2025--2026学年黑龙江省哈尔滨市第九中学校高一下册期中考试数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年黑龙江省哈尔滨市第九中学校高一下册期中考试数学试题 [含解析]，共10页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 设，则在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
2. 已知向量，满足，，，则（ ）
A. B. 1C. 2D. 3
3. 在中，分别是所对的边，若，则此三角形是（ ）
A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形
4. 在空间中，若直线平面，直线平面，则与（ ）
A. 相交
B. 平行
C. 是异面直线
D. 可能平行，也可能是异面直线
5. 已知单位向量满足，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，按斜二测画法所得水平放置的平面四边形的直观图为梯形其中 以原四边形的边为轴旋转一周得到的几何体体积为（ ）
A. B.
C. D.
7. 直三棱柱的底面是以C为直角的等腰直角三角形，且，在面对角线上存在一点P使P到和P到A的距离之和最小，则这个最小值是（ ）
A. 2B. C. D.
8. 如图，三棱台中，，则三棱锥，，的体积之比为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，有选错的得0分.
9. 中，，，则（ ）
A. B. 的角平分线交AB于D，则
C. D. 在上的投影向量是
10. 已知复数（i为虚数单位），则（ ）
A. 的共轭复数为B. 的虚部为
C. D.
11. 如图，正方体的棱长为1，且M，N分别为，的中点，则下列说法正确的是（ ）
A. 平面B. 与所成角为45°
C. 三棱锥的体积为D. 点到平面的距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 已知正方体内切球半径为1，则该正方体外接球的表面积为_________．
13. 将一个圆形纸片裁成两个扇形，再分别卷成甲、乙两个圆锥的侧面，甲、乙两个圆锥的侧面积分别为和，体积分别为和，若，则_____.
14. 如图所示，若，点与分别在直线两侧，且，则长度的最大值为______．
四、解答题：本题有5道题，总共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知向量，.
（1）求；
（2）若与垂直，求实数的值.
16. 已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且.
（1）求角C及边c的值；
（2）求的最大值.
17. 如图，正三棱柱内接于一个圆柱，圆柱的体积是54π，且底面直径与母线长相等.
（1）求圆柱的底面半径；
（2）求三棱柱的体积与表面积.
18. 如图，在正方体中，点G，E，F，P分别为棱，，，的中点，点M是棱上的一点，且

（1）求证：D，B，F，E四点共面；
（2）求证：平面；
（3）棱上是否存在一点N使平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
19. 已知在任意一个三角形的三边上分别向外作出一个等边三角形，则这三个等边三角形的中心也构成等边三角形，我们称由这三个中心构成的三角形为外拿破仑三角形.在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且，以的边，，分别向外作的三个等边三角形的中心分别记为，，，记为的外接圆半径.
（1）若，求的值；
（2）在（1）的条件下，求边长的最大值；
（3）若的面积为，且，求面积的取值范围.
数学
一、单项选择题：本大题共8个小题，每个小题5分，共40分，在每个小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设，则在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
答案：B
解析：
思路：根据复数的几何意义求出复数所对应的点的坐标即可.
解答过程：复数在复平面内对应的点为，位于第二象限.
故选：B.
2. 已知向量，满足，，，则（ ）
A. B. 1C. 2D. 3
答案：B
解析：
解答过程.
3. 在中，分别是所对的边，若，则此三角形是（ ）
A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形
答案：B
解析：
思路：由正弦定理边化角，化简后即可求解.
解答过程：在中，，
因此可得 ，，
将其代入已知条件 ，
因为是三角形内角，，所以，
又是三角形内角，故，
所以此三角形是直角三角形.
4. 在空间中，若直线平面，直线平面，则与（ ）
A. 相交
B. 平行
C. 是异面直线
D. 可能平行，也可能是异面直线
答案：D
解析：
解答过程：由题意，在空间中，直线与没有公共点，即与不相交，
则与可能平行，也可能是异面直线.
5. 已知单位向量满足，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
解答过程：因为，
所以，
解得，
又因为，所以
6. 如图，按斜二测画法所得水平放置的平面四边形的直观图为梯形其中 以原四边形的边为轴旋转一周得到的几何体体积为（ ）
A. B.
C. D.
答案：D
解析：
思路：根据斜二测画法规则还原出原图形，进而确定旋转体的形状，再利用几何体体积公式计算即可.
解答过程：由题意，，
所以 ，
如图，原四边形 中，，
则以直角梯形的边为轴旋转一周得到的几何体为圆台，
故其体积为.
7. 直三棱柱的底面是以C为直角的等腰直角三角形，且，在面对角线上存在一点P使P到和P到A的距离之和最小，则这个最小值是（ ）
A. 2B. C. D.
答案：D
解析：
思路：确定和的形状，然后把这两个三角形沿 摊平，变成平面四边形，在平面图形中线段 就是所求最小值．
解答过程：因为直三棱柱的底面是以C为直角的等腰直角三角形，且 ，
所以，又是等腰直角三角形， ，
把和所在平面沿 摊平得四边形，如图， 是这个四边形的对称轴， 即为所求最小值．
故选：D．
方法提示：思路点睛：本题考查空间图形中距离的最小问题，解题方法是把空间不共面的图形展开后变成一个平面图形，利用平面上两点之间线段最短的性质求解．
8. 如图，三棱台中，，则三棱锥，，的体积之比为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：利用三棱锥和三棱台的体积公式，分别求出相应多面体的体积，再计算体积之比．
解答过程：设棱台的高为，，则，
，
，
又，
，
，故C正确．
故选：C．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，有选错的得0分.
9. 中，，，则（ ）
A. B. 的角平分线交AB于D，则
C. D. 在上的投影向量是
答案：ACD
解析：
解答过程：由余弦定理，得，故，A正确；
因为，所以是等腰三角形，平分，
所以是的垂直平分线，所以，所以，所以B不正确；
由，，所以，
因为是等腰三角形，所以， ，所以C正确；
向量在上的投影向量为 ，
，故投影向量为，所以D正确.
10. 已知复数（i为虚数单位），则（ ）
A. 的共轭复数为B. 的虚部为
C. D.
答案：BD
解析：
思路：对复数化简为，根据共轭复数概念判断A；根据复数虚部的定义判断B；根据共轭复数的概念以及复数的乘法判断C；根据复数模的运算判断D.
解答过程：对于A，，的共轭复数为，故A错误；
对于B，的虚部为，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确.
11. 如图，正方体的棱长为1，且M，N分别为，的中点，则下列说法正确的是（ ）
A. 平面B. 与所成角为45°
C. 三棱锥的体积为D. 点到平面的距离为
答案：ABD
解析：
思路：由线面平行的判定定理判断A；由异面直线所成角定义计算判断B；由三棱锥体积计算公式计算判断C；根据等体积法计算判断D.
解答过程：对A选项，如图，连接，则为中点，

又为的中点，所以，
又平面平面，
平面，故A选项正确；
对B选项，由A可知，为与所成角或其补角，
由正方体性质可知，，故B选项正确；
对C选项，三棱锥的体积为
，故C选项错误；
对D选项，设点到平面的距离为，则，
，，故D选项正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 已知正方体内切球半径为1，则该正方体外接球的表面积为_________．
答案：
解析：
解答过程：由正方体内切球半径为1，则该正方体棱长为，
故该正方体外接球的半径为该正方体体对角线一半，即为，
则该正方体外接球的表面积.
13. 将一个圆形纸片裁成两个扇形，再分别卷成甲、乙两个圆锥的侧面，甲、乙两个圆锥的侧面积分别为和，体积分别为和，若，则_____.
答案：
解析：
思路：设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，根据圆锥的侧面积公式可得，再结合圆心角之和可将分别用表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得解.
解答过程：设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，
则，所以，
又，则，所以，
所以甲圆锥的高，
乙圆锥的高，
所以.
故答案为.
14. 如图所示，若，点与分别在直线两侧，且，则长度的最大值为______．
答案：##
解析：
思路：设，利用余弦定理及三角恒等变换将表示为的函数，再利用正弦函数的性质求出最大值.
解答过程：在中，，设，则，，
在中，，则，
由余弦定理得
，
因，则，
故当，即时，，
所以的最大值为.
四、解答题：本题有5道题，总共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知向量，.
（1）求；
（2）若与垂直，求实数的值.
答案：（1）
（2）1
解析：
思路：（1）由向量的坐标运算及模的公式即可求解；
（2）由向量垂直的坐标公式列出方程求解即可.
（1）由，，
可得：，
所以.
（2），，
因为与垂直，
所以，
解得.
16. 已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且.
（1）求角C及边c的值；
（2）求的最大值.
答案：（1），
（2）4
解析：
（1）由，
根据余弦定理，得，
因为，则.
由，得，
根据正弦定理，得，则.
（2）由（1）知，，
则，即，
当且仅当时等号成立，
则的最大值为4.
17. 如图，正三棱柱内接于一个圆柱，圆柱的体积是54π，且底面直径与母线长相等.
（1）求圆柱的底面半径；
（2）求三棱柱的体积与表面积.
答案：（1）3 （2），
解析：
思路：（1）根据圆柱的体积公式求圆柱的底面半径；
（2）根据三棱柱的体积和表面积公式求解即可.
（1）设圆柱的底面半径为，则圆柱的高为.
由题意.
即圆柱的底面半径为3.
（2）因为为等边三角形，且其外接圆半径为3，
由正弦定理。，解得，则，
又三棱柱的高即圆柱的高为6，所以；
则三棱柱的表面积为.
18. 如图，在正方体中，点G，E，F，P分别为棱，，，的中点，点M是棱上的一点，且

（1）求证：D，B，F，E四点共面；
（2）求证：平面；
（3）棱上是否存在一点N使平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）存在，
解析：
思路：（1）连接，可证四边形为平行四边形，得到，进而可证即可证明；
（2）连接、分别交于点H、O，连接，即可证明，从而得到，再根据线面平行判定证明即可；
（3）根据题意，首先,则，再由时，根据面面平行的判定证明即可．
（1）连接，因为点E，F分别为棱，的中点，所以，

又在正方体中且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
所以，所以D，B，F，E四点共面；
（2）连接、分别交于点H、O，连接，
在正方体中，且，
所以，则，
同理可得，
所以，所以，
又平面，平面，所以平面；
（3）存在，且，理由如下：
因为，
所以，
，
又，
，
平面，平面，
平面，
延长交于，延长交于，连接，

为中点，易得，
，
分别为的中点，易得，
，，
，又，即，
四边形为平行四边形，
，
又平面，平面，
所以平面，
又平面，
平面平面，
所以时，平面平面．
19. 已知在任意一个三角形的三边上分别向外作出一个等边三角形，则这三个等边三角形的中心也构成等边三角形，我们称由这三个中心构成的三角形为外拿破仑三角形.在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且，以的边，，分别向外作的三个等边三角形的中心分别记为，，，记为的外接圆半径.
（1）若，求的值；
（2）在（1）的条件下，求边长的最大值；
（3）若的面积为，且，求面积的取值范围.
答案：（1）
（2） （3）
解析：
思路：（1）由正弦定理求出A，再由题意可求解；
（2）由（1）知，由余弦定理和勾股定理得到，在中，利用余弦定理及基本不等式求解；
（3）由余弦定理及面积公式转化为关于正切的三角函数，根据，利用正弦定理和正切函数求解.
（1）在中，由正弦定理，得，
又是锐角三角形，所以.
而分别是以为边的等边三角形的中心，
所以，从而.
（2）由（1）知，
在中，设，，
由余弦定理得，即，
故，故，同理，
所以.
而在中由余弦定理有，
.
当且仅当时等号成立，从而，
由题意可得为等边三角形，故边长的最大值为.
（3）由的面积为知，
在，中分别由余弦定理有
①，
②.
联立①②，消去，
可得.
所以面积，
又，
所以.
从而得面积的取值范围是.