2022-2023学年安徽省阜阳市太和重点中学高二（下）期中数学试卷-普通用卷

2022-2023学年安徽省阜阳市太和重点中学高二（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  函数的导函数为(    )

A.  B.
C.  D.

2.  袋中有除颜色外完全相同的个球，其中个红球和个白球．现从袋中不放回地连取两个．已知第一次取得红球，则第二次取得白球的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  的展开式中各项系数之和为，则展开式的常数项为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  第届冬奥会奥运村有智能餐厅，人工餐厅，运动员甲第一天随机地选择一餐厅用餐，如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为；如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为，运动员甲第二天去餐厅用餐的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  由，，，，这十个数组成无重复数字的四位数中，个位数字与百位数字之差的绝对值等于的个数为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  将三项式展开，得到下列等式：





观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，
其构造方法为：第行为，以下各行每个数是它正上方与左右两肩上的个数不足个数时，缺少的数以计之和，第行共有个数．则关于的多项式的展开式中，项的系数(    )

A.  B.  C.  D.

7.  为了促进边疆少数民族地区教育事业的发展，我市教育系统选派了名男教师和名女教师去支援新疆教育，要求这名教师被分派到个学校对口支教，每名教师只去一个学校，每个学校至少安排名教师，其中名女教师分派到同一个学校，则不同的分派方法有(    )

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

8.  已知定义在上的偶函数满足，若，则不等式的解集为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  设随机变量的可能取值为，，，，并且取，，，是等可能的若，则下列结论正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  对于，关于下列排列组合数，结论正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

11.  设，，，则下列结论中正确的是(    )

A.
B. 当时，
C. 若，，则
D. 当，时，

12.  已知函数，则下列结论正确的是(    )

A. 是奇函数 B. 当时，函数恰有两个零点
C. 若是增函数，则 D. 当时，函数恰有两个极值点

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  随机变量的分布列如表所示，若，则        ．

14.  若，且，且，则 ______ ．

15.  甲箱中有个红球，个白球和个黑球，乙箱中有个红球，个白球和个黑球球除颜色外，大小质地均相同先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以，和表示由甲箱中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱中取出的球是红球的事件，下列说法正确的序号是______．
事件，相互独立；
；
；
；
．

16.  已知函数，若有两个不同的极值点，，且，则的取值范围为______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分

现将名志愿者含甲、乙、丙派往三个社区做宣传活动．

若甲、乙、丙同去一个社区，且每个社区都需要名志愿者，求不同安排方法的总数

若每个社区至少需要名至多需要名志愿者，求不同安排方法的总数．

18.  本小题分
甲箱的产品中有个正品和个次品，乙箱的产品中有个正品和个次品．
如果是依次不放回地从乙箱中抽取个产品，求第次取到次品的概率；
若从甲箱中任取个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，已知从乙箱中取出的这个产品是正品，求从甲箱中取出的是个正品的概率．

19.  本小题分
已知为偶函数，曲线过点，．
求曲线有斜率为的切线，求实数的取值范围；
若当时函数取得极值，确定的单调区间．

20.  本小题分
核酸检测是诊断新冠肺炎的重要依据，首先取病人的唾液或咽拭子的样本，再提取唾液或咽扰子样本里的遗传物质，如果有病毒，样本检测会呈现阳性，否则为阴性根据统计发现，疑似病例核酸检测呈阳性的概率为，现有例疑似病例，分别对其取样、检测，多个样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要有病毒，则混合样本化验结果就会呈阳性，若混合样本呈阳性，则将该组中备份的样本再逐个化验；若混合样本呈阴性，则判定该组各个样本均为阴性，无需再检验现有以下三种方案：
方案一：逐个化验；
方案二：四个样本混合在一起化验；
方案三：平均分成两组，每组两个样本混合在一起，再分组化验．
在新冠肺炎爆发初期，由于检测能力不足，化验次数的期望值越小，则方案越“优”．
若，现将该例疑似病例样本进行化验，请问：方案一、二、三中哪个最“优”？
若对例疑似病例样本进行化验，且想让“方案二”比“方案一”更“优”，求的取值范围．

21.  本小题分
已知函数，．
讨论函数的单调性；
若恒成立，求实数的取值范围．

22.  本小题分
已知函数．
为函数的导函数，对任意的恒成立，求实数的取值范围；
若函数有两个不同的极值点，，证明：．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
则，
故选：．
由导数的运算求解即可．
本题考查了导数的运算，属基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：袋中有除颜色外完全相同的个球，其中个红球和个白球．
现从袋中不放回地连取两个．
设事件表示“第一次取到红球”，事件表示“第二次取到白球”，
，，
第一次取得红球的条件下第二次取得白球的概率为：
．
故选：．
设事件表示“第一次取到红球”，事件表示“第二次取到白球”，，，利用条件概率计算公式能求出第一次取得红球的条件下第二次取得白球的概率．
本题考查概率的求法，考查条件概率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：的展开式中各项系数之和为，
解得，
则展开式的常数项为：，
故选：．
依据各项系数之和为，列出方程求出，利用二项展开式的通项公式求出常数项．
本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：运动员甲第二天去餐厅用餐的概率．
故选：．
天去哪家餐厅用餐的概率受第天在哪家餐厅用餐的影响，利用全概率公式求解即可．
本题考查全概率的公式，是基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：由题意知本题是一个计数原理的应用
到十个数字中之差的绝对值等于的情况有种：与，与；
分种情况讨论：当个位与百位数字为，时，有；
当个位与百位为，时，有．
共，
故选：．
由题意知本题是一个计数原理的应用，个位数字与百位数字之差的绝对值等于的情况有种，即：当个位与百位数字为，时，当个位与百位为，时，分别表示出所有的情况，由加法原理计算可得答案．
本题考查分类计数原理与分步计数原理，本题解题的关键是看出两个数字相差时的所有情况，本题是一个易错题．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据广义杨辉三角的定义：；
故；
关于的多项式的展开式中项的系数为．
故选：．
直接利用广义杨辉三角和数据的组合的应用求出结果．
本题考查的知识要点：定义性问题的应用，组合数据之间的关系，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

7.【答案】 

【解析】解：名女教师分派到同一个学校，
若只有位女老师分在一个学校，则名男教师分成两组，有，然后组再进行排列即可，此时种，
若还有名男老师和位女老师分子一个学校，则有，然后组再进行排列即可，此时种，
则共有种，
故选：．
将位老师分成组，讨论位女老师所在学校有人和人两种情况进行计算即可．
本题主要考查排列组合的计数问题，将人分成组，讨论女老师一组的人数是解决本题的关键，是中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：因为为偶函数，且，
所以，即，
所以是周期为的函数，
又，所以，即，
因为为偶函数，所以，求导得，
又，所以，即，
设，则，
所以在上单调递增，
不等式等价于，
因为，所以，
所以，即，
所以，解得，
因此不等式的解集为．
故选：．
由，可得是周期为的函数，进而利用，推出，再结合为偶函数及，可得，于是构造新函数，判断其单调性，并结合函数的周期性，将原不等式转化为，得解．
本题考查利用导数研究函数的单调性，函数奇偶性和单调性的综合应用，找出函数的周期，构造新函数是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：由题意，
，
，
，
．
故选：．
由等可能得出，结合求出值，再由期望公式和方差公式计算后判断．
本题考查了离散型随机变量的期望与方差，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：选项A，，A正确；
选项B，，B正确；
选项C，，C正确；
选项D，，，，D错误．
故选：．
根据组合数的性质，以及排列数的运算逐一检验选项，得出答案．
本题考查组合数的性质，考查排列数的计算，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了二项式定理的有关知识，属于中档题．
分别令和，所得式子作差可得A正确；
两边求导，令即可知B错误；
利用二项展开式通项得到，，，由此构造不等式组求得，知C正确；
列出的前项，说明前项和大于即可得到D正确．

【解答】

解：对于，令得：，
令得：，
而，得：，A正确；
对于，，
，
令得：，B错误；
由得：，
即，
解得：，
又，，C正确；
对于，当时，，

，
又，
，D正确．
故选：．

12.【答案】 

【解析】解：对于、的定义域为，且，
则是奇函数，故A正确；
对于、当时，，得，
可得在上单调递增，则至多有一个零点，故B错误；
对于、，
若是增函数，则恒成立，即恒成立，
令，则，，
单调递增，而，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
则，可得，故C正确；
对于、当时，，令，
则，，则单调递增，
又，当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增．
则，，，
存在，，使得成立，
则在上，，在上，，在上，．
函数在上单调递增，在上单调递减，在单调递增，
函数恰有两个极值点，故D正确．
故选：．
利用函数奇偶性定义判断；利用导数结合函数零点的判定判断；由导函数大于等于恒成立，分离参数，再由导数求最值判断；求导，判断导函数的变号零点情况，可得原函数的单调性，进而得到原函数极值点的情况判断．
本题考查利用导数研究函数的极值，考查化归与转化、函数与方程思想，考查推理论证能力与运算求解能力，属难题．
 

13.【答案】 

【解析】解：依题意可得，解得，
所以，
所以．
故答案为：．
利用离散型随机变量的分布列、数学期望的性质，列出方程组，求出，，由此能求出方差，再根据方差的性质计算可得．
本题主要考查了离散型随机变量的分布列和期望，考查了期望的线性性质，属于中档题．
 

14.【答案】 

【解析】解：若，
，
故能被整除，
，
能被整除，
，
．
故答案为：．
根据已知条件，结合二项式定理，推得，再运用二项式定理，即可求解．
本题主要考查二项式定理，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：由题意可得，，，，故错误，
，故错误，
，，故正确，
，
，故正确，
，故正确．
故答案为：．
根据已知条件，结合全概率公式，以及条件概率公式，即可求解．
本题主要考查全概率公式，以及条件概率公式，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：，则，
令，由，可得为偶函数，
则，
则当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
又，，
由题意得方程有两个互为相反数的零点，，且，
则的取值范围为．
故答案为：．
先求得函数的导函数，则方程有两个异号零点，，且，构造新函数，利用导数求得其单调性，进而求得的取值范围．
本题主要考查利用导数研究函数的极值，考查转化能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：依题意可得不同安排方法的总数为．
根据题意，这名志愿者人数分配方案共有三类：
第一类是，，，第二类是，，，第三类是，，．
故不同安排方法的总数为． 

【解析】名志愿者平均分为组，再组进行分配；
由题意可分为，，三种分配方案，分别分组分配计算即可．
本题考查排列组合的综合运用，考查运算求解能力，属于基础题．
 

18.【答案】解：设“第次从乙箱中取到次品”，．
，，，
由全概率公式得：第次取到次品的概率为：
．
设事件“从乙箱中取一个正品”，事件“从甲箱中取出个产品都是正品”，
事件“从甲箱中取出个正品个次品”，事件“从甲箱中取出个产品都是次品”，
则、、彼此互斥，且，
，
，
，
，
，
，
所以
，
所求概率即是发生的条件下发生的概率：
． 

【解析】设“第次从乙箱中取到次品”，，由全概率公式能求出第次取到次品的概率；
设事件“从乙箱中取一个正品”，事件“从甲箱中取出个产品都是正品”，事件“从甲箱中取出个正品个次品”，事件“从甲箱中取出个产品都是次品”，所求概率即是发生的条件下发生的概率，由此能求出结果．
本题考查概率的求法，考查全概率公式、条件概率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

19.【答案】解：为偶函数，故即有
解得
又曲线过点，得，有
从而，
曲线有斜率为的切线，故有有实数解．即有实数解．
此时有解得
所以实数的取值范围：；
因时函数取得极值，故有即，解得
又令，得，
当时，，故在上为增函数
当时，，故在上为减函数
当时，，故在上为增函数． 

【解析】据偶函数的定义求出值，将点代入得值，据导数在切点处的导数值为切线斜率，
有有实数解，由得范围．
，函数在极值点处的导数值为，导数大于对应区间是单调递增区间；导数小于对应区间是单调递减区间．
本题考查偶函数的定义；利用导数几何意义求曲线切线方程；利用导数求函数单调区间．
 

20.【答案】解：方案二：记检测次数为，则随机变量的可能取值为，，
所以，，
所以方案二检测次数的数学期望为；
方案三：每组两个样本检测时，若呈阴性则检测次数为次，其概率为，
若呈阳性则检测次数为次，其概率为，
设方案三的检测次数为随机变量，则的可能取值为，，，
所以，，，
所以方案三检测次数的期望为，
因为，
所以方案一最优；
方案二：记检测次数为，则随机变量的可能取值为，，
所以，，
所以随机变量的数学期望为，
由于“方案二”比“方案一”更“优”，则，
可得，即，解得，
所以当时，方案二比方案一更“优”． 

【解析】求得三个方案的检测次数的期望值，由此判断出最优的方案；
记方案二的检测次数为，求出对于随机变量的概率，从而求出数学期望，由方案二检测次数的期望值，即可求得的取值范围．
本题主要考查离散型随机变量的数学期望，考查运算求解能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：因为，所以，
若，则在上恒成立，故在上单调递增，
若，则当时，；当时，．
故在上单调递增，在上单调递减．
综上所述，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在上单调递减．
由等价于．
令，函数，则，由，可得．
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
故．
所以的取值范围为． 

【解析】化简函数的解析式，求出导函数，通过的范围，判断导函数的符号，求解函数的单调区间即可．
由等价于令，函数，通过函数的导数求解函数的单调性，求出函数的最小值，即可得到的取值范围．
本题考查函数导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，是难题．
 

22.【答案】解：依题意得对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
所以，
又，当且仅当时取“”，所以，
即实数的取值范围是．
证明：由知当时单调递减，无极值点，不满足条件，
当时，令，
得，则，所以其两根为，，
由韦达定理得，
又因为，所以，满足条件，
令，则，
所以，所以，
要证只需证，
即证，即证，即，
令，即证，
令，，
则，
所以在单增，，
故结论得证． 

【解析】先求，将对任意的恒成立问题转化为对任意的恒成立问题，再分离参数，结合对勾函数的性质即可得到实数的取值范围；
结合知当时单调递减，无极值点，不满足条件；讨论当时，得到，满足条件，先证明，再将要证转化为只需证，构造函数，再通过函数的单调性即可证明结论．
本题主要考查利用导数研究函数的极值与最值，考查不等式恒成立问题，不等式的证明，考查运算求解能力，属于难题．