安徽省六安市太和中学2024-2025学年高二上学期期末数学试卷（含答案）

这是一份安徽省六安市太和中学2024-2025学年高二上学期期末数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.复数1−2i3+4i的虚部为( )
A. −25B. −25iC. 25D. 25i
2.已知集合A={x∈N∗|xbdD. d2>c2
10.已知圆C1：(x−1)2+(y+2)2=1与圆C2：(x+1)2+y2=4交于A，B两点，则下列说法正确的是( )
A. 线段AB的中垂线方程为x+y+1=0
B. 直线AB的方程为4x−4y−7=0
C. |AB|= 148
D. 若点P是圆C1上的一点，则|PA+PB|的最大值是5 24+2
11.已知点F是抛物线C：y2=8x的焦点，点A是抛物线C的准线与x轴的交点，过点A且斜率为k的直线l与C交于M，N两点，则下列说法正确的是( )
A. k的取值范围为(−1,0)∪(0,1)
B. |AM||MF|=|AN||NF|
C. 若|NF|=2|MF|，则k=23或k=−23
D. 点M关于x轴的对称点在直线NF上
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若向量a=(3,6),b=(−1,1)，则向量a在向量b上的投影向量的坐标为______．
13.现有甲、乙两个形状完全相同的正四棱台容器如图所示，其中AB=8，A1B1=4，AA1=2 11，现按一定的速度匀速往甲容器里注水，当水的高度恰好是正四棱台高度的一半时用时19分钟，如果按照相同的速度匀速往乙容器里注水，当水的高度恰好是正四棱台高度的一半时用时______分钟．
14.已知F为抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点，A，B为C上在第一象限内的两点，且满足|AB|=6 2，|FA|−|FB|=6，线段AB的中点的纵坐标为6，则C的方程为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知等比数列{an}满足a3=a12a2，a4=128．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记bn=1lg2anlg2an+1，Sn为数列{bn}的前n项和，若Sn=1021，求正整数n的值．
16.(本小题12分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，且S=(12b2−c2)sinA．
(1)证明：b=2c；
(2)若bcsA=14c，求csC．
17.(本小题12分)
如图，四棱锥P−ABCD的侧面PCD为正三角形，底面ABCD为梯形，AB//CD，平面PCD⊥平面ABCD.已知CD=4AB=4，PM=13MD．
(1)证明：AM//平面PBC；
(2)若AC=AD，PA=3 2，求直线AM与平面PAB所成角的正弦值．
18.(本小题12分)
已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为 32，且过点(2,1)，直线l与E交于A，B两点．
(1)求E的方程；
(2)若线段AB的中点为M(−1,−1)，求直线l的方程；
(3)若直线l的斜率不为0且经过E的左焦点，点P是y轴上的一点，且PA⊥PB，|PA|=|PB|，求直线l的斜率．
19.(本小题12分)
对于函数f(x)，规定f′(x)=[f(x)]′，f(2)(x)=[f′(x)]′，…，f(n)(x)=[f(n−1)(x)]′，f(n)(x)叫做函数f(x)的n阶导数.若函数f(x)在包含x0的某个闭区间[a,b]上具有n阶导数，且在开区间(a,b)上具有(n+1)阶导数，则对闭区间[a,b]上任意一点x，f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+f(2)(x0)2!(x−x0)2+⋯+f(n)(x0)n!(x−x0)n+R(n)(x)，该公式称为函数f(x)在x=x0处的n阶泰勒展开式，R(n)(x)是此泰勒展开式的n阶余项.已知函数f(x)=ln(x+1)．
(1)写出函数f(x)在x=1处的3阶泰勒展开式(R(n)(x)用R(3)(x)表示即可)；
(2)设函数f(x)在x=0处的3阶余项为g(x)，求证：对任意的x∈(−1,1)，g(x)≤0；
(3)求证：(1+12)(1+122)(1+123)⋯(1+12n)0.所以12bc=12b2−c2．
所以(b+c)(b−2c)=0，又b+c>0，所以b=2c．
(2)解：因为bcsA=14c.所以csA=c4b=18=b2+c2−a22bc，
所以a2=b2+c2−14bc=4c2+c2−12c2=92c2.所以a=3 22c，
所以csC=a2+b2−c22ab=92c2+4c2−c22×3 22c×2c=5 28．
17.解：(1)证明：如图，取PC的靠近P的四等分点N，连接MN，又PM=13MD，
∴MN//DC，且MN=14DC，又AB/​/CD，CD=4AB=4，
∴MN//AB，且MN=AB，
∴四边形MNBA为平行四边形，
∴AM//BN，又AM⊄平面PBC，BN⊂平面PBC，
∴AM/​/平面PBC；
(2)取DC中点O，连接PO，AO，
∵AC=AD，侧面PCD为正三角形，
∴AO⊥DC，PO⊥DC，又平面PCD⊥平面ABCD，
∴PO⊥平面ABCD，
故建系如图，又CD=4AB=4，∴PO=2 3，
又PA=3 2，∴AO= (3 2)2−(2 3)2= 6，
∴根据题意可得A( 6,0,0)，M(0,−12,3 32)，P(0,0,2 3)，B( 6,1,0)，
∴AM=(− 6,−12,3 32)，AP=(− 6,0,2 3)，AB=(0,1,0)，
设平面PAB的法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅AP=− 6x+2 3z=0n⋅AB=y=0，取n=( 2,0,1)，
∴直线AM与平面PAB所成角的正弦值为：
|cs|=|AM⋅n||AM||n|= 32 6+14+274× 3= 1326．
18.解：(1)因为椭圆的离心率为 32，且过点(2,1)，
所以ca= 3222a2+12b2=1c2=a2−b2，
解得a=2 2，b= 2，c= 6，
则椭圆E的方程为x28+y22=1．
(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
因为线段AB的中点为M(−1,−1)，
所以x1+x22=−1y1+y22=−1，
即x1+x2=−2y1+y2=−2，
因为A，B两点均在椭圆上，
所以x128+y122=1x228+y222=1，
两式相减得x12−x228+y12−y222=0，
所以y1−y2x1−x2=−x1+x24(y1+y2)=−−24×(−2)=−14，
即直线l的斜率为−14，
所以直线l的方程为y−(−1)=−14[x−(−1)]，
即x+4y+5=0；
(3)易知椭圆E的左焦点F(− 6,0)，直线l的斜率不为0，
设直线AB：x=my− 6，
联立x=my− 6x28+y22=1，消去x并整理得(m2+4)y2−2 6my−2=0，
此时Δ=24m2+8(m2+4)>0，
由韦达定理得y1+y2=2 6mm2+4，y1y2=−2m2+4，
所以x1+x2=m(y1+y2)−2 6=2 6m2m2+4−2 6=−8 6m2+4，
设AB的中点为C，
此时C(−4 6m2+4, 6mm2+4)，
因为点P在y轴上，且PA⊥PB，|PA|=|PB|，
所以PC垂直平分AB，且|AB|=2|PC|，
所以AB：x=my− 6的中垂线方程为y− 6mm2+4=−m(x+4 6m2+4)，
令x=0，
解得y=−3 6mm2+4，
即P(0,−3 6mm2+4)，
所以|PC|= 96(m2+4)2+96m2(m2+4)2=4 6(m2+1)m2+4，
又|AB|= 1+m2|y1−y2|= 1+m2 (y1+y2)2−4y1y2
= 1+m2 24m2(m2+4)2+8m2+4=4 2(m2+1)m2+4，
所以4 2(m2+1)m2+4=2×4 6(m2+1)m2+4，
解得m=± 11．
故直线l的斜率为± 1111．
19.解：(1)由题意，函数f(x)=ln(x+1)，且f(1)=ln2，
则f′(x)=1x+1,f′(1)=12，
f(2)(x)=−1(x+1)2,f(2)(1)=−14，
f(3)(x)=2(x+1)3,f(3)(1)=14，
所以函数f(x)在x=1处的3阶泰勒展开式为：
f(x)=f(1)+f′(1)(x−1)+f(2)(1)(x−1)22!+f(3)(1)(x−1)33!+R(3)(x)
=ln2+x−12−(x−1)28+(x−1)324+R(3)(x)
=ln2+124(x3−6x2+21x−16)．
(2)证明：由(1)可知，f(0)=0，f′(0)=1，f(2)(0)=−1，f(3)(0)=2，
f(4)(x)=−6(x+1)4,f(4)(ε)=−6(ϵ+1)4，
所以函数f(x)在x=0处的3阶泰勒展开式为：
f(x)=f(0)+f′(0)x+f(2)(0)x22!+f(3)(0)x33!+R(3)(x)
=x−x22+x36+R(3)(x)，
其中R(3)(x)=f(4)(ε)x44!，ε介于0与x之间的常数，
所以g(x)=f(4)(ε)x44!=−x44(ϵ+1)4，
因为14(ϵ+1)4为常数项，且g(−x)=g(x)，
所以函数g(x)为偶函数，
因为g′(x)=−x3(ϵ+1)4，
当x∈(−1,0)时，g′(x)>0，所以g(x)在(−1,0)单调递增，
当x∈(0,1)时，g′(x)