2025--2026学年吉林东北师范大学附属中学高二下册期中考试数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年吉林东北师范大学附属中学高二下册期中考试数学试题 [含解析]，共10页。试卷主要包含了单项选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设函数，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知数列的前4项为4，11，30，85，则的通项公式可以是（ ）
A. B.
C. D.
3. 若函数满足，则（ ）
A. －1B. C. 1D. 2
4. 设是等差数列的前项和，若，则（ ）
A. 65B. 85C. 105D. 125
5. 某社团现有成员5人，其中男生3人，女生2人，随机抽两人进行“纳新”推介，则抽取的两人都为女生的概率是（ ）
A. 0.6B. 0.3C. 0.1D. 0.05
6. 已知曲线的一条切线过点，且与直线平行，则（ ）
A. 6B. 23C. 6或38D. 23或38
7. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8. 定义在上的奇函数单调递减，数列满足，若，则（ ）
A. 0B. 39C. 3D. 12
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共计18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分．
9. 某人结合当前市场主线和政策产业催化，投资了“中际旭创”和“长江电力”两支股票，每股收益的分布列如下表，则下列说法正确的是（ ）
股票“中际旭创”收益分布列
股票“长江电力”收益分布列
A. 投资股票“中际旭创”的收益期望为
B. 投资股票“长江电力”的收益期望为
C. 投资股票“中际旭创”比投资股票“长江电力”的风险低（即方差小）
D. 投资股票“长江电力”比投资股票“中际旭创”的风险低（即方差小）
10. 已知正项等比数列的前项和为，且，下列结论正确的是（ ）
A. 数列的通项公式为
B. 数列的通项公式为．
C. 数列的前项和为，则数列为递增数列
D. 数列的前项积为，则数列为递减数列
11. 2026年3月“伊以冲突”到达“白热化巅峰期”，伊朗平均每天进行2－3波反击，单波发射数十架无人机做诱饵压制防空，再利用发射若干精确制导武器对目标进行摧毁，策略是打赢和打瘫．据统计，伊朗主要采用了两种精确制导武器作战：加德尔常规精确制导武器和海巴尔高精精确制导武器．不妨将两种精确制导武器分别记为，已知两种精确制导武器命中目标的概率分别为，假设在某波反击中两种精确制导武器各发射10枚，每次发射的结果相互独立，击中目标的个数分别为，，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 且且
C. 若，则
D. 若当且仅当时，取得最大值，则
三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分，其中14题双空，每空2分．
12. 某校高中男生身高（单位：cm）近似服从正态分布，现调查统计三个年级共1000名男生，按照该校学生处的统一规定：校国旗班男生身高不低于190cm．估计可以备选的男生人数约为_____人．（四舍五入取整数）
参考数据：若，则，
13. 设函数在点处的切线恰与曲线相切，则实数的值为_____．
14. 对于数列，记，对于，记，规定：，，称为数列的阶差数列．若的一阶差数列为等比数列，，，，的二阶差数列为常数列，常数为4，，，则数列的通项公式为_____，数列的前项和为_____．
四、解答题：本题共5小题，共58分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数．
（1）若，求的值；
（2）讨论的单调性．
16. 设数列的前项和为．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和．
17. 如图1，在菱形中，，点分别是边的中点，，沿直线将翻折到的位置，连接，得到如图2所示的五棱锥．
（1）证明：；
（2）若，求平面与平面夹角的余弦值．
18. 某校高中三个年级每个年级择优选拔了10名学生，参加全校的“五育数学知识”竞答比赛，比赛设置了多选题环节，每道题都有四个选项，其中正确选项有2个或3个，要求至少选择一个选项，得分规则如下：若正确选项有2个，只选一个且为正确选项得3分，选两个且为正确选项得6分，若选择的选项中有一个错误选项得－1分，选择的选项中有两个错误选项得－2分；若正确选项有3个，只选一个且为正确选项得2分，选两个且为正确选项得4分，选三个且为正确选项得6分，若选项中有一个错误选项得－1分．学生小明对其中的一道多选题完全不会，这道题恰有两个正确选项的概率为，记为小明随机选择1个选项的得分，为小明随机选择2个选项的得分．
（1）当时，求的概率；
（2）试探究是否存在概率，使得，若存在求出概率的取值范围；若不存在，说明理由.
19. 已知抛物线的焦点到准线的距离为2．
（1）求抛物线的方程；
（2）若过点的动直线与抛物线相交于两点，
（i）在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上；
（ii）是否存在与点不同的定点，使得恒成立?若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
数学
考试时长：120分钟 试卷总分：120分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设函数，则（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
解答过程：
2. 已知数列的前4项为4，11，30，85，则的通项公式可以是（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
解析：
思路：当时代入各选项检验即可.
解答过程：当时，
对于A，，故A错误；
对于B，，故B可以是；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D错误；
故ACD错误，B正确.
3. 若函数满足，则（ ）
A. －1B. C. 1D. 2
答案：B
解析：
解答过程：
4. 设是等差数列的前项和，若，则（ ）
A. 65B. 85C. 105D. 125
答案：C
解析：
解答过程：设首项为，公差为，因为，所以，
因为，所以，
联立方程组，解得，
则，故C正确.
5. 某社团现有成员5人，其中男生3人，女生2人，随机抽两人进行“纳新”推介，则抽取的两人都为女生的概率是（ ）
A. 0.6B. 0.3C. 0.1D. 0.05
答案：C
解析：
解答过程：男生编号，女生编号，
则随机抽两人有
，共种，
其中抽取的两人都为女生有，
则抽取的两人都为女生的概率是.
6. 已知曲线的一条切线过点，且与直线平行，则（ ）
A. 6B. 23C. 6或38D. 23或38
答案：C
解析：
思路：由切线斜率求出切点坐标，确定切线方程，即可求解.
解答过程：因为切线与直线平行，
所以切线斜率，
对求导得：，
设切点横坐标为，则切线斜率满足： ，
解得或，
切线方程为 ，
因为切线过点 ，将 代入得：
，
当时： ，
当时： ，
因此或.
7. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：问题等价转换成在上恒成立，通过分离参数，求最值即可求解.
解答过程：函数在上单调递增，
等价于在上恒成立，
即
因为指数 恒成立，
因此等价于：
因为： 时，，
整理不等式得： ，
令，因此须大于或等于在区间上的上确界，
由于在上单调递增，其上确界为，故，
的取值范围是.
8. 定义在上的奇函数单调递减，数列满足，若，则（ ）
A. 0B. 39C. 3D. 12
答案：D
解析：
思路：根据奇函数和单调性得到，进而求解.
解答过程：因为，
所以，
又是奇函数，所以，
又因为在上单调递减，所以，
即，又，
所以.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共计18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分．
9. 某人结合当前市场主线和政策产业催化，投资了“中际旭创”和“长江电力”两支股票，每股收益的分布列如下表，则下列说法正确的是（ ）
股票“中际旭创”收益分布列
股票“长江电力”收益分布列
A. 投资股票“中际旭创”的收益期望为
B. 投资股票“长江电力”的收益期望为
C. 投资股票“中际旭创”比投资股票“长江电力”的风险低（即方差小）
D. 投资股票“长江电力”比投资股票“中际旭创”的风险低（即方差小）
答案：BD
解析：
思路：直接由分布列求期望及方差并判断可得.
解答过程：因为中际旭创收益的期望： ，所以A错误；
长江电力收益的期望： ，所以B正确；
因为方差公式：，
所以，
，
所以，故C错误，D正确.
10. 已知正项等比数列的前项和为，且，下列结论正确的是（ ）
A. 数列的通项公式为
B. 数列的通项公式为．
C. 数列的前项和为，则数列为递增数列
D. 数列的前项积为，则数列为递减数列
答案：ACD
解析：
思路：通过等比数列求和公式，求得数列的首项和公比，可判断AB，再结合作差法和作商法可判断CD.
解答过程：设公比，首项，
由题意： ， ，
两式相除得，即，代入得，因此通项公式为，
选项A，由上述计算，，A正确，
选项B， ，B错误，
选项C，，是首项为1、公比为的等比数列，
前项和： ，
因为 ，
即​， 是递增数列，C正确，
选项D，数列的前项积：
​，
则 ，且，因此数列为递减数列，D正确，
11. 2026年3月“伊以冲突”到达“白热化巅峰期”，伊朗平均每天进行2－3波反击，单波发射数十架无人机做诱饵压制防空，再利用发射若干精确制导武器对目标进行摧毁，策略是打赢和打瘫．据统计，伊朗主要采用了两种精确制导武器作战：加德尔常规精确制导武器和海巴尔高精精确制导武器．不妨将两种精确制导武器分别记为，已知两种精确制导武器命中目标的概率分别为，假设在某波反击中两种精确制导武器各发射10枚，每次发射的结果相互独立，击中目标的个数分别为，，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 且且
C. 若，则
D. 若当且仅当时，取得最大值，则
答案：ACD
解析：
思路：由二项分布的期望公式和方差公式判断AC；利用二项分布的分布列判断BD.
解答过程：由题意可知，，，则，
因为，所以，故A正确；
且，
且，
则，
当时，，故B错误；
因为，
且函数在上单调递减，，
所以，故C正确；
，
则当时，
若，则；若，则，
因为当且仅当时，取得最大值，所以，
则，故D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分，其中14题双空，每空2分．
12. 某校高中男生身高（单位：cm）近似服从正态分布，现调查统计三个年级共1000名男生，按照该校学生处的统一规定：校国旗班男生身高不低于190cm．估计可以备选的男生人数约为_____人．（四舍五入取整数）
参考数据：若，则，
答案：23
解析：
思路：根据正态分布特殊区间的概率求解即可.
解答过程：因为高中男生身高（单位：cm）近似服从正态分布,
所以男生身高不低于190cm的概率为,
所以估计可以备选的男生人数约为人.
13. 设函数在点处的切线恰与曲线相切，则实数的值为_____．
答案：
解析：
思路：先求得曲线在处的切线，再与联立，结合判别式求解即可.
解答过程：对于曲线，，
所以，，
所以曲线在点处的切线为，即，
因为与曲线相切，
所以得，即，
所以，解得
所以实数的值为
14. 对于数列，记，对于，记，规定：，，称为数列的阶差数列．若的一阶差数列为等比数列，，，，的二阶差数列为常数列，常数为4，，，则数列的通项公式为_____，数列的前项和为_____．
答案： ①. ②.
解析：
思路：根据题意得到，，即，，累加法求和得到和的通项公式，进而得到的通项公式；得到的通项公式，使用两次错位相减求和即可.
解答过程：，，，，，
的一阶差数列为等比数列，故公比为，首项为，
故通项为，即，
所以
，
，，故，
的二阶差数列为常数列，常数为4，故，
故，
即，
所以
，
所以的通项公式为，
，
设的前项和为，
则①，
②，
式子①-②得，
所以③，
其中设④，
则⑤，
式子④-⑤得
，
故，
将其代入③得.
故，.
四、解答题：本题共5小题，共58分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数．
（1）若，求的值；
（2）讨论的单调性．
答案：（1）
（2）当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.
解析：
思路：（1）求导，根据求的值；
（2）求导，分类讨论，利用导数研究单调性.
（1），，所以
（2）当时，恒成立，所以在上单调递减；
当时，令，则，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
16. 设数列的前项和为．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）根据的关系求出数列的通项公式；
（2）利用裂项相消法求和.
（1）当时，，
当时，，
时，也适合，
所以
（2）由（1）知，，
所以，
所以
17. 如图1，在菱形中，，点分别是边的中点，，沿直线将翻折到的位置，连接，得到如图2所示的五棱锥．
（1）证明：；
（2）若，求平面与平面夹角的余弦值．
答案：（1）证明见解析
（2）解析：
思路：（1）建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标，再结合空间位置关系的向量证明即可.
（2）求出关键点的坐标和关键平面的法向量，利用平面夹角余弦值的向量求法求解即可.
（1）因为点分别是边的中点，
所以由中位线定理得，由菱形性质得，
则，即，作面，
如图，以为原点，建立空间直角坐标系，
因为，所以，由中位线性质得，
而，则，由余弦定理得，
得到，则，设，
由菱形的性质得，得到，，
可得，，设，
则，，由折叠性质得，
因为，所以，得到，解得，
此时，得到，
可得，故得证.
（2）由已知得，且，
由两点间距离公式得，
因为，所以，
联立两式子，解得，（另一情况等效），
得到，则，，
设面的法向量为，得到，
令，解得，，则，
设面的法向量为，而，
又，得到，
得到，令，解得，，
则，设平面与平面夹角为，
得到.
18. 某校高中三个年级每个年级择优选拔了10名学生，参加全校的“五育数学知识”竞答比赛，比赛设置了多选题环节，每道题都有四个选项，其中正确选项有2个或3个，要求至少选择一个选项，得分规则如下：若正确选项有2个，只选一个且为正确选项得3分，选两个且为正确选项得6分，若选择的选项中有一个错误选项得－1分，选择的选项中有两个错误选项得－2分；若正确选项有3个，只选一个且为正确选项得2分，选两个且为正确选项得4分，选三个且为正确选项得6分，若选项中有一个错误选项得－1分．学生小明对其中的一道多选题完全不会，这道题恰有两个正确选项的概率为，记为小明随机选择1个选项的得分，为小明随机选择2个选项的得分．
（1）当时，求的概率；
（2）试探究是否存在概率，使得，若存在求出概率的取值范围；若不存在，说明理由.
答案：（1）
（2）存在，
解析：
思路：（1）确定对应的事件，再由独立事件概率乘法公式即可求解；
（2）分别计算，再代入求解即可.
（1）的含义是：该题正确选项为3个，且小明选1个选项时选到正确选项，
已知该题恰有2个正确选项的概率，因此恰有3个正确选项的概率为​；
当正确选项为3个时，从4个选项中随机选1个，选到正确选项的概率为​，
因此：
（2）计算（随机选1个选项的期望得分）
若题目有2个正确选项（概率）：选对概率（得3分），选错概率（得分），
此时期望为：
若题目有3个正确选项（概率）：选对概率（得2分），选错概率（得分），
此时期望为： ，
因此总期望： ​
② 计算（随机选2个选项的期望得分）
从4个选项选2个共种选法：
若题目有2个正确选项（概率）：全对（1种，得6分）、一对一错（4种，得分）、全错（1种，得分），
期望为：
若题目有3个正确选项（概率）：全对（3种，得4分）、一对一错（3种，得分），
期望为：
因此总期望： ，
代入不等式
得：，解得：， 又，
故存在满足条件的，取值范围为.
19. 已知抛物线的焦点到准线的距离为2．
（1）求抛物线的方程；
（2）若过点的动直线与抛物线相交于两点，
（i）在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上；
（ii）是否存在与点不同的定点，使得恒成立?若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
答案：（1）
（2）（i）证明见解析；（ii）存在，且点坐标为，理由见解析
解析：
思路：（1）由抛物线定义即可得；
（2）（i）设出直线的方程与各点坐标，联立抛物线方程，可得与交点纵坐标有关韦达定理，由，可得，计算可用表示出、，即可得点轨迹，即可得证；（ii）设，则有，结合韦达定理计算可得存在定值、，使得该等式恒成立，即可得点坐标.
（1）由抛物线定义可得，则；
（2）（i）设，、、，
联立，消去可得，
，即，
，，
由，则，故，
由点在线段上，则与异号，
故，
即有，
整理得，
即有，解得，
则，
有，
故总在定直线上；
（ii）存在，且点坐标为，理由如下：
设，则，
由，则，即有，
即，
，
设，，，，
即有
，
，
则可化为，
整理得，
由，故，
又，
,
故，
即，
要使得恒成立，则，则有，即，
则，解得或（舍），则，
即，，即；
即存在，使得恒成立.
收益
概率
收益
概率
收益
概率
收益
概率