2025--2026学年吉林省延边朝鲜族自治州延吉市延边第二中学高二下册期中考试数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年吉林省延边朝鲜族自治州延吉市延边第二中学高二下册期中考试数学试题 [含解析]，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知为函数的导函数，若，则（ ）
A. B. C. D.
2. 设是可导函数，且，则（ ）
A. 2B. C. 6D.
3. 的正因数的个数为（ ）
A. 7B. 9C. 10D. 32
4. 的展开式中的系数为（ ）
A. 10B. 20C. 30D. 40
5. 如图，湖北省分别与湖南､安徽､陕西､江西四省交界，且湘､皖､陕互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有5种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案数为（ ）
A. 540B. 600C. 660D. 720
6. 盒中有个玩具，其中有个是坏的，现从盒中随机地抽取个，在至少一个玩具是坏的条件下，另一个是好的的概率是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知，则被10除的余数为（ ）
A. 1B. 3C. 7D. 9
8. 已知函数有两个极值点，且，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）

A. 函数在上单调递增
B. 函数在上单调递减
C. 函数在处取得极小值
D.
10. 现安排甲、乙、丙、丁4名同学参加三项工作，且每个同学只能参加一项工作，则下列说法正确的是（ ）
A. 不同的安排方法共有种
B. 若恰有一项工作无人参加，则不同的安排方法共有种
C. 若甲，乙两人都不能去参加项工作，且每项工作都有人去，则不同的安排方法共有14种
D. 若每个同学只能参加一项工作且每项工作都有人去，则不同的安排方法共有36种
11. 已知函数是定义域上的偶函数，当时，且，下列选项正确的是（ ）
A. 函数有两个零点
B. 函数的极值点
C. 函数的解集为
D. 函数的解集为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 离散型随机变量X的分布列为：则________.
13. 某市为迎接即将到来的省辩论大赛，准备在全市高中生范围内选择成员，经过第一轮比赛，9人脱颖而出，其中5名女生，4名男生，并且男生和女生中各有一名参加过去年的比赛.现从这9人中选2名男生与2名女生参赛，若至少有1名参加过去年比赛的被选中条件下，两名去年参赛的都被选中的概率是________.
14. 若函数有3个零点，则实数的取值范围为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知在展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列，且．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求该展开式中的所有的有理项．
16. 已知函数
（1）若在R上单调递增，求的取值范围；
（2）若在处取得极大值，
①求在区间上的最值；
②若方程有三个不同的实数根，求实数的取值范围.
17. 2025年高考数学全国2卷多选题（每道题有，，，四个选项，考查位置：第9～11题），得分规则如下：
为让学生适应高考试卷结构，某学校组织了一场考试．已知每道多选题随机地从四个选项中做选择，学生随机作答时，是否选择每个选项的事件相互独立（有选错误选项一律得分）．每道题正确选项为2个或3个的概率均为．
（1）已知第10题有三个选项符合题目要求，小张同学毫无头绪，于是他通过随机选择选项的方式来完成作答，且只选一个选项作答的概率为，选两个选项作答的概率为，选三个选项作答的概率为，试求小张该题得0分的概率；
（2）第11题小王同学没有思路，但他想到了两种策略，一是“随机选择一个选项作答”，二是“随机选择两个选项作答”，试写出小王用两种策略得分的分布列；
（3）若本次考试第9～11题正确选项都为2个，乙同学每道题都得满分，甲同学知道后说：“这3道题有些知识点你是会的．”若乙同学三道题都随机选择两个选项，求乙每道题都得分的概率p，并根据p值大小判定甲同学的话是否正确．（p值保留两位有效数字）．
18. 已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论的单调性；
（3）若有极小值，且，求a的取值范围.
19. 为庆祝祖国周年华诞，某商场决定在国庆期间举行抽奖活动．盒中装有个除颜色外均相同的小球，其中个是红球，个是黄球．每位顾客均有一次抽奖机会，抽奖时从盒中随机取出球，若取出的是红球，则可领取“特等奖”，该小球不再放回；若取出的是黄球，则可领取“参与奖”，并将该球放回盒中．
（1）在第2位顾客中“参与奖”的条件下，第1位顾客中“特等奖”的概率；
（2）记为第个顾客参与后后来参与的顾客不再有机会中“特等奖”的概率，求数列的通项公式；
（3）设事件为第个顾客参与时获得最后一个“特等奖”，要使发生概率最大，求的值．
数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知为函数的导函数，若，则（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：先对函数求导，再代入求值即可．
解答过程：由，得，
所以，解得.
2. 设是可导函数，且，则（ ）
A. 2B. C. 6D.
答案：B
解析：
解答过程：由导数的定义，，
已知，故.
3. 的正因数的个数为（ ）
A. 7B. 9C. 10D. 32
答案：D
解析：
解答过程：,故1080的正因数可以表示为
其中，
因此正因数的个数为
4. 的展开式中的系数为（ ）
A. 10B. 20C. 30D. 40
答案：B
解析：
解答过程：由的展开式通项为，，
所以时，，时，，
可得展开式中的系数为.
5. 如图，湖北省分别与湖南､安徽､陕西､江西四省交界，且湘､皖､陕互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有5种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案数为（ ）
A. 540B. 600C. 660D. 720
答案：D
解析：
思路：由分步乘法计数原理按步骤去涂色即可.
解答过程：第一步涂陕西有5种选择，第二步涂湖北有4种选择，第三步涂安徽有4种选择，第四步涂江西有3种选择，第五步涂湖南有3种选择,即共有种涂色方案.
故选：D
6. 盒中有个玩具，其中有个是坏的，现从盒中随机地抽取个，在至少一个玩具是坏的条件下，另一个是好的的概率是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：记事件从盒中随机地抽取个，至少有一个玩具是坏的，记事件从盒中随机地抽取个，恰好为一个是好的，一个是坏的，求出、的值，利用条件概率公式可求得的值.
解答过程：记事件从盒中随机地抽取个，至少有一个玩具是坏的，
记事件从盒中随机地抽取个，恰好为一个是好的，一个是坏的，
则，，
由条件概率公式可得.
7. 已知，则被10除的余数为（ ）
A. 1B. 3C. 7D. 9
答案：D
解析：
思路：利用二项式定理化简原式，将问题转化为求除以10所得的余数，即可得.
解答过程：，
由
，
由于最后一项为，所以被10除的余数为9.
8. 已知函数有两个极值点，且，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：C
解析：
解答过程：，定义域为.
因为函数有两个极值点，所以有两个不相等的正根，并且这两正根分别为，则有解得，所以选项A错误；
当或时，，单调递增；
当时，，单调递减.
所以函数的单调递增区间为：；单调递减区间为：．
因为，且，所以，所以，且，即，故BD错误.
又因为.
所以.
所以，所以选项C正确.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）

A. 函数在上单调递增
B. 函数在上单调递减
C. 函数在处取得极小值
D.
答案：AC
解析：
思路：根据导函数的正负性得出函数的单调性即可逐一判断.
解答过程：因为在上恒成立，所以在上单调递增，故A正确；
因为在上恒成立，所以在上单调递增，故B错误；
因为在上恒成立，在上恒成立，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则函数在处取得极小值，故C正确；
因为在上单调递减，所以，故D错误.
故选：AC
10. 现安排甲、乙、丙、丁4名同学参加三项工作，且每个同学只能参加一项工作，则下列说法正确的是（ ）
A. 不同的安排方法共有种
B. 若恰有一项工作无人参加，则不同的安排方法共有种
C. 若甲，乙两人都不能去参加项工作，且每项工作都有人去，则不同的安排方法共有14种
D. 若每个同学只能参加一项工作且每项工作都有人去，则不同的安排方法共有36种
答案：ACD
解析：
思路：对A，利用分步乘法原理判断；对B，首先从3项工作中选1项无人参加，再将4人安排到两项工作，计算可判断；对C，分组只有（1、1、2）这种情况，分甲乙同组与甲乙不同组两种情况，即可判断；对D，先分组只有（1、1、2）这种情况，再分配计算判断.
解答过程：对于A，安排4人参加3项工作，每人有3种安排方法，则有种安排方法，故A正确；
对于B，恰有一项工作无人去参加，则首先从3项工作中选1项无人参加有，
再将4人安排到两项工作有种，故一共有种安排方法，故B错误；
对于C，每项工作都有人去，则人员分组只有（1、1、2）这种情况，
若甲、乙同组，则有种，
若甲、乙不同组，则种分组方法，又甲乙不能去参加项工作，
则安排不含甲乙的一组参加工作，剩下的两组安排参加、两项工作，则种，
综上，一共有种安排方法，故C正确；
对于D，每项工作都有人去，则人员分组只有（1、1、2）这种情况，先分组，再分配，
则不同的安排方法有种，故D正确.
故选：ACD.
11. 已知函数是定义域上的偶函数，当时，且，下列选项正确的是（ ）
A. 函数有两个零点
B. 函数的极值点
C. 函数的解集为
D. 函数的解集为
答案：AC
解析：
思路：构造函数，利用导数法判断其单调性，然后结合单调性画出图象，结合图象根据零点的定义判断A；根据极值点的概念判断B，数形结合利用符号法解不等式判断CD.
解答过程：构造函数，则，
当时，，∴在单调递增.
因为函数是定义域上的偶函数，所以为奇函数，
又，则， 所以，
由奇函数性质可知在单调递增，如图所示，
，
所以，所以函数有两个零点， A正确，
当时，且，所以，
则不是函数的极值点，B错误；
等价于，结合图象可知解集为，C正确；
等价于或，
所以或，即解集为，D错误
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 离散型随机变量X的分布列为：则________.
答案：
解析：
解答过程：由分布列的性质可得，即解得
13. 某市为迎接即将到来的省辩论大赛，准备在全市高中生范围内选择成员，经过第一轮比赛，9人脱颖而出，其中5名女生，4名男生，并且男生和女生中各有一名参加过去年的比赛.现从这9人中选2名男生与2名女生参赛，若至少有1名参加过去年比赛的被选中条件下，两名去年参赛的都被选中的概率是________.
答案：
解析：
思路：利用组合的知识与古典概型分别求得事件的概率，再利用条件概率公式即可得解.
解答过程：设事件“至少有1名参加过去年比赛的被选中”，
事件“两名去年参赛的都被选中”，
则，
，
则，
即所求概率为．
14. 若函数有3个零点，则实数的取值范围为__________.
答案：
解析：
解答过程：有三个零点有三个解有三个解，
令，，
令，得或， 的单调递增区间有，，
令，得，在上单调递减，故的大致图象为
要想使得有三个解，必有，所以的取值范围是.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知在展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列，且．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求该展开式中的所有的有理项．
答案：（1）7 （2）254
（3）解析：
思路：（1）根据二项式展开式以及等差数列性质求解即可.
（2）令，再根据等比数列的前项和公式求解即可.
（3）根据二项式展开式，令，求出的取值，再求有理项即可.
（1）二项式展开式中第项的二项式系数为，由题意知，第二、三、四项的二项式系数成等差数列，
即，展开得，，整理得，
解得.
（2）由（1）知，故已知，
令，.
（3）二项展开式的通项为，
因为，所以的取值可能为.
当时，.当时，.
当时，.当时，.
因此所有有理项为.
16. 已知函数
（1）若在R上单调递增，求的取值范围；
（2）若在处取得极大值，
①求在区间上的最值；
②若方程有三个不同的实数根，求实数的取值范围.
答案：（1）
（2）①最大值为，最小值为；②
解析：
思路：（1）主要考查利用导数研究函数的单调性，则其导数在R上恒大于等于0，通过判别式求解的取值范围；
（2）①先根据函数在取得极大值求出的值，再通过求导分析函数单调性，进而求出函数在区间的最值；
②方程有三个不同的实数根，等价于直线与函数的图像有三个不同的交点，结合函数的单调性和极值确定的取值范围.
（1），
因为在R上单调递增，所以在R上恒成立，
则，
要使，则，即，解得：，
所以，的取值范围是.
（2）①若在处取得极大值，所以，
将代入，即，解得.
，因式分解得，
令，得或
在区间上的极值点为和，区间端点为和．
计算函数值：，，
，，
比较得：最大值为，最小值为；
②由前面分析可知，函数在处取得极大值，在处取得极小值1，
方程有三个不同的实数根直线与曲线有三个不同交点，
所以的取值范围为．
17. 2025年高考数学全国2卷多选题（每道题有，，，四个选项，考查位置：第9～11题），得分规则如下：
为让学生适应高考试卷结构，某学校组织了一场考试．已知每道多选题随机地从四个选项中做选择，学生随机作答时，是否选择每个选项的事件相互独立（有选错误选项一律得分）．每道题正确选项为2个或3个的概率均为．
（1）已知第10题有三个选项符合题目要求，小张同学毫无头绪，于是他通过随机选择选项的方式来完成作答，且只选一个选项作答的概率为，选两个选项作答的概率为，选三个选项作答的概率为，试求小张该题得0分的概率；
（2）第11题小王同学没有思路，但他想到了两种策略，一是“随机选择一个选项作答”，二是“随机选择两个选项作答”，试写出小王用两种策略得分的分布列；
（3）若本次考试第9～11题正确选项都为2个，乙同学每道题都得满分，甲同学知道后说：“这3道题有些知识点你是会的．”若乙同学三道题都随机选择两个选项，求乙每道题都得分的概率p，并根据p值大小判定甲同学的话是否正确．（p值保留两位有效数字）．
答案：（1）
（2）小王用策略一得分的分布列为
小王用策略二得分的分布列为
（3），甲同学的话是正确的解析：
思路：（1）定义随机选1、2、3个选项作答为完备事件，小张得0分为事件，已知各概率与对应条件概率，套用全概率公式求和计算出小张得0分的概率.
（2）分别设策略一、策略二得分随机变量并确定取值，借助组合计数算出、各自取不同分值的概率，依次列出两个随机变量的概率分布列.
（3）定义单题选两个选项得分事件和每题都得分事件，先用组合数求，再由各题答题相互独立，用独立事件概率乘法算出连题都得分的，依据该概率为小概率事件，判定乙同学基本无法乱答得满分，验证甲同学说法正确.
（1）记“随机选择个选项作答”，，“小张得0分”．
，，，
，，，
则
（2）记小王用策略一得分为随机变量，则的取值为0，2，3；
记小王用策略二得分为随机变量，的取值为0，4，6，
，
，．
小王用策略一得分的分布列为
，
．
小王用策略二得分的分布列为
（3）设事件：“乙同学在某道题上选两个选项且得分”,事件：“乙同学每道题都得分”.
则，
所以，
故事件为极小概率事件，所以乙同学基本不可能每道题都乱答且得满分，甲同学的话是正确的．
18. 已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论的单调性；
（3）若有极小值，且，求a的取值范围.
答案：（1）
（2）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增
（3）解析：
思路：（1）先对函数求导得到导函数表达式，代入已知条件确定参数后，算出处的导数值即切线斜率，再求出对应的函数值即切点坐标，最后用点斜式列出切线方程并整理成一般式即可.
（2）先把导函数通分并因式分解，结合定义域，按参数的正负分类讨论；时判断导函数在定义域内恒正，直接得出函数单调递增；时以为分界点，分别判断区间内导函数正负，进而得到函数的递减、递增区间，最后汇总两种情况的单调结论.
（3）先借助第二问单调性确定时函数在处取极小值也是最小值，代入求出最小值表达式；由恒成立转化为最小值大于等于0，化简不等式后构造新函数；通过求导判断新函数单调递减，结合特殊点，利用单调性分析出使不等式成立的的取值区间.
（1）当时，，所以
所以切线方程为即，
（2），
若，可得时，，所以在上单调递增；
若时，当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增；
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（3）由（2）可知当时，有极小值，极小值为，
此时极小值也是最小值，由，可得，，
又，所以
令，求导得，
所以在上单调递减，又，
当时，，当时，，
所以时，，此时满足，
所以a的取值范围
19. 为庆祝祖国周年华诞，某商场决定在国庆期间举行抽奖活动．盒中装有个除颜色外均相同的小球，其中个是红球，个是黄球．每位顾客均有一次抽奖机会，抽奖时从盒中随机取出球，若取出的是红球，则可领取“特等奖”，该小球不再放回；若取出的是黄球，则可领取“参与奖”，并将该球放回盒中．
（1）在第2位顾客中“参与奖”的条件下，第1位顾客中“特等奖”的概率；
（2）记为第个顾客参与后后来参与的顾客不再有机会中“特等奖”的概率，求数列的通项公式；
（3）设事件为第个顾客参与时获得最后一个“特等奖”，要使发生概率最大，求的值．
答案：（1）
（2） （3）4
解析：
思路：（1）利用条件概率公式计算；
（2）将个顾客参与后后来的顾客不再有机会中“特等奖”转化为最后一位顾客中“特等奖”，前位顾客中有一位中“特等奖”，然后结合等比数列求和公式计算概率；
（3）根据概率最大列不等式，然后解不等式即可.
（1）设第位顾客中“特等奖”为事件，第位顾客中“参与奖”为事件，
，，
故，
所以在第位顾客中“参与奖”的条件下，第位顾客中“特等奖”的概率为.
（2）由题意得，个顾客参与后后来的顾客不再有机会中“特等奖”表示最后一位顾客中“特等奖”，前位顾客中有一位中“特等奖”，
所以
，
故数列的通项公式为.
（3）设第个顾客参与时拿下最后一个“特等奖”的概率最大，
则概率，
要使最大，即使最大，
所以，
即，化简得，且，
又在上单调递减，
所以，综上所述，.
方法提示：关键点睛：（2）的解题关键在于将个顾客参与后后来的顾客不再有机会中“特等奖”转化为最后一位顾客中“特等奖”，前位顾客中有一位中“特等奖”，然后求概率.
0
1
多选题（每题6分）
得分情况
正确选项个数
2个（如）
选对1个（选或）
3分
选对2个（选）
6分
3个（如）
选对1个（选或或）
2分
选对2个（选或或）
4分
选对3个（选）
6分
0
1
1
3
+
0
-
0
+
单调递增
极大
单调递减
极小
单调递增
多选题（每题6分）
得分情况
正确选项个数
2个（如）
选对1个（选或）
3分
选对2个（选）
6分
3个（如）
选对1个（选或或）
2分
选对2个（选或或）
4分
选对3个（选）
6分
0
2
3
0
4
6
0
2
3
0
4
6