2025--2026学年吉林吉林市松花江中学高二下册期中考试数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年吉林吉林市松花江中学高二下册期中考试数学试题 [含解析]，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1. 设是可导函数，且，则（ ）
A. 2B. C. -1D. -2
2. 已知随机变量X的分布规律为（），则（ ）
A. B. C. D.
3. 某高校的教授为了完成一个课题，将4名研究生助理分配到3个实验室进行为期一周的实验来共同协助该教授完成该课题，要求每名研究生助理只去1个实验室进行实验，且每个实验室至少安排1名研究生助理，则不同的安排方法的种数为（ ）
A. 72B. 54C. 48D. 36
4. 若，则（ ）
A. B. 41C. D. 82
5. 已知甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有3个红球，7个白球．先从甲中随机取出一球放入乙罐，再从乙中随机取出一球，用表示事件“从甲罐出的球是红球”，表示事件“从甲罐中取出的球是白球”，B表示事件“从乙罐取出的球是红球”，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 若函数的导函数图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 的解集为
B. 函数有2个极值点
C. 函数的单调递增区间为
D. 是函数的极小值点
7. 已知函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数，，若，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题（本题包括3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9. 已知的展开式的各二项式系数之和为128，则（ ）
A.
B. 展开式中无常数项
C. 展开式中第4项和第5项的二项式系数最大
D. 展开式的各项系数之和是
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 设随机变量服从二项分布，则
B. 已知随机变量服从正态分布，且，则
C. 甲、乙、丙三人均准备在3个旅游景点中任选一处去游玩，则在至少有1个景点未被选择的条件下，恰有2个景点未被选择的概率是
D. ，
11. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知函数是的导函数，则__________.
13. 已知直线是曲线和的公切线，则的值为_____.
14. 甲、乙、丙、丁四位同学参加跳台滑雪、越野滑雪、单板滑雪三个项目的比赛，每人只能参加一个项目，每个项目至少一个人参加，且甲、乙两人不能参加同一项目的比赛，则四人参加比赛的不同方案一共有_____种；如果符合以上条件的各种方案出现的概率相等，定义事件A为丙和丁参加的项目不同，事件B为甲和乙恰好有一人参加跳台滑雪，则________．
四、解答题(本题共5小题，共77分．15题每题13分，16-17题15分18-19题17分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知函数在时取得极值13.
（1）求，的值；
（2）求在上的最大值和最小值.
16. 已知．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值．
17. 已知函数，曲线在点处的切线的斜率为4.
（1）求切线的方程；
（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
18. DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，其中文名“深度求索”反映了其探索深度学习的决心．DeepSeek主要功能为内容生成、数据分析与可视化、代码辅助、多模态融合、自主智能体等，在金融领域、医疗健康、智能制造、教育领域等多个领域都有广泛的应用场景．为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织A，B两部门的50名员工参加DeepSeek培训．
（1）此次DeepSeek培训的员工中共有6名部门领导参加，恰有3人来自部门．从这6名部门领导中随机选取2人，记表示选取的2人中来自部门的人数，求的分布列和数学期望；
（2）此次DeepSeek培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格．
（ⅰ）求每位员工经过培训合格的概率；
（ⅱ）经过预测，开展DeepSeek培训后，合格的员工每人每年平均为公司创造利润30万元，不合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，且公司需每年平均为每位参加培训的员工支付3万元的其他成本和费用．试估计该公司两部门培训后的年利润（公司年利润员工创造的利润-其他成本和费用）．
19. 泊松分布是一种统计与概率学里常见的离散型分布．若随机变量服从参数为的泊松分布（记作），则其概率分布为，其中为自然对数的底数．
（1）当时，泊松分布可以用正态分布来近似，当时，泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为．若，求的值；
（2）设，当且时，二项分布可近似看作泊松分布，即，其中.
某工厂生产件电子元器件，次品率为，各元件是否为次品相互独立，记为产品中的次品数，按泊松分布近似计算．
（i）若，求产品中恰有2件次品的概率；
（ii）求使得最大时的值．
（参考数据：；若，则有，，）
数学
一、选择题（本题包括8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 设是可导函数，且，则（ ）
A. 2B. C. -1D. -2
答案：B
解析：
解答过程：
，即 .
2. 已知随机变量X的分布规律为（），则（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：利用分布列的性质求出，进而可得出答案.
解答过程：因为随机变量X的分布规律为（），
所以，解得，
所以.
故选：A.
3. 某高校的教授为了完成一个课题，将4名研究生助理分配到3个实验室进行为期一周的实验来共同协助该教授完成该课题，要求每名研究生助理只去1个实验室进行实验，且每个实验室至少安排1名研究生助理，则不同的安排方法的种数为（ ）
A. 72B. 54C. 48D. 36
答案：D
解析：
思路：根据分组分配及分步计算原理，先将4人分成3组，再分配到3个实验室可解.
解答过程：将4名研究生助理分成3组，有种方法，再将3个组分配到3个实验室有种方法.
故选：D.
4. 若，则（ ）
A. B. 41C. D. 82
答案：B
解析：
思路：赋值法得到，，进而可得.
解答过程：设，
则，，
，
故选：B
5. 已知甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有3个红球，7个白球．先从甲中随机取出一球放入乙罐，再从乙中随机取出一球，用表示事件“从甲罐出的球是红球”，表示事件“从甲罐中取出的球是白球”，B表示事件“从乙罐取出的球是红球”，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：C
解析：
思路：利用条件概率和全概率的计算公式，求出各选项中的概率值，然后判断正误.
解答过程：由题意：，，.
所以.
.
又事件、为对立事件，所以.
故选：C
6. 若函数的导函数图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 的解集为
B. 函数有2个极值点
C. 函数的单调递增区间为
D. 是函数的极小值点
答案：D
解析：
思路：由图可得的单调性，即可得其导数正负，即可得A；由图可得的正负，即可得单调性，从而可得B、C、D.
解答过程：对A：由图可得，在、上单调递增，
在上单调递减，故的解集为，故A错误；
对B、C、D：由图可得，当时，，
当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
故函数有且仅有一个极小值点，故B、C错误，D正确.
7. 已知函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：先得到的定义域，由题意得到在上有解，参变分离后得到在上有解，利用配方求出，得到实数的取值范围.
解答过程：的定义域为，
由题意得在上有解，
即在上有解，
其中，
故，故实数的取值范围是.
故选：B
8. 已知函数，，若，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：问题转化为：在上的最大值不大于在上的最大值，然后根据导数及二次函数的性质求最值即得.
解答过程：由题意，在上的最大值不大于在上的最大值.
对：因为，所以，
由，
所以函数在上单调递增，
又，所以在上单调递增，所以在上的最大值为.
对：当时，，因为，故满足题意；
当时，因为的对称轴为，所以在上单调递增，所以在上的最大值为，
由.所以；
当时，在上单调递减，所以在上的最大值为，
由，结合得.
综上可知，实数的取值范围为.
二、选择题（本题包括3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9. 已知的展开式的各二项式系数之和为128，则（ ）
A.
B. 展开式中无常数项
C. 展开式中第4项和第5项的二项式系数最大
D. 展开式的各项系数之和是
答案：ABC
解析：
思路：利用二项式系数和公式可先得判定A，利用通项公式可判定B，利用二项式系数的性质可判定C，利用赋值法可判定D.
解答过程：由题意可知，则，故A正确；
设展开式的通项为，
显然无整数解，故B正确.
因为，所以由二项式系数的性质可知中间两项二项式系数最大，
即第4、5项二项式系数最大，分别为，故C正确；
令，则，故D错误；
故选：ABC.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 设随机变量服从二项分布，则
B. 已知随机变量服从正态分布，且，则
C. 甲、乙、丙三人均准备在3个旅游景点中任选一处去游玩，则在至少有1个景点未被选择的条件下，恰有2个景点未被选择的概率是
D. ，
答案：ABC
解析：
思路：对于选项A：直接利用二项分布的概率公式即可求解；
对于选项B：利用正态曲线的对称性直接求解；
对于选项C：设事件A为至少有1个景点未被选择，事件为恰有2个景点未被选择，分别求出，，利用条件概率即可求解；
对于选项D：利用期望和方差的性质直接求解.
解答过程：对于选项A：若随机变量服从二项分布，则，正确；
对于选项B：因为随机变量服从正态分布，所以正态曲线的对称轴是直线.
因为，所以，
∴，正确；
对于选项C：设事件A为至少有1个景点未被选择，事件为恰有2个景点未被选择，
则，，∴，正确；
对于选项D：，，不正确．
故选：ABC．
11. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
答案：BD
解析：
思路：移项可得，，根据函数的单调性可得，再根据指对幂函数的单调性即可判断各选项的真假．
解答过程：由题可得，，设，，所以，
即函数在上递增，所以由可得：．
对于A，由函数在上递减，所以当时，，A错误；
对于B，易知函数在上递增，所以当时，，即
，B正确；
对于C，当时，若，则，C错误；
对于D，因为函数在上递增，所以当时，，D正确．
故选：BD．
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知函数是的导函数，则__________.
答案：
解析：
思路：先求导，再把代入导函数中，可求得，得到的解析式，最后把代入中求得.
解答过程：由函数，可得，
令，可得，解得，
则，所以.
故答案为.
13. 已知直线是曲线和的公切线，则的值为_____.
答案：
解析：
思路：利用导数的几何意义求解即可.
解答过程：令，则，
因为直线是曲线的切线，
所以由解得，此时
所以在处的切线为，所以，
又是的切线，
联立得，
令解得，
所以，
故
14. 甲、乙、丙、丁四位同学参加跳台滑雪、越野滑雪、单板滑雪三个项目的比赛，每人只能参加一个项目，每个项目至少一个人参加，且甲、乙两人不能参加同一项目的比赛，则四人参加比赛的不同方案一共有_____种；如果符合以上条件的各种方案出现的概率相等，定义事件A为丙和丁参加的项目不同，事件B为甲和乙恰好有一人参加跳台滑雪，则________．
答案： ①. ②.
解析：
思路：第一空，利用部分平均分组分配问题，结合间接法即可得解；第二空，利用分类加法原理，结合排列组合的知识与条件概率的概率公式即可得解.
解答过程：依题意，甲、乙、丙、丁四位同学参加三个项目所有的方案共种，
其中甲、乙参加同一项目的方案种，
则所求的参赛方案一共有种；
因为甲、乙两人不能参加同一项目，所以丙、丁两人不能参加同一项目，
则甲、乙必有其中一人和丙、丁其中一人参加同一项目，这里有种方案，
若甲单独选择跳台滑雪，则丙、丁可分别选择越野滑雪或者单板滑雪，乙也可在其中二选一，
故总共有种不同的方案；
若甲和一人一起选择跳台滑雪，则甲只可能和丙或丁共同选择，剩下2个人分别选择2个项目，
故共有种不同的方案；
同理，乙单独选择跳台滑雪，有种不同的方案；
乙和一人共同选择跳台滑雪，有种不同的方案，总共有16种方案.
所以.
故；.
方法提示：关键点点睛：本题第二空解决的关键是，分类讨论事件对应的情况，做到不缺不漏，从而得解.
四、解答题(本题共5小题，共77分．15题每题13分，16-17题15分18-19题17分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知函数在时取得极值13.
（1）求，的值；
（2）求在上的最大值和最小值.
答案：（1），
（2）最大值为，最小值为
解析：
思路：（1）利用，可求解；
（2）求导，令，可得，，结合单调性，可求最值.
（1）由题可得，
，，
解得，.
（2）由（1）知，令，
解得，，
当时，，
所以的单调递增区间为，，
当时，，所以的单调递减区间为，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又因为，，
所以在上的最大值为，最小值为.
16. 已知．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值．
答案：（1）
（2） （3）
解析：
思路：（1）写出展开式通项，令的指数为，求出参数的值，即可得出的值；
（2）令，可得出的值；
（3）解法一；设，分析可知，当为偶数时，；当为奇数时，，再结合赋值法可求得所求代数式的值；
解法二：设，结合展开式通项可得，则，结合赋值法可得结果.
（1）展开式通项为，
令，可得.
（2）令，则.
（3）解法一：设，
展开式通项为，则，
当为偶数时，；当为奇数时，.
所以，
；
解法二：的展开式通项为，
则，
设，
的展开式通项为，
则，
所以，
.
17. 已知函数，曲线在点处的切线的斜率为4.
（1）求切线的方程；
（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）根据导数的几何意义先求解的值，然后得到切点坐标，即可得到切线的方程；
（2）化简不等式，分离常数，即，构造函数，利用导数求解函数的最大值即可.
（1）解：函数的定义域为，，
由题意知，，所以，
故，所以，切点坐标为
故切线的方程为．
（2）解：由（1）知，，
所以，可化为：，
即在上恒成立，
令，则，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
所以当时，函数取得最大值，
故当时，在上恒成立，
所以实数的取值范围是.
18. DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，其中文名“深度求索”反映了其探索深度学习的决心．DeepSeek主要功能为内容生成、数据分析与可视化、代码辅助、多模态融合、自主智能体等，在金融领域、医疗健康、智能制造、教育领域等多个领域都有广泛的应用场景．为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织A，B两部门的50名员工参加DeepSeek培训．
（1）此次DeepSeek培训的员工中共有6名部门领导参加，恰有3人来自部门．从这6名部门领导中随机选取2人，记表示选取的2人中来自部门的人数，求的分布列和数学期望；
（2）此次DeepSeek培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格．
（ⅰ）求每位员工经过培训合格的概率；
（ⅱ）经过预测，开展DeepSeek培训后，合格的员工每人每年平均为公司创造利润30万元，不合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，且公司需每年平均为每位参加培训的员工支付3万元的其他成本和费用．试估计该公司两部门培训后的年利润（公司年利润员工创造的利润-其他成本和费用）．
答案：（1）分布列见解析，1
（2）（ⅰ）；（ⅱ）1100
解析：
思路：（1）服从超几何分布，利用即可求解；
（2）（ⅰ）记“每位员工经过培训合格”，“每位员工第轮培训达到优秀”（），，即可求解；
（ⅱ）记两部门开展DeepSeek培训后合格的人数为，则，，求出合格人数的数学期望，即可求解
（1）的所有可能取值为0，1，2，且服从超几何分布．
的分布列为
的数学期望．
（2）（ⅰ）记“每位员工经过培训合格”，“每位员工第轮培训达到优秀”（），
，根据概率加法公式和事件相互独立定义得，
．
即每位员工经过培训合格的概率为．
（ⅱ）记两部门开展DeepSeek培训后合格的人数为，则，
，则（万元）
即估计两部门的员工参加DeepSeek培训后为公司创造的年利润为1100万元．
19. 泊松分布是一种统计与概率学里常见的离散型分布．若随机变量服从参数为的泊松分布（记作），则其概率分布为，其中为自然对数的底数．
（1）当时，泊松分布可以用正态分布来近似，当时，泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为．若，求的值；
（2）设，当且时，二项分布可近似看作泊松分布，即，其中.
某工厂生产件电子元器件，次品率为，各元件是否为次品相互独立，记为产品中的次品数，按泊松分布近似计算．
（i）若，求产品中恰有2件次品的概率；
（ii）求使得最大时的值．
（参考数据：；若，则有，，）
答案：（1）
（2）这1000件产品中恰有2件次品的概率为；当为整数时，最大时的值为或；当不为整数时，最大时的值为小于的最大整数.
解析：
思路：（1）根据正态分布求解相应区间的概率即可；（2）（i）根据题意将已知数据代入公式即可，（ii）根据最大时列不等式组求解即可.
（1）因为，
所以泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为，即．
所以，
由，得
，即.
（2）（i）由题意知，且，
又，所以二项分布可近似看作泊松分布，
所以，
所以，即这1000件产品中恰有2件次品的概率为.
（ii）因为最大，所以，
即，解得，
又，所以当为整数时，最大时的值为或；
当不为整数时，最大时的值为小于的最大整数.0
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