2025--2026学年吉林长春外国语学校高二下册期中考试数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年吉林长春外国语学校高二下册期中考试数学试题 [含解析]，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 学校食堂的一个窗口共卖4种菜品，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，则选法的可能方式共有（ ）
A. 种B. 种C. 种D. 种
2. 下列求导运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
3. 设，，，则（ ）
A. B. C. D.
4. 若，则（ ）
A. 40B. 41C. D.
5. 已知奇函数，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A. 在区间上单调递减B. 在处取得极大值
C. 在区间上单调递减D. 在处取得极小值
7. 设事件A，B满足，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 若A，B独立，则
C. 若A，B互斥，则D. 若，则A，B独立
8. 已知函数，对，当时，恒有，则实数a的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分；有选错的得0分.若只有2个正确选顶，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分.）
9. 已知函数及其导数，若存在，使得，则称是的一个“巧值点”，下列函数中，有“巧值点”的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知随机变量的分布列如下：
其中PX=1=b,PX=2=a ，且随机变量满足，若，则（ ）
A. B. C. D.
11. 下列说法正确的是（ ）
A. 将5名志愿者分配到三个社区协助开展活动，每个志愿者去一个社区，每个社区至少1名志愿者，则不同的分配方法数有150种.
B. 把9个入团名额分给6个班级，每班至少一人，不同的分法有252种
C. 学校要从5名男生和3名女生中选择2人组成“研学团”，在男生甲被选中的条件下，研学团中男生人数多于女生的概率为.
D. 某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有64种.
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 的展开式中，项的系数为_____.
13. 用4种颜色为四个词组“爱国、敬业、诚信、友善”涂色，要求每个词组颜色相同，相邻词组不同色，共有______种涂色方法．
14. 已知关于的方程有三个不相同的实根，则实数的取值范围为______.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 已知函数在处取得极大值10．
（1）求的值；
（2）求在上的最值．
16. 某校举行“爱国，爱校，爱班级”的知识竞赛，该校某班经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在甲、乙两名学生中间产生．该班委设计了一个测试方案：甲、乙两名学生各自从个问题中随机抽取个问题作答，已知这个问题中，学生甲能正确回答其中的个问题，而学生乙能正确回答每个问题的概率均为，甲、乙两名学生对每个问题回答正确与否都是相互独立、互不影响的．
（1）求乙恰好答对两个问题的概率；
（2）请从期望和方差两个数字特征的角度考虑选择哪名同学去参赛更合理?
17. 已知的展开式的第2项与第3项的二项式系数之比是.
（1）求的值；
（2）求展开式的常数项；
（3）求展开式中系数绝对值最大的项.
18. 甲､乙两名同学进行传统文化知识比赛，规则如下：连续胜两局者获胜，比赛结束；比赛最多五局，若五局结束时两人均未能连续获胜两局，则五局中胜局数多者获胜．在一局比赛中，若甲胜，则甲下一局胜的概率为；若甲输，则甲下一局胜的概率为．已知第一局甲胜的概率为，假设每局比赛没有平局，记比赛结束时的局数为．
（1）求第2局比赛甲胜的概率；
（2）在的条件下，求甲胜的概率；
（3）求比赛结束时甲胜的概率．
19. 已知函数.
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）若在单调递增，求实数a的取值范围；
（3）当时，若对任意的，总存在，使得，求实数a的取值范围．
数学
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 学校食堂的一个窗口共卖4种菜品，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，则选法的可能方式共有（ ）
A. 种B. 种C. 种D. 种
答案：A
解析：
思路：应用乘法原理计算求解.
解答过程：学校食堂的一个窗口共卖4种菜品，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，则选法的可能方式共有种.
2. 下列求导运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
解答过程：选项A：2x+1'=2 ，A错误；
选项B：，B错误；
选项C：，C错误；
选项D：3x+13'=3×3x+12×3=93x+12，D正确；
3. 设，，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：根据条件概率公式进行求解即可.
解答过程：因为，，，
所以，所以．
故选：C.
4. 若，则（ ）
A. 40B. 41C. D.
答案：B
解析：
思路：利用赋值法可求的值.
解答过程：令，则，
令，则，
故，
故选：B.
5. 已知奇函数，则（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：借助奇函数性质计算可得，再利用导数运算可得，即可得解析式，即可得的值.
解答过程：由该函数为奇函数，则，
即，
即有，即，故，
则，则，
解得，故，则.
6. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A. 在区间上单调递减B. 在处取得极大值
C. 在区间上单调递减D. 在处取得极小值
答案：C
解析：
解答过程：选项A，当时，，则在上单调递增，
当时，，则在上单调递减，故选项A错误；
选项B，当时，，则在上单调递增，
则在处不能取得极大值，故选项B错误；
选项C，当时，，
则在上单调递减，故选项C正确；
选项D，时，，则在上单调递增，
当时，，则在上单调递增，
则在处不能取得极小值，故选项D错误.
7. 设事件A，B满足，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 若A，B独立，则
C. 若A，B互斥，则D. 若，则A，B独立
答案：B
解析：
解答过程：由题意得，，故，故A错误；
若A，B独立，则，故B正确；
若A，B互斥，则，故C错误；
若，所以，故D错误.
8. 已知函数，对，当时，恒有，则实数a的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
答案：A
解析：
思路：构造函数，根据已知可知，在上单调递增，求导根据恒成立，可推得恒成立.令，根据导函数求出在上的最小值，即可得出答案.
解答过程：由已知可将不等式化为，
构造函数，，则.
由题意可知，在上单调递增，
所以，在上恒成立，
即在上恒成立，只需满足即可.
令，则.
由可得，.
当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增.
所以，在处取得唯一极小值，也是最小值，
所以，.
故选：A.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分；有选错的得0分.若只有2个正确选顶，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分.）
9. 已知函数及其导数，若存在，使得，则称是的一个“巧值点”，下列函数中，有“巧值点”的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：ABD
解析：
思路：根据题意利用“巧值点”的定义及方程解的情况判断即可.
解答过程：对于A，，由，则，
所以有1个“巧值点”，故A正确；
对于B，，由，则，
所以有1个“巧值点”，故B正确；
对于C，，由得，而该方程无解，故C错误；
对于D，，由得，
即，显然方程有无数个解，
所以函数有无数个“巧值点”，故D正确.
故选：ABD
10. 已知随机变量的分布列如下：
其中PX=1=b,PX=2=a ，且随机变量满足，若，则（ ）
A. B. C. D.
答案：AB
解析：
思路：根据离散型随机变量的期望和方差的计算公式及性质依次判断即可.
解答过程：对于A，由题意得0.2+a+b=1EX=b+2a=1，解得a=0.2b=0.6，故A正确；
对于B，PX≤1=PX=0+PX=1=0.2+0.6=0.8 ，故B正确；
对于C，DX=0.2×0−12+0.6×1−12+0.2×2−12=0.4 ，故C错误；
对于D，因为，所以EY=EaX+b=aEX+b=0.2×1+0.6=0.8 ，故D错误.
11. 下列说法正确的是（ ）
A. 将5名志愿者分配到三个社区协助开展活动，每个志愿者去一个社区，每个社区至少1名志愿者，则不同的分配方法数有150种.
B. 把9个入团名额分给6个班级，每班至少一人，不同的分法有252种
C. 学校要从5名男生和3名女生中选择2人组成“研学团”，在男生甲被选中的条件下，研学团中男生人数多于女生的概率为.
D. 某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有64种.
答案：ACD
解析：
思路：对于A，先考虑将5人分成人员构成为1，1，3或人员构成为1，2，2的组数，再将这3组志愿者随机分配到三个社区，据此可判断选项正误；对于B，将问题转化为将9个入团名额排成一列，再分成6组，每组至少一个，求其方法数，据此可判断选项正误；对于C，由题设及条件概率计算方式可判断选项正误；对于D，分学生从这8门课中选修2门课，学生从这8门课中选修3门课两种情况可判断选项正误；
解答过程：对于A，先将5名志愿者分成3组，
若这三组的人员构成为1，1，3，则共有种分组方案，
若这三组的人员构成为1，2，2，则共有种分组方案，
再将这3组志愿者随机分配到三个社区，共有种分配方案，
故共有（种）分配方法，故A正确；
对于B，问题可转化为将9个入团名额排成一列，再分成6组，每组至少一个，求其方法数．
事实上，只需在上述9个入团名额所产生的8个“空档”中选出5个“空档”插入挡板，即产生符合要求的方法，有＝56（种）．
对于C，设事件为研学团中男生人数多于女生，事件为男生甲被选中，则事件为男生甲被选中且研学团中男生人数多于女生.所以，，所以在男生甲被选中的条件下，研学团中男生人数多于女生的概率为，故C正确；
对于D，若学生从这8门课中选修2门课，则有（种）选课方案；若学生从这8门课中选修3门课，则有（种）选课方案．综上，不同的选课方案共有16＋48＝64（种），故D正确.
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 的展开式中，项的系数为_____.
答案：
解析：
思路：根据二项式展开式的通项特征即可求解.
解答过程：由于的展开式通项为，
故的展开式中，含的项为
，
故的系数为，
故
13. 用4种颜色为四个词组“爱国、敬业、诚信、友善”涂色，要求每个词组颜色相同，相邻词组不同色，共有______种涂色方法．
答案：108
解析：
解答过程：分类讨论，根据题意，若用四种颜色时，则有种涂色方法；
若只用三种颜色时，则“爱国，诚信”或“爱国，友善”或“敬业，友善”中有一组是同色，先选三种颜色种选法，再从上述中选一个同色的有种选法，则共有种涂色方法；
若只用两种颜色时，则“爱国，诚信”同色，“敬业，友善”同色，先选两种颜色种选法，则共有种涂色方法，
因此，综上所述，共有种涂色方法.
14. 已知关于的方程有三个不相同的实根，则实数的取值范围为______.
答案：
解析：
思路：通过分离参数和分析函数的单调性、极值和最值即可得.
解答过程：由方程，得，且.令.
①当时，，所以，，
令，得，即.
当时，，；
当时，，；
所以在上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值也是最大值，
，当.
②当时，，，
所以在单调递增，且，.
因方程有三个不相同的实根，所以函数与有三个不同的交点，如图：
所以.
即实数的取值范围为.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 已知函数在处取得极大值10．
（1）求的值；
（2）求在上的最值．
答案：（1）
（2）最大值为10，最小值为2，
解析：
思路：（1）求导，即可根据函数值以及导数值列方程求解，
（2）根据函数的单调性，求解极值以及端点处函数值，即可作答.
（1），
故且，解得，
则，
令，则，
当时，，当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
故在处取到极大值，故满足题意，
（2）由（1）知：在和单调递增，在单调递减，
且
故最大值为10，最小值为2.
16. 某校举行“爱国，爱校，爱班级”的知识竞赛，该校某班经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在甲、乙两名学生中间产生．该班委设计了一个测试方案：甲、乙两名学生各自从个问题中随机抽取个问题作答，已知这个问题中，学生甲能正确回答其中的个问题，而学生乙能正确回答每个问题的概率均为，甲、乙两名学生对每个问题回答正确与否都是相互独立、互不影响的．
（1）求乙恰好答对两个问题的概率；
（2）请从期望和方差两个数字特征的角度考虑选择哪名同学去参赛更合理?
答案：（1）
（2）选择甲去参赛更合理
解析：
思路：（1）结合二项分布定义进行求解即可；
（2）根据超几何分布求出“甲回答问题的正确个数”的分布列、数学期望和方差，结合二项分布的定义求出“乙回答问题的正确个数”的数学期望和方差，最后利用数学期望和方差的性质进行判断即可
（1）由题知，令“乙回答问题的正确个数”为，则，
则乙恰好答对两个问题的概率为.
（2）令“甲回答问题的正确个数”为，“乙回答问题的正确个数”为，
则所有可能的取值为，
则，PX=2=C42C21C63=1220=35，，
所以，
由题意，随机变量，所以，
又DX=1−22×15+2−22×35+3−22×15=25，DY=3×23×13=23，
所以，
可见乙与甲的平均水平相当，但甲比乙的成绩更稳定，所以选择甲去参赛更合理．
17. 已知的展开式的第2项与第3项的二项式系数之比是.
（1）求的值；
（2）求展开式的常数项；
（3）求展开式中系数绝对值最大的项.
答案：（1）
（2） （3）
解析：
思路：（1）由第2项与第3项的二项式系数之比是，可列出关于的方程再求解；
（2）结合展开式的通项公式，得出指数的表达式，令其为零即可求解；
（3）由结合数列的最值列出的不等式组，解得的范围即可.
（1）依题意可得第2项的二项式系数为，第3项的二项式系数为，
所以，即，则，或（舍去）；
（2）展开式的通项为，
令，解得，所以，所以常数项为第5项60.
（3）系数的绝对值为
，则
所以，即，，所以，
因此，系数绝对值最大的项是.
18. 甲､乙两名同学进行传统文化知识比赛，规则如下：连续胜两局者获胜，比赛结束；比赛最多五局，若五局结束时两人均未能连续获胜两局，则五局中胜局数多者获胜．在一局比赛中，若甲胜，则甲下一局胜的概率为；若甲输，则甲下一局胜的概率为．已知第一局甲胜的概率为，假设每局比赛没有平局，记比赛结束时的局数为．
（1）求第2局比赛甲胜的概率；
（2）在的条件下，求甲胜的概率；
（3）求比赛结束时甲胜的概率．
答案：（1）
（2） （3）
解析：
思路：（1）先把第１局作为互斥事件，再利用全概率公式计算求解；
（2）先分别计算比赛进行3局时甲胜和乙胜的概率，求和得到，再利用条件概率公式计算求解；
（3）按结束的局数分类，可能是，分别计算每种局数下甲胜的概率，再求和．
（1）设表示第1局甲胜，表示第2局甲胜，
由全概率公式得．
（2）表示比赛在第3局结束，即前2局无连续两胜，第3局形成连续连胜：
乙胜：序列为“甲、乙、乙”，概率为，
甲胜：序列为“乙、甲、甲”，概率为，
，
甲胜的概率为．
（3）时，甲胜的概率为；
时，甲胜的概率为；
时，甲胜序列为“甲、乙、甲、甲”的概率为；
时，甲胜序列为“乙、甲、乙、甲、甲”或“甲、乙、甲、乙、甲”，
概率为，
甲胜的概率为．
19. 已知函数.
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）若在单调递增，求实数a的取值范围；
（3）当时，若对任意的，总存在，使得，求实数a的取值范围．
答案：（1）
（2） （3）
解析：
思路：（1）通过求导得出切线斜率并计算出切点坐标，最后代入点斜式得出切线方程；
（2）根据函数单调递增转化为其导数大于等于0恒成立，分离参数后转化为求新函数在指定区间上的最小值问题；
（3）由题意得将问题转化为两函数最大值的比较，分别利用导数判断单调性求出最值，最后解不等式求得的范围。
（1）由题意得，，
，故切点坐标为，
则切线方程为，整理得，
（2），，
由题意得在上恒成立，即，
则在上恒成立，即，
令，则，
因为，所以且，则，在上单调递增，
所以，因此.
（3）由题意得原不等式转化为在上，，
，因为，所以，
所以在单调递增，，
，因为，，所以，
在单调递减，，
则有，整理得.