2025--2026学年吉林省延边朝鲜族自治州延吉市延边第二中学高一下册期中考试数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年吉林省延边朝鲜族自治州延吉市延边第二中学高一下册期中考试数学试题 [含解析]，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知复数，则z在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
2. 已知，，若与共线，则（ ）
A. B. C. 1D. 5
3. 一个平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为（ ）
A. 4B. C. D.
4. 已知m，n是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，，则
D. 若m，n是异面直线，，，，，则
5. 已知，向量与向量的夹角为，与向量共线同向的单位向量为，则向量在向量方向上的投影向量等于（ ）
A. B. C. D.
6. 在中，已知，，则“”是“”成立的（ ）条件
A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充分必要D. 既不充分也不必要
7. 猫儿山位于广西桂林，是南岭山脉越城岭主峰、广西第一高峰，因峰顶巨石形似卧猫得名，它是漓江发源地，也是国家级自然保护区，生物多样性丰富，有“华南之巅”的美誉．如图，计划在猫儿山的两个山顶间架设一条索道．为测量间的距离，工作人员在同一水平面选取三个观测点，在处测得山顶的仰角分别为和，测得两个山顶的高分别为，且测得，则间的距离为（ ）
A. B. C. D.
8. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知，且的外接圆直径为4，则周长的最大值为（ ）
A. 4B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. ，
B.
C. 若，，则的最小值为1
D. 若是关于x的方程的根，则
10. 下列命题中，正确的是（ ）
A. 在中，若，则
B. 在锐角中，不等式恒成立
C. 在中，若，则必是等腰直角三角形
D. 在中，若，，则必是等边三角形
11. 如图所示，已知正方体的棱长为分别是，的中点，P是线段上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 平面截正方体所得的截面可能是五边形
B. 一定是锐角三角形
C. 当点P与A点重合时，平面截正方体所得的截面面积为
D. 的最小值是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 如图，在中，是的中点，若，则实数的值是__________.
13. 已知一个球与某圆台的上下底面和侧面均相切，若圆台的侧面积为，上下底面面积之比为，则该球的表面积为__________.
14. 如图所示，已知中，点P，Q，R依次是边BC上的三个四等分点，若，，则__________.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且.
（1）求；
（2）若，且的面积为，求的周长.
16. 已知，，与的夹角为.
（1）若与共线，求实数的值；
（2）求的值；
（3）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
17. 如图，长方体中，，点P为的中点.
（1）求三棱锥的体积.
（2）求证：直线平面；
（3）求异面直线与所成角的余弦值；
18. 已知圆锥的顶点为，母线所成角的余弦值为，轴截面等腰三角形的顶角为，若的面积为.
（1）求该圆锥的侧面积；
（2）求圆锥的内切球的表面积；
（3）求该圆锥的内接正四棱柱的侧面面积的最大值.
19. 如图，设、是平面内相交成的两条射线，、分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记.
（1）在仿射坐标系中，若，求；
（2）在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求；
（3）如图所示，在仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的最大值.
数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数，则z在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
答案：B
解析：
思路：计算出，则可选出答案.
解答过程：，
所以复数z在复平面内对应的点为，在第二象限.
故选：B
2. 已知，，若与共线，则（ ）
A. B. C. 1D. 5
答案：A
解析：
解答过程：由与共线，可得：，解得：,
所以，则.
3. 一个平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为（ ）
A. 4B. C. D.
答案：B
解析：
思路：根据斜二测画法得到原图，进而求出原图的面积.
解答过程：还原直观图为原图形，如图所示，
因为，所以，
还原回原图形后，，
所以原图形面积为.
故选：B
4. 已知m，n是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，，则
D. 若m，n是异面直线，，，，，则
答案：D
解析：
思路：利用线面平行、面面平行的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解．
解答过程：对于A，若，，则与平行或相交，故A错误；
对于B，若，，则或，故B错误；
对于C，若，，，则与平行或异面，故C错误；
对于D，因为，所以在内存在直线∥，又，所以∥；
又是两条异面直线，所以直线与是两条相交直线；又，所以；故D正确.
故选：D.
5. 已知，向量与向量的夹角为，与向量共线同向的单位向量为，则向量在向量方向上的投影向量等于（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：根据投影向量的公式计算即可.
解答过程：．
故选：C.
6. 在中，已知，，则“”是“”成立的（ ）条件
A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充分必要D. 既不充分也不必要
答案：B
解析：
思路：根据正弦定理以及“大边对大角”即可判断出结果.
解答过程：由正弦定理得，即，
，又因为，
或；
则“”是“”成立的必要不充分条件.
故选.
7. 猫儿山位于广西桂林，是南岭山脉越城岭主峰、广西第一高峰，因峰顶巨石形似卧猫得名，它是漓江发源地，也是国家级自然保护区，生物多样性丰富，有“华南之巅”的美誉．如图，计划在猫儿山的两个山顶间架设一条索道．为测量间的距离，工作人员在同一水平面选取三个观测点，在处测得山顶的仰角分别为和，测得两个山顶的高分别为，且测得，则间的距离为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：根据已知条件先求出中的两边，再利用余弦定理求即可.
解答过程：由题意，可得，
且，在中，可得，
在中，可得，
在中，由余弦定理得：
所以．
故选：D．
8. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知，且的外接圆直径为4，则周长的最大值为（ ）
A. 4B. C. D.
答案：B
解析：
思路：利用正弦定理将已知条件转化为角的关系，求出角，再结合正弦定理求出边，最后根据三角函数的性质求出周长的最大值．
解答过程：已知，由正弦定理可得，，．
将其代入已知条件可得:．
因为，那么．
则，移项可得．
因为，所以，两边同时除以可得．
又因为，所以．
已知的外接圆直径为，即，由正弦定理可得．
，．且．
则的周长．
根据两角差的正弦公式和辅助角公式，可得：
因为，所以．
当，即时，取得最大值．
此时周长的最大值为．
故选：Ｂ．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. ，
B.
C. 若，，则的最小值为1
D. 若是关于x的方程的根，则
答案：ACD
解析：
思路：根据复数的乘法运算结合复数的模的计算，可判断A；根据虚数单位的性质可判断B；设，根据复数的模的计算公式，可得，以及，结合x的范围可判断C；将代入方程，结合复数的相等，求出p，即可判断D.
解答过程：对于A，，设复数，则，，
故，A正确；
对于B，由于，故，B错误；
对于C，，设，由于，则，
故，
由，得，则，
故当时，的最小值为1，C正确；
对于D，是关于x的方程的根，
故，即，
故，D正确，
故选：ACD
10. 下列命题中，正确的是（ ）
A. 在中，若，则
B. 在锐角中，不等式恒成立
C. 在中，若，则必是等腰直角三角形
D. 在中，若，，则必是等边三角形
答案：ABD
解析：
思路：由正弦定理可判断A；由正弦函数的单调性可判断B；由正弦定理边化角判断C，利用余弦定理可判断D.
解答过程：对于A， 在中，若，则，由正弦定理可得，A正确；
对于B，锐角中，，则，
故，B正确；
对于C，在中，若，则，
即得，故或，
故或，即是等腰三角形或直角三角形，C错误；
对于D，，，则，
故，，结合，可知是等边三角形，D正确，
故选：ABD
11. 如图所示，已知正方体的棱长为分别是，的中点，P是线段上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 平面截正方体所得的截面可能是五边形
B. 一定是锐角三角形
C. 当点P与A点重合时，平面截正方体所得的截面面积为
D. 的最小值是
答案：AD
解析：
思路：对于A：截面形状，依据平面与正方体各面的相交情况判断；对于B：三角形是否为锐角三角形，选取特殊位置通过余弦定理判断角的余弦值正负；对于C：截面面积，需确定截面形状并计算；对于D：的最小值，可转化为共平面结合将军饮马计算两点间距离．
解答过程：对于A，如图，当点P与A，B两点不重合时，将线段向两端延长，
分别交的延长线于点，连接分别交，于R，S两点，
连接此时截面为五边形，所以A正确；
对于B，考虑，当点P与点A重合时，，，，
此时因为，故为钝角，所以B错误；
对于C，当点P与点A重合时，设的中点为，则，
所以当点与点重合时，平面截正方体所得的截面如图所示,其截面为矩形,
易知，所以其截面面积为，故C错误；
对于D，取的中点H，连接，在的延长线上取使得
，连接与于P点，
此时，
故D正确.
故选：AD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 如图，在中，是的中点，若，则实数的值是__________.
答案：##
解析：
思路：根据平面向量基本定理结合已知条件将用表示即可求出的值
解答过程：因为，所以为的中点，
因为是的中点，
所以，
所以,
因为，
所以，
故
13. 已知一个球与某圆台的上下底面和侧面均相切，若圆台的侧面积为，上下底面面积之比为，则该球的表面积为__________.
答案：
解析：
思路：首先利用圆台和球的关系求出圆台的上下底的半径，进一步求出圆台的母线长，最后求出内切球的半径和球的表面积.
解答过程：如图，设圆台的上、下底面半径分别为，母线长为，内切球的半径为，
因为圆台上下底面面积之比为，所以，得，
所以圆台的侧面积为，得，
因为球与圆台的上下底面和侧面均相切，所以，
，得，所以，，
，得，
所以该球的表面积为.
故答案为.
14. 如图所示，已知中，点P，Q，R依次是边BC上的三个四等分点，若，，则__________.

答案：8
解析：
思路：利用平面向量的四则运算，得到，可得，，再化简，即可求解.
解答过程：
，
，
故
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且.
（1）求；
（2）若，且的面积为，求的周长.
答案：（1）
（2）6
解析：
思路：（1）利用正弦定理将边化角，即可得解；
（2）利用余弦定理及面积公式求出、，进而求得，即可求得周长.
（1）因为，
由正弦定理得，，
因为，所以，则，
则，又，所以．
（2）由（1）知，又因为，
由余弦定理，得①，
由题意知，即②，
联立①②得，所以，故，
则的周长为.
16. 已知，，与的夹角为.
（1）若与共线，求实数的值；
（2）求的值；
（3）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
答案：（1）
（2） （3）
解析：
思路：（1）利用向量共线定理得到方程组，解出即可；
（2）根据向量数量积的运算律和定义计算即可；
（3）根据向量夹角为锐角，则向量数量积大于0，并去掉共线同方向的情况即可.
（1）因为与共线，
所以存在实数使得，
所以，解得，所以；
（2）因为，，与的夹角为，
所以，
所以，
则；
（3）向量与的夹角是锐角，
可得，且与不同向共线，
即为，
即有，解得，
由与共线，可得，
解得，当时，两者同向共线，
则实数的取值范围为.
17. 如图，长方体中，，点P为的中点.
（1）求三棱锥的体积.
（2）求证：直线平面；
（3）求异面直线与所成角的余弦值；
答案：（1）
（2）证明见解析 （3）
解析：
思路：（1）根据棱锥的体积公式即可求解；
（2）由中位线性质可证，然后再根据线面平行的判断定理即可证明；
（3）首先证明直线与所成角是或其补角，然后通过勾股定理计算， 最后根据余弦定理即可求解.
（1）.
（2）设，连接，
因，且为长方体，
则四边形为正方形，故为线段中点，
因点P为的中点，则为的中位线，则，
又平面，平面，则平面.
（3）连接，由（1）可知，则直线与所成角是或其补角，
因，点P为的中点，
则，，
在中，，
在中，，
在中，，
在中由余弦定理得，，
故直线与所成角的余弦值为.
18. 已知圆锥的顶点为，母线所成角的余弦值为，轴截面等腰三角形的顶角为，若的面积为.
（1）求该圆锥的侧面积；
（2）求圆锥的内切球的表面积；
（3）求该圆锥的内接正四棱柱的侧面面积的最大值.
答案：（1）
（2） （3）
解析：
思路：（1）设圆锥母线长、底面半径分别为、，依题意可得，再由的面积求出，即可得到，从而求出侧面积；
（2）作出轴截面，利用三角形相似求出内切球的半径，即可求出球的面积；
（3）令正四棱柱的底面边长为，高为，由三角形相似得到，再由侧面积公式及基本不等式计算可得.
（1）设圆锥母线长、底面半径分别为、，
由圆锥的轴截面为等腰三角形且顶角为，则，解得，
又，所以，
又因为的面积为，
，解得（负值舍去），
又，所以，
圆锥的侧面积.
（2）作出轴截面如图所示：
根据圆锥的性质可知内切球球心在上，设球心为，切于点，
设内切球半径为，即，则，
所以，
由（1）可知，圆锥的高，，
则有，解得，
所以圆锥的内切球的表面积；
（3）由（1）知圆锥的高，
令正四棱柱的底面边长为，高为，
则，
由得，
，
所以正四棱柱的侧面积
，当且仅当，即时等号成立，
所以该圆锥的内接正四棱柱的侧面面积的最大值为.
19. 如图，设、是平面内相交成的两条射线，、分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记.
（1）在仿射坐标系中，若，求；
（2）在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求；
（3）如图所示，在仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的最大值.
答案：（1）
（2） （3）
解析：
思路：（1）由题意可知，，利用平面向量数量积的运算性质可求得的值；
（2）计算出、、，利用平面向量的夹角公式可得出关于的方程，解之即可；
（3）设、，利用平面向量的线性运算得出、关于、的关系式，利用余弦定理可得出和平面向量数量积的运算性质化简得出，设，利用正弦定理可得出，，利用三角恒等变换以及正弦函数的有界性可求得的最大值.
（1）由题意可知，、的夹角为，
由平面向量数量积的定义可得，
因为，则，.
则，所以.
（2）由，，得，，
且，
所以，，
，则，
，
因为与的夹角为，则，解得.
（3）依题意设、，
且，，，
因为为的中点，则，
因为为中点，同理可得，
所以，，
由题意可知，，，
则，
在中依据余弦定理得，所以，
代入上式得，.
在中，由正弦定理，
设，则，且，
所以，，，
，
为锐角，且，
因为，则，
故当时，取最大值，
则
方法提示：方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：
（1）利用定义：
（2）利用向量的坐标运算；
（3）利用数量积的几何意义．
具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．