2024—2025学年度黑龙江省哈尔滨市高二上学期11月（期中）考试数学试题[含解析]

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一、单选题（本大题共10小题）
1．直三棱柱中，若，则（ ）
A．B．
C．D．
2．已知点，，若直线的斜率为，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知焦点在轴上的椭圆的焦距为6，则实数等于（ ）
A．B．C．12D．
5．已知正方体的棱长为1，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知圆，圆，则这两圆的位置关系为（ ）
A．内含B．相切C．相交D．外离
7．设直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则（ ）
A．B．C．D．或
8．与平行，则（ ）
A．B．C．D．2
9．经过点，斜率为的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
10．已知，则该圆的圆心坐标和半径分别为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
二、多选题（本大题共2小题）
11．下列结论错误的是（ ）
A．过点，的直线的倾斜角为
B．若直线与直线平行，则
C．直线与直线之间的距离是
D．已知，，点在轴上，则的最小值是5
12．以A（1，1），B(3，-5)两点的线段为直径的圆，则下列结论正确的是（ ）
A．圆心的坐标为（2，2）B．圆心的坐标为（2，-2）
C．圆心的坐标为（-2，2）D．圆的方程是
E．圆的方程是
三、填空题（本大题共4小题）
13．已知平面的法向量是，平面的法向量是，若，则的值是 .
14．直线与圆的位置关系是 .
15．三条直线与相交于一点，则的值为 .
16．在空间直角坐标系中，直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角为 .
四、解答题（本大题共3小题）
17．求满足下列条件的直线方程（要求把直线的方程化为一般式）：
(1)已知，，，求的边上的中线所在的直线方程.
(2)直线经过点，倾斜角为直线的倾斜角的2倍，求的方程.
18．如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点，G在棱CD上，且，H是的中点．建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题：
(1)求证：；
(2)求异面直线EF与所成角的余弦值.
19．已知圆C经过坐标原点O和点（4，0），且圆心在x轴上
(1)求圆C的方程；
(2)已知直线l：与圆C相交于A、B两点，求所得弦长的值．
答案
1．【正确答案】D
【详解】.
故选：D．
2．【正确答案】C
【详解】若直线的斜率为，则，
所以，
故选：C.
3．【正确答案】C
【详解】向量，则.
故选：C
4．【正确答案】C
【详解】由题意知，，
又，所以，
即实数的值为12.
故选：C
5．【正确答案】D
【详解】
以为原点，为单位正交基底建立空间直角坐标系，
则，A1,0,0，，，，，
所以，，，．
因为，所以．
故选：D.
6．【正确答案】A
【详解】圆的圆心为，半径；
圆的圆心为，半径，
则，故，所以两圆内含；
故选：A
7．【正确答案】D
【详解】∵直线的方向向量为，平面的法向量为且，即，
∴或.
故选：D
8．【正确答案】B
【详解】由与平行，得，所以.
故选：B
9．【正确答案】A
【详解】经过点，斜率为的直线方程为，即.
故选：A.
10．【正确答案】A
【详解】的标准方程为，故所求分别为，.
故选：A.
11．【正确答案】AC
【详解】对于A，，即，故A错误；
对于B，直线与直线平行，所以，解得，故B正确；
对于C，直线与直线（即）之间的距离为，故C错误；
对于D，已知，，点在轴上，如图
取关于轴的对称点，连接交轴于点，此时，
所以的最小值是5，故D正确；
故选：AC.
12．【正确答案】BE
【详解】AB的中点坐标为，则圆心的坐标为
又，则圆的半径为
所以圆的方程是
故选：BE
13．【正确答案】6
【详解】∵，∴的法向量与的法向量也互相平行.
∴，∴.
故6.
14．【正确答案】相交
【详解】圆的圆心为，半径为，
因为圆心到直线的距离为，
所以直线与圆相交.
故相交
15．【正确答案】3
【详解】由，即三条直线交于，
代入，有.
故3
16．【正确答案】
【分析】应用向量夹角的坐标表示求线面角的正弦值，即可得其大小.
【详解】设直线与平面所成的角为，
则，所以.
故
17．【正确答案】(1)x+5y﹣15＝0
(2)4x﹣3y+5＝0
【详解】（1）因为，则的中点，
因为的边上的中线过点，
所以的方程为，即，
故的边上的中线所在的直线方程为；
（2）设直线的倾斜角为， 则，则所求直线的倾斜角为，
因为，所以，
又直线经过点，故所求直线方程为，即4x﹣3y+5＝0；
18．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：如图，以D为原点，以射线DA、DC、分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，
则，E0,0,1，，，，
，，
所以，，
所以，
所以，故．
（2）因为，所以．
因为，且，
所以．
19．【正确答案】(1)
(2)
【分析】
（1）求出圆心和半径，写出圆的方程；（2）求出圆心到直线距离，进而利用垂径定理求出弦长.
(1)
由题意可得，圆心为(2，0)，半径为2．则圆的方程为；
(2)
由（1）可知：圆C半径为，设圆心（2，0）到l的距离为d，则，由垂径定理得：．