2025--2026学年吉林省吉林市第二中学高二下册期中考试数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年吉林省吉林市第二中学高二下册期中考试数学试题 [含解析]，共10页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷两部分；等内容，欢迎下载使用。
说明：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分；
2、满分150分，考试时间120分钟．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 的运算结果等于（ ）
A. 720B. 70C. 120D. 107
2. 从5人中选出4人分别到吉林、沈阳、大连、哈尔滨四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这5人中甲、乙两人不去沈阳游览，则不同的选择方案共有（ ）
A. 48种B. 72种C. 96种D. 120种
3. 若函数在上可导，其导函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）
A. 函数有极大值，无极小值B. 函数有极小值，无极大值
C. 函数有极大值和极小值D. 函数有极大值和极小值
4. 函数的单调减区间是（ ）
A. B. C. D.
5. 若函数，则（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
6. 某校男女生人数之比为9：11，其中男生近视率为0.4，女生近视率为0.6，则该校学生的近视率为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数在处有极小值，则（ ）
A. B. C. 或D. 或
8. 若定义在区间D上的函数，，都有成立，则称为区间D上的“M函数”，若是区间上的“M函数”，则a的最小值为（ ）
A. B. C. D. 0
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列式子求导正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知函数，则（ ）
A. 在单调递增
B. 有两个零点
C. 曲线在点处切线的斜率为0
D. 是偶函数
11. 下列说法正确的是（ ）
A. 某街道只有4个不同的邮筒，现将5封信投入邮筒寄走，共有种投法
B. 7个人计划同时去A，B，C，D四个城市旅游，有一个城市去1个人，其余城市各去2个人，则不同的旅行方案共有2520种
C. 从6名男生和4名女生中选4人参加比赛，若4人中必须既有男生又有女生，共有194种选法
D. 把5个不同颜色的小球投入4个不同的盒子里，每个盒子至少投1个球，不同的投法共有240种
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 展开式中的常数项为_____．（用数字作答）
13. 函数在上是增函数，则的取值范围是______．
14. 从数字1，2，3，4，5中一次随机选取两个不同的数，在至少有一个为奇数的条件下，这两个数为一奇一偶的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 7名同学站成一排照相，求满足下列条件的排法数：（用数字作答）
（1）甲乙两人都不站在排头．
（2）甲不站在排头且乙不站在排尾．
（3）甲与乙相邻，且都不与丙相邻．
16. 已知函数在处取得极值为.
（1）求，的值；
（2）求在点处的切线方程.
17. 已知．
（1）求的值．
（2）求的值．
（3）求的值．
18. 一个不透明的袋子中有8个大小和形状完全一致的小球，其中标记数字1，2的小球各有3个，标记数字3的小球有2个，一次性从袋子中随机摸出3个小球．
（1）求摸出的小球中，没有标记数字3的小球的概率；
（2）记摸出的小球上标记的最大数字为X，求X的分布列及数学期望．
19. 已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数在上有且仅有2个零点，求的取值范围．
（3）对任意，恒成立，求的取值范围．
数学
第Ⅰ卷
说明：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分；
2、满分150分，考试时间120分钟．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 的运算结果等于（ ）
A. 720B. 70C. 120D. 107
答案：C
解析：
解答过程.
2. 从5人中选出4人分别到吉林、沈阳、大连、哈尔滨四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这5人中甲、乙两人不去沈阳游览，则不同的选择方案共有（ ）
A. 48种B. 72种C. 96种D. 120种
答案：B
解析：
思路：先确定去沈阳游览的人，再确定剩下三个城市游览的人，即可求解．
解答过程：先从除甲、乙两人之外的3人中选1人去沈阳游览，共有种，
再从剩余4人中选3人到其他三个城市游览，共有种，
所以不同的选择方案共有种．
故选：B
3. 若函数在上可导，其导函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）
A. 函数有极大值，无极小值B. 函数有极小值，无极大值
C. 函数有极大值和极小值D. 函数有极大值和极小值
答案：C
解析：
思路：先根据图像分析出导函数的增减区间，进而分析出极值即可选出答案.
解答过程：由函数的图象可得，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以函数有极大值，和极小值，C正确.
4. 函数的单调减区间是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：对函数求导，令导函数为负，求解不等式即可确定函数的单调减区间.
解答过程：因为函数，求导得，
令，因此，函数的单调减区间是，故A正确.
5. 若函数，则（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
答案：C
解析：
解答过程：因为，
所以，
则，
解得.
6. 某校男女生人数之比为9：11，其中男生近视率为0.4，女生近视率为0.6，则该校学生的近视率为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：根据全概率的公式进行求解即可.
解答过程：设该校总学生人数为，则根据题意得
.
故选：D.
7. 已知函数在处有极小值，则（ ）
A. B. C. 或D. 或
答案：A
解析：
解答过程：由题意得，
由题可知，解得或．
当时，，
当时，或，当时，，
即在和上单调递增，在上单调递减.
此时在处取得极大值，不符合题意；
当时，，
当时，或，当时，，
即在和上单调递增，在上单调递减.，
此时在处取得极小值，符合题意.
8. 若定义在区间D上的函数，，都有成立，则称为区间D上的“M函数”，若是区间上的“M函数”，则a的最小值为（ ）
A. B. C. D. 0
答案：A
解析：
思路：根据函数新定义推得在区间上恒成立，设，求导判断其单调性求出其最大值即得a的最小值.
解答过程：因是区间上的“M函数”，则在区间上恒成立，即在区间上恒成立，
设，则，当时，，当时，，
故函数在上单调递增，在上单调递减，
则在时取得极大值，也是最大值，故a的最小值为.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列式子求导正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：AD
解析：
解答过程：，所以A正确；
是常数，所以，所以B不正确；
，所以C不正确；
，所以D正确.
10. 已知函数，则（ ）
A. 在单调递增
B. 有两个零点
C. 曲线在点处切线的斜率为0
D. 是偶函数
答案：AC
解析：
思路：通过对函数求导，即可得出结论.
解答过程：由题意，，
在中，，
∴当时，，
∴曲线在点处切线的斜率为，C正确；
A项，当时，，
故在单调递增，A正确；
B项，当时，，
当时，，所以只有0一个零点，B错误；
D项，函数的定义域为，不关于原点对称，∴不是偶函数，D错误.
故选：AC.
11. 下列说法正确的是（ ）
A. 某街道只有4个不同的邮筒，现将5封信投入邮筒寄走，共有种投法
B. 7个人计划同时去A，B，C，D四个城市旅游，有一个城市去1个人，其余城市各去2个人，则不同的旅行方案共有2520种
C. 从6名男生和4名女生中选4人参加比赛，若4人中必须既有男生又有女生，共有194种选法
D. 把5个不同颜色的小球投入4个不同的盒子里，每个盒子至少投1个球，不同的投法共有240种
答案：BCD
解析：
思路：对于A，只需考虑依次将5封信投入4个不同的邮筒即得；对于B，先确定去1个人的城市和那个人，再进行部分平均分组，最后全排即得；对于C，用方法总数减去对立事件方法数即得；对于D，可采用先分组分配再全排的方法即可.
解答过程：对于A，将5封信投入4个不同的邮筒，每封信都有4种选择，故投法有种，故A错误；
对于B，依题意，可在7个人中确定1个人，在A，B，C，D四个城市中确定1个城市，再将剩下的6个人平均分成3组，
在剩下的3个城市进行全排，故不同的旅行方案共有种，故B正确；
对于C，由题意，可考虑其对立事件，即4人中全是男生或者全是女生，有种选法，
而从6名男生和4名女生中选出4人的方法数有种，
故4人中必须既有男生又有女生的方法数为种，故C正确；
对于D，依题意，应先将5个不同颜色的小球按照分组，再投入4个不同的盒子，故不同的投法有种，故D正确.
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 展开式中的常数项为_____．（用数字作答）
答案：
解析：
思路：根据题意，求得二项展开式的通项，结合通项，进而求得展开式中的常数项.
解答过程：由二项式展开式的通项为，
令，可得，故展开式中的常数项为．
13. 函数在上是增函数，则的取值范围是______．
答案：
解析：
思路：根据条件得在上恒成立，利用二次函数的性质，即可求解.
解答过程：因为，则，
由题知在上恒成立，所以，
解得，所以的取值范围是.
14. 从数字1，2，3，4，5中一次随机选取两个不同的数，在至少有一个为奇数的条件下，这两个数为一奇一偶的概率为______．
答案：
解析：
思路：利用条件概率公式计算即可.
解答过程：设选取两个不同的数，其中至少有一个为奇数为事件，这两个数为一奇一偶为事件，
则，，
则在至少有一个为奇数的条件下，这两个数为一奇一偶的概率为.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 7名同学站成一排照相，求满足下列条件的排法数：（用数字作答）
（1）甲乙两人都不站在排头．
（2）甲不站在排头且乙不站在排尾．
（3）甲与乙相邻，且都不与丙相邻．
答案：（1）
（2）3720 （3）960
解析：
思路：（1）根据特殊位置优先法先安排甲和乙，再考虑其他同学即可；
（2）依题意将情况分成“甲站在排尾”或“甲不站在排头且不站在排尾”两类情况，先考虑甲与乙的站位，再排其他同学即可；
（3）利用相邻元素“捆绑法”与不相邻元素“插空法”即可求得.
（1）依题意，只需在除了排头外的6个位置中选2个给甲和乙，然后让另外5人在剩下的5个位置上进行全排，
则排法数为种；
（2）将情况分成两类：① 甲站在排尾，有种排法；
② 甲不站在排头且不站在排尾，则先在中间5个位置选1个给甲，然后在除去甲的站位与排尾两个站位外的5个位置选1个给乙，
最后让另外5人在剩下的5个位置上进行全排，故有种排法.
由分类加法计数原理，可得排法数为种；
（3）先将甲与乙“捆绑”，考虑内部排序，再将这个大元素与丙在另外4人留下的5个空位上进行排列，
最后让这4人在预留的4个位置上进行全排，故有种排法.
16. 已知函数在处取得极值为.
（1）求，的值；
（2）求在点处的切线方程.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）求导后结合极值定义计算即可得；
（2）利用导数的几何意义计算即可得.
（1），依题意，，，
解得；
检验：当时，，则，
当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
故是该函数的极值点，符合题意，
故；
（2）， ，
，，
故切线方程为：，整理得.
17. 已知．
（1）求的值．
（2）求的值．
（3）求的值．
答案：（1）
（2）0 （3）12
解析：
思路：（1）根据二项展开式的结构即求的系数；
（2）分别对二项式赋值，联立两式，计算即得；
（3）对二项展开式两边求导，再代值计算即得.
（1）由题意，可知为展开式中的系数，即，
故；
（2）在中，
令，得；再令，可得，
两式相减，得；
（3）由两边求导，
可得，
令，得.
18. 一个不透明的袋子中有8个大小和形状完全一致的小球，其中标记数字1，2的小球各有3个，标记数字3的小球有2个，一次性从袋子中随机摸出3个小球．
（1）求摸出的小球中，没有标记数字3的小球的概率；
（2）记摸出的小球上标记的最大数字为X，求X的分布列及数学期望．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）利用古典概型概率公式与组合数公式计算即得；
（2）首先确定的所有可能取值，然后分别计算取每个值时的概率，根据计算结果列出分布列，并计算出数学期望即可.
（1）在8个小球中，有2个标记数字为3的小球.
则摸出的3个小球中没有标记数字3的小球的概率为.
（2）依题意，的可能取值为1，2，3.
若，则必须摸出3个标记数字为1的小球，则；
若，则摸出小球的情况有3种：
① 摸出3个标记数字为2的小球，此时；
② 摸出2个标记数字为2的小球与1个标记数字为1的小球，此时；
③ 摸出1个标记数字为2的小球与2个标记数字为1的小球，此时；
则.
由（1）可得.
综上，的分布列见下表：
则.
19. 已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数在上有且仅有2个零点，求的取值范围．
（3）对任意，恒成立，求的取值范围．
答案：（1）当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为
（2） （3）
解析：
思路：（1）求函数的导函数，由求函数的单调递增区间，由求函数的单调递减区间；
（2）由可得，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围.
（3）由不等式整理得到，再通过分析的单调性，得到，再求解即可.
（1）因为，，
则，当时，，所以在上单调递增；
当时，由，得，
若，则；若，则．
所以的单调递增区间为，单调递减区间为．
综上所述，当时，函数的单调递增区间为；
当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）当时，由可得，
令，其中，则直线与函数在上的图象有两个交点.
，当时，，此时函数单调递增.
当时，，此时函数单调递减．
所以函数的极大值为，
且，，在的图象如图所示．
由图可知，当时，
直线与函数在上的图象有两个交点，
因此，实数的取值范围是．
（3）由，得恒成立，移项，
得恒成立.
构造函数，所以恒成立.
又∵在定义域内单调递增，
∴有在内恒成立，
∴恒成立，即.
由（2）可知最大值为，所以.
1
2
3
1
2
3