2025-2026学年安徽省太和一中高二（下）期中数学试卷

这是一份2025-2026学年安徽省太和一中高二（下）期中数学试卷，共5页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.函数f（x）=x-lnx的单调递减区间为（ ）
A. （1，+∞）B. （0，+∞）C. （0，1）D. （-∞，1）
2.已知函数f（x）=sinx+ex-e-x，则不等式f（6-x2）＞f（2x-2）的解集为（ ）
A. （-4，2）B. （1，2）
C. （-4，1）D. （-∞，-4）∪（2，+∞）
3.已知{an}为等差数列，{bn}为等比数列，a1=b1=1，a2+b2=5，a3+b3=9，则a4=（ ）
A. 4B. 7C. 8D. 15
4.数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的高阶等差数列，其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列，如数列2，4，7，11，16，从第二项起，每一项与前一项的差组成新数列2，3，4，5，新数列2，3，4，5为等差数列，则称数列2，4，7，11，16为二阶等差数列.现有二阶等差数列{an}，其中前几项分别为2，5，9，14，20，27，记该数列的后一项与前一项之差组成新数列{bn}，则b8=（ ）
A. 8B. 9C. 10D. 11
5.将一枚均匀的骰子掷两次，记事件A为“第一次出现偶数点”，事件B为“两次出现的点数和为9”，则下列结论中正确的是（ ）
A. B. P（A∪B）=P（A）+P（B）
C. D. A与B相互独立
6.在的展开式中，x4的系数为（ ）
A. -15B. 15C. -30D. 30
7.已知函数f（x）=aex-lnx在区间（1，2）上单调递增，则a的最小值为（ ）
A. e2B. eC. e-1D. e-2
8.下列说法错误的为（ ）
A. 甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲只能站最左端，丙和丁相邻的不同排列方式有12种
B. 从分别标有数字1、2、3、…7的7张卡片中一次性抽取2张，则抽到的2张卡片上数字之和小于8的情况有9种
C. 有10个相同的小球，现全部分给甲、乙、丙3人，若甲至少得1球，乙至少得2球，丙至少得3球，则他们所得的球数的不同情况有16种
D. 在7道题中有5道数学题和2道物理题，如果不放回地依次抽取两道题，则在第一次抽到数学题的前提下，第二次也抽到数学题的概率是
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C. 若，则x=4
D. 若，则
10.数列{an}的前n项和为Sn，且a1=2，，则（ ）
A. 数列是等差数列B. 数列是等比数列
C. an=2nD. 数列的前n项和等于
11.定义：在区间I上，若函数y=f（x）是减函数，且y=xf（x）是增函数，则称y=f（x）在区间I上是“弱减函数”．根据定义可得（ ）
A. 在（0，+∞）上是“弱减函数”
B. 在（1，2）上是“弱减函数”
C. 若在（m,+∞）上是“弱减函数”，则m＞e
D. 若f（x）=csx+kx2在上是“弱减函数”，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列{an}是由实数构成的等比数列，a1=2，且a2-4，a3，a4成等差数列，则{an}的公比为______．
13.将4个不同的小球依次随机投入3个篮子中，每个篮子不空的概率为 （用分数表示）.
14.已知恒成立，求正数λ的取值范围 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
设甲袋中有3个白球、2个红球和5个黑球，乙袋中装有3个白球、3个红球和m个黑球（m∈N*），这些球除颜色外完全相同.已知从乙袋中任取一球，取出的是红球的概率为.
（1）求m的值；
（2）若依次从甲袋中取出两球，在取出的第一个球是白球的条件下，求第二个球是红球的概率；
（3）若先从甲袋中随机取出一个球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一个球，求从乙袋取出的是白球或黑球的概率
16.(本小题15分)
在①S3=6，S5=15；②公差为1，且a2，a4，a8成等比数列；③a1=1，a2+a3+a5+a6=16，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.
问题：已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足_____.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令cn=[lgan]，其中[x]表示不超过x的最大整数，求c1+c2+…+c2023.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
17.(本小题15分)
在的展开式中，
（1）求展开式中所有项的系数和；
（2）求二项式系数最大的项；
（3）系数的绝对值最大的项是第几项？
18.(本小题17分)
已知函数f（x）=elnx-ax（a∈R）．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当a=e时，证明：．
19.(本小题17分)
已知a,k∈R，f（x）=xlnx,g（x）=（x+a）ex，直线y=k与曲线y=f（x）和y=g（x）都相切.
（1）求a,k的值；
（2）若f（x1）=f（x2）=g（x3）=g（x4）=b,其中x1≠x2，x3≠x4.
（i）求实数b的取值范围；
（ii）求证：.
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】C
9.【答案】ACD
10.【答案】ABD
11.【答案】BD
12.【答案】2
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】3
16.【答案】an=n 4962
17.【答案】解：（1）在的展开式中，令x=1，可得展开式中所有项的系数和为（-1）8=1；
（2）∵二项式系数最大的项为中间项，即第5项，
∴；
（3）的展开式的通项为，
设第r+1项系数的绝对值最大，显然0＜r＜8，
则，
整理得，即，
解得5≤r≤6，而r∈N，则r=5或r=6，
∴系数的绝对值最大的项是第6项和第7项．
18.【答案】解：（1）函数的定义域为（0，+∞），∵（x＞0），
∴当a≤0时，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，
故函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增；
当a＞0时，由f′（x）＞0得0＜x＜，
由f′（x）＜0得x＞，即函数f（x）在区间（0，）上单调递增，在（+∞）上单调递减；
综上，当a≤0时，f（x）在区间（0，+∞）上单调递增；当a＞0时，f（x）在区间（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减；
（2）证明：因为x＞0时，证明，只需证明f（x）≤，
由（1）知，当a=e时，函数f（x）在区间（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；
所以f（x）max=f（1）=-e．
令g（x）=，（x＞0），则g′（x）=，
所以当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；
当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增，
所以g（x）min=g（1）=-e．
所以x＞0时，f（x）≤，
所以当a=e时，．
19.【答案】，a=0 （i）；（ii）证明：不妨设x1＞x2，x3＞x4，
由（i）知，，
显然，且-1＜lnx1＜0，-1＜x3＜0，所以x3=lnx1，
同理，x4=lnx2．
要证，只需证，
只需证．
又x1lnx1=x2lnx2＜0，只需证lnx2-x2＜lnx1-x1（*）．
令函数h（x）=lnx-x（0＜x＜1），则，
所以函数h（x）在（0，1）上单调递增，
由0＜x2＜x1＜1得h（x2）＜h（x1），所以（*）显然成立，
综上，