过渡。本单元在此基础上,开启有固定格式的论证几何学习,处于“实验几何”与“论证几何”的交接点,为后续学习奠定逻辑基础。素养目标1.理解证明的必要性和设置基本事实的必要性,体会演绎推理的严谨性和结论的确定性,初步树立步步有据的推理意识,发展推理能力。2.通过具体实例了解定义、命题、定理、推论的含义,会区分命题的条件和结论。3.了解反例的作用,知道利用反例可以判断一个命题是错误的。4.初步感受公理化思想,以及公理化方法对数学发展和促进人类文明进步的价值。5.经历对顶角定理、两直线平行的有关判定定理、两直线平行的有关性质定理的证明过程,初步掌握用综合法证明的格式;能利用这些定理解决简单的问题。教学重难点重点:准确找出命题的条件和结论;写出一个命题的逆命题;理解证明的必要性,掌握证明的一般步骤与格式。难点:对于条件和结论不明显的命题,准确分清其条件和结论;使学生充分认识到几何证明的必要性;运用基本事实和定理进行简单的证明。知识结构1　为什么要证明教学设计教学过程2　认识证明第1课时　定义与命题教学设计教学过程第2课时　定理与证明教学设计教学过程3　平行线的证明第1课时　平行线的判定教学设计教学过程第2课时　平行线的性质教学设计教学过程课标摘录1.体会通过合情推理探索数学结论,运用演绎推理加以证明的过程,在多种形式的数学活动中,发展合情推理与演绎推理的能力。2.知道证明的意义和证明的必要性,知道证明要合乎逻辑,知道可以用不同的形式表述证明的过程,会用综合法的证明格式。素养目标1.经历观察、验证、归纳等过程,在活动中体会到观察、实验、归纳得到的结论未必可靠。初步感受证明的必要性,发展学生的推理意识。2.了解确定数学结论正确与否的常用方法:计算、举出反例、推理论证等。3.结合课本内容,体会理性思考、勇于探索的科学精神。教学重难点重点:体会观察、实验、归纳所得到的结论未必可靠,初步感受证明的必要性。难点:推理论证意识的建立。教学策略通过生活中的实例或数学史中的经典问题引入证明的概念。设计问题引导学生思考,通过小组讨论、合作探究等方式激发学生的兴趣。通过具体的数学问题,展示证明的过程,帮助学生理解证明的步骤和逻辑。布置适量的练习题,让学生在实践中掌握证明的方法。引导学生总结证明的重要性及其在数学学习中的应用。情境导入观察与思考三角形的边是直线吗　两条线段长度相等吗中间是正方形吗　图形是静的还是动的眼见未必为实!实践出真知!有时视觉受周围环境的影响,往往误导我们,让我们得出错误的结论,所以仅靠经验观察是不够的,只有通过科学的实验进行严格的推理,才能得出最准确的结论。新知初探探究　探究证明的方法活动1:实例验证如图所示,把地球看成球形,假如用一根比地球赤道长1 m的铁丝将地球赤道围起来,铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大?能放进一个拳头吗?先凭感觉想象一下,再具体算一算,看看与你的感觉是否一致,并与同伴进行交流。活动2:反例验证有人认为,对于所有自然数n,代数式n2-2n+11的值都是质数。你怎么看待这个结论?取n=0,1,2,3,4,5试一试。解:当n取0,1,2,3,4,5时,对应n2-2n+11的值如下:n012345n2-2n+11111011141926通过上述表格发现,当n=1,3,5时n2-2n+11的值不是质数,所以对于所有自然数n,代数式n2-2n+11的值不一定都是质数。活动3:推理验证某次数学竞赛中有5道选择题,每题1分,每道题在A、B、C三个选项中,只有一个是正确的。下表是甲、乙、丙、丁四位同学每道题填涂的答案和这5道题的得分:项目第一题第二题第三题第四题第五题得分甲CCABB4乙CCBBC3丙BCCBB2丁BCCBA则甲同学错的是第　五　题。 意图说明通过大量的实例,直观地感受观察、实验、归纳得到的结论可能正确,也可能不正确。理解证明的必要性。当堂达标具体内容见同步课件课堂小结具体内容见同步课件板书设计为什么要证明1.实例验证　　　2.反例验证3.推理验证教学反思课标摘录1.通过具体实例,了解定义、命题的意义。2.结合具体实例,会区分命题的条件和结论。3.了解反例的作用,知道利用反例可以判断一个命题是错误的。素养目标1.理解定义、命题的概念,能区分命题的条件和结论,并把命题写成“如果……那么……”的形式。2.了解真命题和假命题的概念,能判断一个命题的真假性,并会对假命题举反例。教学重难点重点:知道定义、命题的含义,会区分命题的条件和结论。难点:能区分命题的条件和结论,会把一些简单命题改写成“如果……,那么……”的形式。教学策略教法:通过探究讨论,启发、引导学生学习本课内容。学法:观察、讨论、交流、归纳、应用。通过课堂讨论和练习掌握新知识。情境导入小红与小刚正在津津有味地讨论《我们爱科学》的部分内容。坐在旁边的两个人一边听着他们谈话,一边也在悄悄议论着。思考:为什么会出现这样的情况?新知初探探究一　定义活动1:定义:一般地,能清楚地规定某一名称或术语的含义的句子叫作该名称或术语的定义。如:“具有中华人民共和国国籍的人,叫作中华人民共和国公民”是“中华人民共和国公民”的定义。“两点之间线段的长度,叫作这两点之间的距离”是“两点之间的距离”的定义。“无限不循环小数称为无理数”是“无理数”的定义。“有两边相等的三角形叫作等腰三角形”是“等腰三角形”的定义。意图说明结合具体实例让学生增加对定义的理解,锻炼学生有条理的数学表达能力。探究二　命题活动2:命题的概念下面的语句中,哪些语句对事情作出了判断,哪些没有?与同伴进行交流。(1)任何一个三角形一定有一个角是直角;(2)对顶角相等;(3)无论n为怎样的自然数,式子n2-n+11的值都是质数;(4)如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行;(5)你喜欢数学吗?(6)作线段AB=CD。学生经过思考,自主探究,与同伴交流,借助语文的经验,可以得到正确的结论。归纳总结:判断一件事情的句子,叫作命题。例如,上面语句中的(1)(2)(3)(4)对事情进行了判断,都是命题。如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断,那么它就不是命题。注意:(1)只要对一件事情作出了判断,不管正确与否,都是命题。如:相等的角是对顶角。(2)如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断,那么它就不是命题。如:画线段AB=CD。活动3:命题的构成观察下列命题,这些命题有什么共同的结构特征?(1)如果一个三角形是等腰三角形,那么这个三角形的两个底角相等;(2)如果a=b,那么a2=b2;(3)如果两个三角形中有两边和一个角分别相等,那么这两个三角形全等。归纳总结:一般地,每个命题都由条件和结论两部分组成。条件是已知的事项,结论是由已知事项推断出的事项。命题通常可以写成“如果……,那么……”的形式,其中“如果”引出的部分是条件,“那么”引出的部分是结论。命题的组成:活动4:命题的分类有些命题如果条件成立,那么结论一定成立;而有些命题条件成立时,结论不一定成立。正确的命题叫真命题,不正确的命题叫假命题。注意:要说明一个命题是假命题,只需举一个反例。反例是指具备命题的条件,而不具有命题的结论的例子。意图说明通过三个活动使学生理解命题的概念、命题的构成、命题的分类,然后紧跟着给出对应的练习题进行巩固,以加深理解,突破重难点。当堂达标具体内容见同步课件课堂小结具体内容见同步课件板书设计定义与命题1.定义　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2.命题的概念3.命题的构成　　　　　4.命题的分类教学反思课标摘录1.体会通过合情推理探索数学结论,运用演绎推理加以证明的过程,在多种形式的数学活动中,发展合情推理与演绎推理的能力。2.知道证明的意义和证明的必要性,知道证明要合乎逻辑,知道可以用不同的形式表述证明的过程,会用综合法的证明格式。3.探索并掌握对顶角相等、同角(或等角)的余角相等、同角(或等角)的补角相等的性质。素养目标1.了解公理、定理和证明的概念,会区分定理、公理和命题。2.了解证明的表达格式,会按规定格式证明简单命题。3.通过证明步骤中由命题画出图形,写出已知、求证的过程,继续训练学生由几何语句正确画出几何图形的能力。教学重难点重点:公理、定理的定义及其区别和联系。难点:如何证明命题。教学策略教法:通过探究讨论,启发、引导学生学习本课内容。学法:观察、讨论、交流、归纳、应用。通过课堂讨论和练习掌握新知识。情境导入举一个反例就可以说明一个命题是假命题,那么如何证实一个命题是真命题呢?要说明一个命题是正确的,无论验证多少个特例,也无法保证命题的正确性。如何验证命题的正确性,其实在数学发展史上,数学家也遇到过类似的问题,今天我们就来共同学习。新知初探探究一　公理、定理活动1:公理与定理公理:数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的,并把它们作为判断其他命题真假的出发点和依据,这样的公认的真命题称为公理。定理:数学中有些命题可以从公理或其他真命题出发,用演绎推理的方法证明它们是正确的,经过证明的真命题称为定理。真命题分类:1.公理:是人们实践活动中总结出来的;2.定理:是通过证明得到的。本套教科书选用九条基本事实作为证明的出发点和依据,我们已经认识了其中的八条:(1)两点确定一条直线。(2)两点之间线段最短。(3)同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。(4)两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行(简述为:同位角相等,两直线平行)。(5)过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。(6)两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。(7)两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。(8)三边分别相等的两个三角形全等。其他哪些还可以作为公理?数与式的运算律和运算法则、等式的有关性质,以及反映大小关系的有关性质都可以作为证明的依据。例如,如果a=b,b=c,那么a=c,这一性质也可以作为证明的依据,称为“等量代换”。又如,如果a>b,b>c,那么a>c,这一性质同样可以作为证明的依据。意图说明经历实际情境,初步体会公理化思想和方法,了解本教材所采用的基本事实,让学生对真假命题有一个清楚的认识,从而进一步了解定理、公理的概念,培养学生的语言表达能力。探究二　证明命题活动2:从基本事实出发,就可以证明已经探索过的结论了。例如,我们可以证明下面的定理:定理:同角(或等角)的补角相等。定理:同角(或等角)的余角相等。定理:三角形的任意两边之和大于第三边。例题 证明对顶角相等已知:如图所示,直线AB与直线CD相交于点O,∠AOC与∠BOD是对顶角。求证:∠AOC=∠BOD。证明:∵直线AB与直线CD相交于点O(已知),∴∠AOB与∠COD都是平角(平角的定义)。∴∠AOC和∠BOD都是∠AOD的补角(补角的定义)。∴∠AOC=∠BOD(同角的补角相等)。由上面的例题,我们可以得到定理:对顶角相等。意图说明通过学生合作交流,培养了学生互助交流的意识;让学生初步感受证明推理的过程,体会证明的思路,体验书写的过程以及数学的严谨性。当堂达标具体内容见同步课件课堂小结具体内容见同步课件板书设计定理与证明1.公理　　　　　　2.定理3.八条基本事实　　　　　4.定理的证明教学反思课标摘录1.掌握基本事实:两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行。2.探索并证明平行线的判定定理:两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等(或同旁内角互补),那么这两条直线平行。3.能用三角板和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线。素养目标1.会根据基本事实“同位角相等,两直线平行”来证明“内错角相等,两直线平行”“同旁内角互补,两直线平行”,并能简单应用这些结论。2.通过画图、讨论、推理等活动,理解和总结证明的步骤、格式和方法。教学重难点重点:了解并掌握平行线的判定公理和定理。难点:灵活应用平行线的三个判定定理解决问题。教学策略展示铁轨、双杠等生活实例,让学生观察其特点,引出平行线判定的课题,激发学习兴趣。借助教具演示,如用木条模拟直线位置变化,引导学生总结同位角、内错角、同旁内角的关系与两直线平行的联系,再给出准确判定定理。安排基础证明题与复杂图形题,让学生运用判定定理进行推理,强化对知识的理解和运用。情境导入请找出图中的平行线,思考它们为什么平行?新知初探探究一　平行线的判定活动1:如图所示,∠1和∠2是直线a,b被直线c截出的内错角,且∠1=∠2。求证:a∥b。证明:∵∠1=∠2(已知),∠1=∠3(对顶角相等),∴∠3=∠2(等量代换)。∴a∥b(同位角相等,两直线平行)。小结:两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行。简述为:内错角相等,两直线平行。应用格式:∵∠1=∠2(已知),∴a∥b(内错角相等,两直线平行)。活动2:“两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行”这个命题也正确吗?说明理由。定理证明:如图所示,∠1和∠2是直线a,b被直线c截出的同旁内角,且∠1与∠2互补。求证:a∥b。学生思考交流后独立完成,教师给予点评指导。证明:∵∠1与∠2互补(已知),∴∠1+∠2=180°(互补的定义)。∴∠1=180°-∠2(等式的性质)。∵∠3+∠2=180°(平角的定义),∴∠3=180°-∠2(等式的性质)。∴∠1=∠3(等量代换)。∴a∥b(同位角相等,两直线平行)。小结:两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行。简述为:同旁内角互补,两直线平行。应用格式:∵∠1+∠2=180°(已知),∴a∥b(同旁内角互补,两直线平行)。意图说明两个例子都是以基本事实“同位角相等,两直线平行”为依据分别证明平行线的判定定理:“内错角相等,两直线平行”“同旁内角互补,两直线平行”。在此过程中要引导学生明确现在证明的出发点有哪些,哪些概念、法则、基本事实、定理可用,让学生养成证明时“有理有据”的习惯,培养严谨的学习态度。探究二　平行线判定的应用活动3:思考·交流(1)如图所示,利用两个全等的直角三角尺作出平行线,请说说其中的道理。解:可以利用“内错角相等,两直线平行”说明两条直线平行。(2)任意撕一张纸片,用它折出两条平行线,并予以证明;与同伴交流各自的折纸方法与证明过程。意图说明利用平行线的判定定理解释作图的道理。教学中还可以让学生利用手中的直尺、三角尺等工具快捷地作出平行线,从而得到更多作平行线的方法,说明道理的方法也可能更为多样,开放教学。当堂达标具体内容见同步课件课堂小结具体内容见同步课件板书设计平行线的判定1.平行线的基本事实　　　　　　　2.平行线的判定定理及证明教学反思课标摘录1.掌握平行线的性质定理:两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等。2.探索并证明平行线的性质定理:两条平行直线被第三条直线所截,内错角相等(或同旁内角互补)。3.了解平行于同一条直线的两条直线平行。素养目标1.理解并掌握平行线的三条性质定理。2.能够根据平行线的性质进行简单的推理与计算。3.区分平行线的性质和判定的关系,培养学生逆向思维的能力。教学重难点重点:平行线的性质的探索及应用。难点:应用平行线的性质解决问题。教学策略在本节课的教学中,注重过程性评价,在教学过程中,一方面利用问题引发学生的思考,通过学生的回答情况对学生进行评价,另一方面,利用课堂练习,使学生的认知情况得到反馈,进而及时调整教学。通过过程性评价,全面考查学生的学习状况,激发学生的学习热情,促进学生的全面发展。温故知新(1)平行线的判定方法有哪三种?它们是先知道什么,后知道什么?(2)已知直线AB及其外一点P,画出过点P的AB的平行线。(3)根据同位角相等可以判定两直线平行,反过来如果两直线平行,同位角之间有什么关系呢?内错角,同旁内角之间又有什么关系呢?学习了本节课以后,我们就能得出这些问题的答案了。新知初探探究一　平行线的性质活动1:根据“两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等”。你能作出相关的图形吗?问题1:你能根据所作的图形写出已知、求证吗?问题2:你能说说证明的思路吗?已知:如图所示,直线AB∥CD,∠1和∠2是直线AB,CD被直线EF截出的同位角。求证:∠1=∠2。该如何证明呢?今天介绍一个特别的方法——反证法。证明:假设∠1≠∠2,那么我们可以过点M作直线GH,使∠EMH=∠2,如图所示。根据“同位角相等,两直线平行”,可知GH∥CD。又因为AB∥CD,这样经过点M存在两条直线AB与GH都与直线CD平行。这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾。这说明∠1≠∠2的假设不成立,所以∠1=∠2。由此,我们证明了以下的性质定理。定理:两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等。简述为:两直线平行,同位角相等。有时,直接证明很困难,我们就证明命题的另一面不成立。也就是假设结论的反面不成立,推导出与已知条件、定理、基本事实矛盾,那么所作的假设不成立,原命题成立。活动2:在上一节中,我们利用“同位角相等,两直线平行”推出了“内错角相等,两直线平行”,类似地,已知两直线平行,同位角相等,能否得到内错角之间的数量关系呢?已知:如图所示,直线a∥b,∠1和∠2是直线a,b被直线c截出的内错角。求证:∠1=∠2。证明:∵a∥b(已知),∴∠3=∠2(两直线平行,同位角相等)。又∵∠1=∠3(对顶角相等),∴∠1=∠2(等量代换)。因此可以得到:平行线的性质定理:两条平行直线被第三条直线所截,内错角相等。简述为:两直线平行,内错角相等。活动3:类似地,已知两直线平行,能否得到同旁内角之间的数量关系呢?如图所示,已知a∥b,那么Ð2与Ð4有什么关系呢?为什么呢?解:∵a∥b(已知),∴Ð1=Ð2(两直线平行,同位角相等)。∵Ð1+Ð4=180 °(补角的性质),∴Ð2+Ð4=180 °(等量代换)。平行线的性质定理:两条平行直线被第三条直线所截,同旁内角互补。简述为:两直线平行,同旁内角互补。归纳总结:证明一个命题的一般步骤(1)根据命题,找出命题的条件和结论;(2)根据命题画出图形,写出已知、求证;(3)从已知条件出发,根据基本事实、定义、等式的性质等,演绎推理出结论。思考:平行线的性质定理与判定定理在条件和结论方面有什么关系?条件和结论的互换。平行线的性质定理是已知两直线平行,得到角的关系;而判定定理是已知角的关系,得到两直线平行。意图说明通过探究平行线性质定理的证明,理解证明的环节,其中反证法是个难点,对学生的要求不要太高,让学生了解还有这样的证明方法就可以了。通过定理证明,要引导学生如何从已知条件演绎推理得到结论。同时培养学生有条理的表达能力。探究二　平行于同一条直线的两条直线平行活动4:定理:平行于同一条直线的两条直线平行。如图所示:b∥a,c∥a,∠1,∠2,∠3是直线a,b,c被直线d截出的同位角。求证:b∥c。证明:∵b∥a(已知),∴∠2=∠1(两直线平行,同位角相等)。∵c∥a(已知),∴∠3=∠1(两直线平行,同位角相等)。∴∠2=∠3(等量代换)。∴b∥c(同位角相等,两直线平行)。意图说明从简单的几何证明入手,逐步形成一个更为清晰的证明思路,进一步理解和总结证明的步骤、格式、方法。了解两定理在条件和结构上的区别,体会正向和逆向的思维过程。进一步发展学生的推理能力,培养学生的逻辑思维能力。当堂达标具体内容见同步课件课堂小结具体内容见同步课件板书设计平行线的性质1.两直线平行,同位角相等　　　2.两直线平行,内错角相等3.两直线平行,同旁内角互补　　4.平行于同一条直线的两条直线平行教学反思