2025--2026学年吉林省吉林市田家炳高级中学高二下册期中考试数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年吉林省吉林市田家炳高级中学高二下册期中考试数学试题 [含解析]，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知随机变量X服从正态分布，若，则（ ）
A. 0.2B. 0.3C. 0.7D. 0.8
3. 甲、乙、丙三位同学从 7 处不同的景点中各自选 2 处旅游，则三人恰好选择一个相同的景点，且他们各自选择的另一个景点互不相同的选法共有（ ）
A. 840 种B. 420 种C. 210 种D. 140 种
4. 已知的展开式中的系数为5，则（ ）
A. 4B. 3C. D.
5. 某农科所在甲、乙、丙三个地块培育同一种苗，甲地块培育的一等种苗占比95%，乙地块培育的一等种苗占比80%，丙地块培育的一等种苗占比70%，甲、乙、丙培育的种苗数分别占总数的40%、30%、30%，将三个地块培育的种苗混放在一起. 从这批种苗中随机抽取一株，它是一等种苗的概率为（ ）
A. B. C. D.
6. 在中，，，，则边上的高为（ ）
A. B. C. D.
7. 当前，AI已从一个研究领域变成一类赋能技术．在医药健康领域，AI已应用于靶点发现、药物设计及临床试验等方面，显著提升了科研效率．假设某实验用AI辅助新药分子筛选，事件A是“AI模型筛选出候选分子M”，事件B是“AI模型筛选出候选分子N”．已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
8. 设函数，若恒成立，且在上最大值与最小值的和为0，则的最小值为（ ）
A. 8B. 6C. 5D. 4
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 有甲、乙、丙、丁、戊五位同学，下列说法正确的是（ ）
A. 若五位同学排队，要求甲、乙必须相邻且丙、丁不能相邻，则不同的排法有12种
B. 若五位同学排队，最左端只能排甲或乙，最右端不排甲，则不同的排法共有42种
C. 若甲、乙、丙三位同学按从左到右的顺序排队，其他人可以任意排列，则不同的排法有20种
D. 若甲、乙、丙、丁四位同学被分配到三个社区参加志愿活动，每个社区至少一位同学，每位同学只能去一个社区，则不同的分配方案有72种
10. 已知在的二项展开式中，第6项为常数项，则（ ）
A. B. 展开式中项数共有11项
C. 含的项的系数为D. 展开式中有理项的项数为3
11. 现有编号的个学生，入座编号的个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生数为，已知时共8种坐法，则（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 从装有5个红球和4个蓝球（球的大小和质地均相同）的盒子中随机取2个球，则在取到的2个球颜色相同的条件下，所取球都是红球的概率为__________．
13. 已知，则___________．
14. 有一个摸球游戏，规则如下：在盒子里放入大小、质地完全相同的4个红球和3个白球，不放回地依次随机取出，每次取出1个球，直到剩下只有一种颜色的球时游戏结束，则游戏结束时取球次数恰好为5次的概率为_______________.
四、解答题：本题共5小题；共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数.
（Ⅰ）若是第二象限角，且，求的值；
（Ⅱ）求函数的定义域和值域.
16. 《水浒传》是中国古典四大名著之一，是中国历史上最早用白话文写成的章回小说，由三十六天罡与七十二地煞共同构成一百零八将的主体框架，小明喜欢收集其中的人物卡牌，卡牌分为普通卡和隐藏卡，小明目前收集到的卡牌分布如下表所示：
（1）若小明从25张卡牌中随机选取一张，记事件为小明取到的卡牌人物属于天罡，事件为小明取到的卡牌为隐藏卡，求和，并判断事件和事件是否相互独立；
（2）小王和小明进行抽卡游戏，每人一次性从25张卡牌中抽取两张，给出以下规则：抽到的两张卡分别是天罡隐藏卡及地煞隐藏卡，得5分；抽到的两张卡有且仅有一张隐藏卡，得3分；抽到的两张卡分别是天罡普通卡及地煞普通卡，得1分；其余情况不得分.设为小王第一次抽取卡牌后获得的分数，写出的分布，并求出的数学期望和方差.
17. 记的内角的对边分别为，已知
（1）试判断的形状；
（2）若，求周长的最大值.
18. 为提升工作效率，某公司对员工进行了培训.公司规定：只有培训合格才能上岗，否则将补训.
（1）若员工甲、乙培训合格的概率分别为，求甲、乙两人中恰有一人不需要补训的概率；
（2）为了激发员工的培训积极性，某公司在培训过后举办了一次知识竞赛.已知参加这次知识竞赛员工的竞赛成绩近似服从正态分布，若该集团共有2000名员工，试估计这些员工中成绩超过93分的人数；（结果精确到个位）
（3）参加了知识竞赛的员工还可继续参与第二轮答题赢重奖活动，活动规则如下：共有3道题，每答对1道题奖励现金800元.已知参与知识竞赛的员工甲答对每道题的概率均为，且每题答对与否都相互独立，记甲获得总奖金为元，求的分布列与数学期望.
参考数据：若，则，.
19. 已知向量，，且函数．
（1）求图象的对称轴方程；
（2）若函数在区间上有两个零点和，求的值；
（3）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．
数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
解答过程：已知角终边过点,
根据,其中,
可得.
.
2. 已知随机变量X服从正态分布，若，则（ ）
A. 0.2B. 0.3C. 0.7D. 0.8
答案：B
解析：
思路：根据给定条件，利用正态分布的对称性列式求解.
解答过程：随机变量X服从正态分布，由，得，
所以.
故选：B
3. 甲、乙、丙三位同学从 7 处不同的景点中各自选 2 处旅游，则三人恰好选择一个相同的景点，且他们各自选择的另一个景点互不相同的选法共有（ ）
A. 840 种B. 420 种C. 210 种D. 140 种
答案：A
解析：
思路：根据分步乘法计数原理和排列组合公式列式计算即得.
解答过程：先从7处不同景点中选出1处作为三人共同选择的景点，再从剩下的6个景点中选出3个不同的景点，
并将其分配给甲、乙、丙三人作为各自的另一个景点，则满足题意的选法种数为 .
故选： A.
4. 已知的展开式中的系数为5，则（ ）
A. 4B. 3C. D.
答案：D
解析：
解答过程：的展开式的通项为，
则的系数为，
的系数为，
1+ax1+x5中的系数为，解得．
5. 某农科所在甲、乙、丙三个地块培育同一种苗，甲地块培育的一等种苗占比95%，乙地块培育的一等种苗占比80%，丙地块培育的一等种苗占比70%，甲、乙、丙培育的种苗数分别占总数的40%、30%、30%，将三个地块培育的种苗混放在一起. 从这批种苗中随机抽取一株，它是一等种苗的概率为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：分别计算从甲、乙、丙每块地中抽取到一等种苗的概率，再利用全概率公式计算最终结果.
解答过程：记事件表示“随机抽取一株是一等种苗”，
事件表示“抽取的种苗来自甲地块”，
事件表示“抽取的种苗来自乙地块”，
事件表示“抽取的种苗来自丙地块”，
则，，，
，，，
由全概率公式
，
因此从这批种苗中随机抽取一株，它是一等种苗的概率为.
故选：D
6. 在中，，，，则边上的高为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
解答过程：在中，，，，
由余弦定理得，
则．设边上的高为，由等面积法可得，
则．
7. 当前，AI已从一个研究领域变成一类赋能技术．在医药健康领域，AI已应用于靶点发现、药物设计及临床试验等方面，显著提升了科研效率．假设某实验用AI辅助新药分子筛选，事件A是“AI模型筛选出候选分子M”，事件B是“AI模型筛选出候选分子N”．已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
解答过程：因为，所以.
所以.
由，得.
所以.
8. 设函数，若恒成立，且在上最大值与最小值的和为0，则的最小值为（ ）
A. 8B. 6C. 5D. 4
答案：B
解析：
思路：利用正弦函数的性质结合已知条件求出的特征，再结合最大值与最小值的和为0的条件，求出的最小值．
解答过程：，周期为，
，则是周期，
，即是正偶数，
当时，，
已知最大值与最小值的和为0，
最大值与最小值互为相反数，
若，区间，最大值为，最小值为1，和不为0；
若，区间，最大值为，最小值为，和不为0；
若，区间，最大值为，最小值为，和为0；
的最小值为6．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 有甲、乙、丙、丁、戊五位同学，下列说法正确的是（ ）
A. 若五位同学排队，要求甲、乙必须相邻且丙、丁不能相邻，则不同的排法有12种
B. 若五位同学排队，最左端只能排甲或乙，最右端不排甲，则不同的排法共有42种
C. 若甲、乙、丙三位同学按从左到右的顺序排队，其他人可以任意排列，则不同的排法有20种
D. 若甲、乙、丙、丁四位同学被分配到三个社区参加志愿活动，每个社区至少一位同学，每位同学只能去一个社区，则不同的分配方案有72种
答案：BC
解析：
思路：根据排列组合的典型方法：捆绑法、插空法、优先法、定序法、分组分配法逐项判断即可.
解答过程：对于A，若五位同学排队甲、乙必须相邻的安排有种，然后与戊全排列的安排种，
丙、丁不能相邻的安排有种（插入甲乙捆绑体与戊形成的3个空位中），
共有种，故A不正确；
对于B，若五位同学排队最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，
则当甲在左端时，则有种安排方法；
当乙在左端时，甲有种安排方法，其他人有种安排方法，
故符合的总的安排方法种数为种，故B正确；
对于C，若甲乙丙三位同学按从左到右的顺序排队，
则不同的排法有种，故C正确；
对于D，若甲、乙、丙、丁四位同学被分配到三个社区参加志愿活动，每个社区至少一位同学，
先将4人分三组的分组方法数为，再把三个组分配到三个社区的种方法数为，
所以不同的分配方案有种，故D不正确.
10. 已知在的二项展开式中，第6项为常数项，则（ ）
A. B. 展开式中项数共有11项
C. 含的项的系数为D. 展开式中有理项的项数为3
答案：BD
解析：
思路：利用二项式定理及二项展开式的通项公式，结合展开式中的特定项的求法即可求解.
解答过程：依题意，展开式的通项公式为，
因为第6项为常数项，
所以时，有，解得，故A错误；
由，得展开式中项数共有项，故B正确；
令，得，
所求含项的系数为.故C错误；
由,令，,则，即，
因为，所以应为偶数，所以可取，即可以取，所以第项，第项，第项为有理项，即展开式中有理项的项数为3，故D正确.
11. 现有编号的个学生，入座编号的个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生数为，已知时共8种坐法，则（ ）
A. B.
C. D.
答案：BD
解析：
思路：根据的意义，结合组合数公式，求，再根据古典概型概率公式，求，再写出所有的取值和概率，代入期望公式和方差公式，即可判断选项.
解答过程：A.由条件可知，3人错位排列有2种方法，所以，解得，故A错误；
B.表示4人全部坐错，4人全部坐错有种方法，4人的全部坐法有种坐法，
所以，故B正确；
C.，，，,
所以，故C错误；
D.，故D正确.
故选：BD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 从装有5个红球和4个蓝球（球的大小和质地均相同）的盒子中随机取2个球，则在取到的2个球颜色相同的条件下，所取球都是红球的概率为__________．
答案：##
解析：
思路：记事件为“取到的2个球都是红球”，事件为“取到的2个球颜色相同”，由古典概型结合条件概率公式即可计算求解.
解答过程：记事件为“取到的2个球都是红球”，事件为“取到的2个球颜色相同”．
.
故答案为.
13. 已知，则___________．
答案：
解析：
解答过程：sin2π3−α=sinπ2+π6−α=csπ6−α=13．
14. 有一个摸球游戏，规则如下：在盒子里放入大小、质地完全相同的4个红球和3个白球，不放回地依次随机取出，每次取出1个球，直到剩下只有一种颜色的球时游戏结束，则游戏结束时取球次数恰好为5次的概率为_______________.
答案：
解析：
解答过程：从7个球中取5个球有种不同的取法，
游戏结束时取球次数恰好为5次有两种情况：
①最后盒子里剩余的全是白球，则第五次摸出的必是红球，且前四次有一次摸出的是白球，三次摸出的是红球有种不同的取法；
②最后盒子里剩余的全是红球，则第五次摸出的必是白球，且前四次中有两次摸出的是红球，两次摸出的是白球有种不同的取法；
所以游戏结束时取球次数恰好为5次的概率为.
四、解答题：本题共5小题；共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数.
（Ⅰ）若是第二象限角，且，求的值；
（Ⅱ）求函数的定义域和值域.
答案：（Ⅰ）（Ⅱ）函数的定义域为，值域为
解析：
思路：（1）由为第二象限角及的值，利用同角三角函数间的基本关系求出及的值，再代入中即可得到结果.
（2）函数解析式利用二倍角和辅助角公式将化为一个角的正弦函数，根据的范围，即可得到函数值域.
解答过程：解：（1）因为是第二象限角，且，
所以.
所以，
所以.
（2）函数的定义域为.
化简，得
，
因为，且，，
所以，
所以.
所以函数的值域为.
（注：或许有人会认为“因为，所以”，其实不然，因为.）
方法提示：本题考查同角三角函数的基本关系式，三角函数函数值求解以及定义域和值域的求解问题，涉及到利用二倍角公式和辅助角公式整理三角函数关系式的问题，意在考查学生的转化能力和计算求解能力，属于常考题型.
16. 《水浒传》是中国古典四大名著之一，是中国历史上最早用白话文写成的章回小说，由三十六天罡与七十二地煞共同构成一百零八将的主体框架，小明喜欢收集其中的人物卡牌，卡牌分为普通卡和隐藏卡，小明目前收集到的卡牌分布如下表所示：
（1）若小明从25张卡牌中随机选取一张，记事件为小明取到的卡牌人物属于天罡，事件为小明取到的卡牌为隐藏卡，求和，并判断事件和事件是否相互独立；
（2）小王和小明进行抽卡游戏，每人一次性从25张卡牌中抽取两张，给出以下规则：抽到的两张卡分别是天罡隐藏卡及地煞隐藏卡，得5分；抽到的两张卡有且仅有一张隐藏卡，得3分；抽到的两张卡分别是天罡普通卡及地煞普通卡，得1分；其余情况不得分.设为小王第一次抽取卡牌后获得的分数，写出的分布，并求出的数学期望和方差.
答案：（1）,，事件与事件不独立.
（2），
解析：
思路：（1）利用古典概型的概率公式可求得的值，利用条件概率公式可求得的值，利用独立事件的定义可判断出事件和事件的关系；
（2）分析可知，随机变量的可能取值有，求出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可得出和的值.
（1）由表格中的数据结合古典概型的概率公式可得，
由条件概率公式可得，
因为，所以，
故事件与事件不独立.
（2）由题意可知，随机变量的可能取值有：，
则，
，
，
所以随机变量的分布列如下表所示：
故.
方差
17. 记的内角的对边分别为，已知
（1）试判断的形状；
（2）若，求周长的最大值.
答案：（1）是直角三角形
（2）解析：
思路：（1）根据题意，求得，利用余弦定理列出方程，得到，即可求解；
（2）由（1）和，得到，则周长为，结合三角函数的性质，即可求解.
（1）解：由，可得，所以，
即，所以，
又由余弦定理得，可得，所以，
所以是直角三角形
（2）解：由（1）知，是直角三角形，且，可得，
所以周长为，
因为，可得，
所以，当时，即为等腰直角三角形，周长有最大值为.
18. 为提升工作效率，某公司对员工进行了培训.公司规定：只有培训合格才能上岗，否则将补训.
（1）若员工甲、乙培训合格的概率分别为，求甲、乙两人中恰有一人不需要补训的概率；
（2）为了激发员工的培训积极性，某公司在培训过后举办了一次知识竞赛.已知参加这次知识竞赛员工的竞赛成绩近似服从正态分布，若该集团共有2000名员工，试估计这些员工中成绩超过93分的人数；（结果精确到个位）
（3）参加了知识竞赛的员工还可继续参与第二轮答题赢重奖活动，活动规则如下：共有3道题，每答对1道题奖励现金800元.已知参与知识竞赛的员工甲答对每道题的概率均为，且每题答对与否都相互独立，记甲获得总奖金为元，求的分布列与数学期望.
参考数据：若，则，.
答案：（1）
（2） （3）分布列见解析，
解析：
思路：（1）根据题意明确“不需要补训”即为培训合格的事件，设甲、乙合格分别为独立事件；恰有一人不需要补训可分为“甲合格乙不合格”与“甲不合格乙合格”两种互斥情形，再根据独立事件的乘法公式及概率的加法公式求解；
（2）利用给定参数确定正态分布模型，将成绩超过分转化为求的概率；结合正态分布的对称性及提供的概率参考数据，计算出对应的概率值，最后用总人数乘以该概率并取整估算人数；
（3）先确定甲答对的题目数服从二项分布，由答对题数与奖金关系得到奖金的可能取值；再根据二项分布概率公式计算各取值对应的概率，列出分布列；最后利用期望公式计算数学期望.
（1）分别记甲、乙培训合格为事件，
则甲、乙两人中恰有一人不需要补训的概率.
（2）由已知得的近似值为的近似值为3，
所以，
而，
所以估计这些员工中成绩超过分的人数为.
（3）的所有可能取值为.
且，
所以的分布列为
19. 已知向量，，且函数．
（1）求图象的对称轴方程；
（2）若函数在区间上有两个零点和，求的值；
（3）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．
答案：（1）
（2） （3）
解析：
思路：（1）由和差角公式，二倍角公式，辅助角公式化简得函数解析式，由正弦函数的对称轴求得函数的对称轴；
（2）由取值范围，求得范围，由正弦函数图象作出函数在区间上的大致图象，由对称性求得，即可求得结果；
（3）通过取值范围，求得范围，设，即求得的取值范围，通过二次函数开口方向得到函数最大值点，根据题意建立不等式组，解得实数的取值范围即可．
（1），
令，解得，
即图象的对称轴为直线．
（2）由（1）知，，由，得，
作出函数在区间上的大致图象如下，

由函数在区间上有两个零点和，
得，则．
（3）设，因为，则，，
即，对任意，不等式恒成立，
等价于：对任意，不等式恒成立，
令，其图象为开口向上的抛物线，
故其在区间上的最大值在端点处取得，所以要使在区间上恒成立，
只需，即，解得，即实数的取值范围是．
天罡
地煞
普通卡
6
12
隐藏卡
2
5
天罡
地煞
普通卡
6
12
隐藏卡
2
5
0
1
3
5
0
1
3
5
0
800
1600
2400