安徽省太和中学2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试卷(含答案)

这是一份安徽省太和中学2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．复数的虚部为( )
A.B.C.D.
2．已知一组数据:55,64,92,76,88,67,76,90,则这组数据的第百分位数是( )
A.90B.88C.82D.76
3．函数的单调递增区间为( )
A.B.C.D.
4．已知m,n是两条不同的直线,,是两个不重合的平面,则下列命题正确的是( )
A.若,,,则
B.若,,,则
C.若,,,则
D.若,,,则
5．设奇函数的定义域为,当时,函数的图象如图所示,则不等式的解集为( )
A.B.CD.
6．如图,在正三棱柱中,M为棱的中点,N为棱上靠近点C的一个三等分点,若记正三棱柱的体积为V,则四棱锥的体积为( )
A.B.C.D.
7．若,,,则a,b,c的大小关系是( )
A.B.C.D.
8．已知函数,若对,,,使得,则a的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．小胡同学参加射击比赛,打了8发子弹,报靶数据如下:（单位:环）,则下列说法正确的是( )
A.这组数据的众数为9B.这组数据的平均数是8.5
C.这组数据的极差是4D.这组数据的标准差是2
10．若,,且,则下列不等式恒成立的是( )
A.B.C.D.
11．定义,设,则( )
A.有最大值,无最小值
B.当,的最大值为
C.不等式的解集为
D.的单调递增区间为
三、填空题
12．在复平面内,若复数z对应的点的坐标为,则__________.
13．在三棱锥中,平面平面ABC,是边长为4的等边三角形,,,则三棱锥的外接球的表面积为__________.
14．在平面直角坐标系xOy中,,,点是线段MN上的动点,设,则的最大值为______.
四、解答题
15．如图所示,为四边形OABC的斜二测直观图,其中,,.
（1）画出四边形OABC的平面图并标出边长,并求平面四边形的面积;
（2）若该四边形OABC以OA为旋转轴,旋转一周,求旋转形成的几何体的体积及表面积.
16．随着社会经济的发展,物业管理这个行业发展迅猛,某小区居民代表组织居民对所属物业公司的服务进行问卷调查,随机选取了200户居民的问卷评分（得分都在分内,满分100分）,并将评分按照,,,,分成5组,绘制成如图所示的频率分布直方图.
注:本次评分不低于80分的居民支持所属物业公司延续服务;成绩低于80分的居民支持更换新物业公司.
（1）求这200户居民本次问卷评分的中位数;
（2）若该小区共有居民1200户,试估计该小区居民支持所属物业公司延续服务的有多少户?
（3）按比例分配的分层随机抽样的方法从评分在,内的住户中选取5户,再从这5户中任意选取2户,求这2户中至少有1户支持所属物业公司延续服务的概率.
17．已知,且.
（1）求和的值;
（2）若,且,求的值.
18．在中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.
（1）求角B的大小;
（2）若为锐角三角形,且,求的面积的取值范围.
19．如图,在直三棱柱中,,,,点D,E分别为棱BC,的中点,点F是线段CE的中点.
（1）求证:平面BCE;
（2）求直线DF与平面ABF所成角的正弦值;
（3）求二面角的余弦值.
参考答案
1．答案：B
解析：由题意,复数,
所以复数的虚部为.
故选:B.
2．答案：A
解析：将数据从小到大排列为:55,64,67,76,76,88,90,92,
又,
所以这组数据的第百分位数是.
故选:A
3．答案：A
解析：对于函数,令,即,解得,
所以函数的定义域为,
又,所以在上单调递减,在上单调递增,
函数在定义域上单调递增,
所以的单调递增区间为,单调递减区间为.
故选:A
4．答案：C
解析：对于A,若,,,当m,n都平行于,的交线时,
满足条件,此时,相交,故A错误;
对于B,若,,,则m,n可能异面,故B错误;
对于C,若,,,则,故C正确;
对于D,若,,,则m,n可能平行或异面,故D错误.
故选:C.
5．答案：C
解析：
因为函数是奇函数,所以在上的图象关于坐标原点对称,
由在上的图象,知它在上的图象如图所示,
则不等式的解集为.
故选:C.
6．答案：B
解析：正三棱柱中,设,,
取AC的中点D,连接BD,
则,,,
正三棱柱的体积,
平面ABC,平面ABC,则BD,
又,,,平面,则平面,
,
则四棱锥体积.
故选:B.
7．答案：D
解析：因为,
由所以,
即;
又,
故;
因为,所以,
又,
又,所以.
故选:D.
8．答案：A
解析：因,则,
所以,
当且仅当,即时,等号成立,所以,
又因为,且,
可知函数在上单调递增,
可得,所以,
即若,则,,
若对,,,使得,
则,解得,
所以a的取值范围是.
故选:A.
9．答案：AC
解析：对于A,由题意知这组数据的众数为9,故A正确;
对于B,这组数据的平均数是,故B错误;
对于C,这组数据的极差是,故C正确;
对于D,这组数据的方差是,
所以这组数据的标准差是,故D错误.
故选:AC.
10．答案：AD
解析：对于A,因为,,,所以,得,
则,
当且仅当,即时取等号,所以,故A正确;
对于B,由及,得,解得,
当且仅当时取等号,故B错误;
对于C,,当且仅当时取等号,故C错误;
对于D,,当且仅当时取等号,故D正确.
故选:AD.
11．答案：BC
解析：作出函数的图象,如图实线部分,
对于A,根据图象,可得无最大值,无最小值,故A错误;
对于B,根据图象得,当时,的最大值为,故B正确;
对于C,由,解得,结合图象,得不等式解集为,
故C正确;
对于D,由图象得,的单调递增区间为,故D错误.
故选:BC.
12．答案：
解析：由题意得,
所以
.
故答案为:
13．答案：或
解析：在中,,,,由余弦定理得,
即,解得,
所以,所以,
取AB的中点D,连接CD,则.
记的外接圆的圆心为O,又是等边三角形,
所以,
又平面平面ABC,平面平面,平面PAB,
所以平面ABC,
又AD,CD,平面ABC,所以,,,
所以,
所以O为三棱锥的外接球的球心,PO为三棱锥的外接球的半径,
所以三棱锥的外接球的表面积为.
故答案为:
14．答案：
解析：因为,,所以,
因为,所以,
因为点为线段MN上的动点,则,
所以,,
所以,
所以,
其中,,且为锐角,则,
所以当时,的最大值为.
故答案为:
15．答案：（1）作图见解析,4;
（2）,.
解析：（1）在直观图中,,,
则在平面图形中,,,于是,
所以平面四边形OABC的平面图形如下图所示:
由上图可知,平面四边形OABC为直角梯形,所以面积为.
（2）直角梯形OABC以OA为轴,旋转一周而成的几何体可以看成圆柱加上一个同底的圆锥,
由（1）可知几何体底面圆半径为,圆柱母线长和高都为1,即;
圆锥的高为,母线长为,
所以体积;
所以表面积.
16．答案：（1）.
（2）480
（3）.
解析：（1）由图知,,解得.
评分在的频率为;
评分在的频率为,故中位数在之间.
设这200户居民本次问卷评分的中位数为x,
则,
解得,
故这200户居民本次问卷评分的中位数为.
（2）由图知,评分在的频率为,
故可估计该小区居民支持所属物业公司延续服务的概率约为0.4,
估计该小区居民支持所属物业公司延续服务的有户.
（3）由（1）知,评分在的频数为,
评分在的频数为.
按比例分配的分层抽样的方法从中选取5户,
则评分在内被抽取户,
分别记为,,评分在内被抽取户,分别记为,,.
从中任意选取2户,有,,,,,,,,,,共10种选法,
其中至少有1户支持所属物业公司延续服务的选法有,,,,,,,,,共9种,
这2户中至少有1户支持所属物业公司延续服务的概率.
17．答案：（1）,
（2）
解析：（1）因为,又,
解得,或,,
又,所以,,
所以.
所以
;
（2）因为,且,所以,
所以,
由,,得,所以.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为,
由正弦定理得,
所以
,
又,所以,所以,即,
所以,可得,
所以或,
又,所以.
（2）由正弦定理,可得,
所以,
所以,
又由为锐角三角形,且,则,解得,
因为在上单调递增,所以,
所以,即的面积的取值范围是.
19．答案：（1）证明见解析
（2）
（3）
解析：（1）在直三棱柱中,平面ABC,又平面ABC,所以,
又,,平面,所以平面,
又平面,所以.
在矩形中,,,点E是棱的中点,
所以,所以是等边三角形,
又点F是线段CE的中点,所以,
又,CE,平面BCE,所以平面BCE.
（2）在平面BCE内,过点D作BF的垂线,垂足为H,如图所示.
由（1）知平面BCE,又平面BCE,所以,
又,,平面ABF,所以平面,
所以是直线DF与平面ABF所成角.
在中,,,所以,
又点D为棱BC的中点,所以.
因为平面,又平面,所以,
所以,.
在中,由余弦定理得,
所以,即直线DF与平面ABF所成角的正弦值为.
（3）在平面内,过点F作AC的垂线,垂足为O,在平面ABC内,过O作AD的垂线,垂足为G,连接FG,如图所示.
因为平面,又平面,所以,
又,,平面,所以平面,
又平面,所以,,
又,,GO,平面GOF,所以平面GOF,
又平面GOF,所以,又,
所以为二面角的平面角.
在中,.
因为平面BCE,平面BCE,所以,
又易得,,所以,
由等面积法可知.
在中,,,,所以,
所以,即二面角的余弦值为.