2025--2026学年广东省深圳市盐田高级中学高一下册5月期中考试数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年广东省深圳市盐田高级中学高一下册5月期中考试数学试题 [含解析]，共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则是异面直线
D. 若，则或是异面直线
3. 向量，，若与同向，则（ ）
A. B. C. 3D. ±3
4. 如图，的斜二测直观图是，其中，则的面积是（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 8
5. 已知非零向量，满足m→=m→+n→，则向量在方向上的投影向量为（ ）
A. −13n→B. 13n→C. −12n→D.
6. 已知圆锥的轴截面是等边三角形，若该圆锥的表面积与球O的表面积相等，则该圆锥的体积与球O的体积之比为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，已知正方体中，，P为线段上一点，Q为平面内一点，则的最小值是（ ）

A. B. C. D.
8. 已知非零向量与满足，且，，点是的边上的动点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的部分分，有选错的得0分）
9. 如图，在正方体中，分别是棱的中点，则（ ）

A. 平面B. 平面
C. 点在平面内D. 点在平面内
10. 点O为所在平面内一点，则（ ）
A. 若，则点O为的重心
B. 若，则点O为的内心
C. 若，则点O为的垂心
D. 在中，设，那么动点O的轨迹必通过的外心
11. 记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知则下列说法正确的是（ ）
A. a可能是最大边B. b可能是最大边
C. a可能是最小边D. c可能是最小边
三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）
12. 已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则_____；_____．
13. 如图，测量河对岸的塔高，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶A的仰角为，则塔的总高度为_____米．
14. 如图，棱长为2的正方体容器中，，分别是棱，的中点，在，，处各有1个小孔（孔的大小忽略不计），则该容器可装水的最大体积为______.

四、解答题（本大题共5个小题，共77分）
15. 在锐角中，角所对的边分别为，且.
（1）求；
（2）若，求边上的高的长.
16. 已知，，且.
（1）求向量与的夹角大小.
（2）求.
17. 如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，；点E在线段上，且．
（1）设平面平面，证明：；
（2）证明：；
（3）线段上是否存在点M，使得平面?若存在，请证明，并求出的长；若不存在，请说明理由．
18. 如图1所示，在中，点在线段上，满足，是线段上的点，线段与线段交于点.
（1）若，求实数的值；
（2）若，且满足，
①求实数的值；
②如图2，过点的直线与边分别交于点，设，，，求的最小值.
19. 在中，内角的对边分别为，且点是线段上的一点．已知．
（1）求角A的大小；
（2）若，求的值；
（3）若为的角平分线，且，求的最小值．
数学
一、单选题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确选项的序号填在括号内，每小题5分，共40分）
1. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
答案：A
解析：
思路：先化简可得，再利用复数除法运算法则求出，结合复数的几何意义即可判断．
解答过程：解：，
，
则在复平面内对应的点为，位于第一象限．
2. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则是异面直线
D. 若，则或是异面直线
答案：D
解析：
解答过程：对于A，若，则或相交或是异面直线，故A错误；
对于B，若，则或，故B错误；
对于C，若，当平面α与β相交时，m与n可能相交，故C错误；
对于D，若，则直线m, n无公共点，所以或是异面直线，故D正确。
3. 向量，，若与同向，则（ ）
A. B. C. 3D. ±3
答案：A
解析：
解答过程：由题设知，则，则，则，
因为与同向，所以，故.
4. 如图，的斜二测直观图是，其中，则的面积是（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 8
答案：D
解析：
解答过程：过作交轴于点，可得，
因为，所以为等腰直角三角形，所以，
根据斜二测画法，可得，如图所示，则，
所以的面积，故选项D正确.
5. 已知非零向量，满足m→=m→+n→，则向量在方向上的投影向量为（ ）
A. B. 13n→C. D.
答案：D
解析：
思路：根据向量投影的计算公式计算即可.
解答过程：由题意，已知m→=m→+n→，两边同时平方可得m→2=m→+n→2，
化简得m2=m2+n2+2m⋅n，即m⋅n=−n22，
根据向量投影的计算公式，可得在方向上的投影向量为(m→+n→)⋅n→n→2n→=m→⋅n→+n→2n→2n→=n→22n→2n→=12n→.
6. 已知圆锥的轴截面是等边三角形，若该圆锥的表面积与球O的表面积相等，则该圆锥的体积与球O的体积之比为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
解答过程：设圆锥的底面半径为r，则其母线长为2r，高为，
所以该圆锥的表面积为，
设球O的半径为R，则球O的表面积为，
由题意知，所以，
圆锥的体积，球O的体积，
所以.
7. 如图，已知正方体中，，P为线段上一点，Q为平面内一点，则的最小值是（ ）

A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：利用几何法，结合平面展开图，可找到最小距离，通过计算即可得到答案.
解答过程：
当，即可得平面，此时是最小距离，
然后把平面与平面展开成共面，
如第二个图：即可得过作的垂线，垂足为
此时，即此时取到最小值，
由正方体可知：，
所以.
故选：A
8. 已知非零向量与满足，且，，点是的边上的动点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：分析题目条件可得，取的中点，建立平面直角坐标系，利用坐标运算可得结果.
解答过程：和表示、方向的单位向量，则在的角平分线上，
又，所以的角平分线与边垂直，
所以是等腰三角形，且.
取的中点，连接，则.
由题意知，，，所以.
以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
则，，，故，
设（），则，即.
.
所以，
当时，取得最小值，为.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的部分分，有选错的得0分）
9. 如图，在正方体中，分别是棱的中点，则（ ）

A. 平面B. 平面
C. 点在平面内D. 点在平面内
答案：BD
解析：
思路：B选项，根据正方体和平行四边形的性质得到，然后利用线面平行的判定定理即可得到平面；D选项，利用中位线的性质得到，然后利用平行的传递性得到，即可证明点在平面内；A选项，根据图形即可判断；C选项，根据平面判断.
解答过程：
连接，
在正方体中，且，
所以四边形是平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以平面，故B正确.
因为分别为中点，所以，所以，所以四点共面，即点在平面内，故D正确；
再连接，显然不在平面内，所以与平面不平行，故A错误；
由平面，可知点不在平面内，故C错误.
故选：BD.
10. 点O为所在平面内一点，则（ ）
A. 若，则点O为的重心
B. 若，则点O为的内心
C. 若，则点O为的垂心
D. 在中，设，那么动点O的轨迹必通过的外心
答案：ABD
解析：
思路：根据题意，结合平面向量的线性运算法则，结合三角形的重心、内心、垂心和外心的性质，逐项判定，即可求解.
解答过程：对于A中，由点O为所在平面内一点，且，可得，
则以为邻边作平行四边形，可得，且，
设，根据平行四边形法则，可得为的中点，即为上的中线，
同理可证：延长也过的中点，所以为的重心，所以A正确；
对于B中，由向量表示方向的单位向量，表示方向的单位向量，
可得四边形是菱形，则，
因为，
所以，即，即和共线，即是的角平分线，
同理可得是的角平分线，即是的内心，所以B正确.
对于C中，如图所示，取分别为的中点，
根据向量的平行四边形法则，可得，
因为，可得，
所以，所以点在线段的垂直平分线上，
所以点为的外心，所以C不正确；
对于D中，由,
因为，可得，
即，
设为的中点，可得，
所以，即，且为的中点，
所以动点O的轨迹必通过的外心，所以D正确.
故选：ABD.
11. 记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知则下列说法正确的是（ ）
A. a可能是最大边B. b可能是最大边
C. a可能是最小边D. c可能是最小边
答案：BCD
解析：
思路：应用正弦定理及两角和差公式化简，再结合诱导公式得出或计算判断即可.
解答过程：由题意可得
所以
由正弦定理可得
所以
即
即
等价于
所以则或即
若则c是最大边，a，b可能是最小边；
若则b是最大边，a，c可能是最小边.
综上，选项B，C，D正确.
故选：
三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）
12. 已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则_____；_____．
答案： ①. 0 ②.
解析：
思路：根据题意建立直接坐标系，根据向量的坐标运算可解.
解答过程：
如图，建立平面直角坐标系，则，
所以，
，
故0，
13. 如图，测量河对岸的塔高，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶A的仰角为，则塔的总高度为_____米．
答案：
解析：
思路：在中，利用正弦定理求得长，在中利用三角函数的定义即可求得长.
解答过程：如图，在中，，
由正弦定理，，
则，
在中，.
故答案为.
14. 如图，棱长为2的正方体容器中，，分别是棱，的中点，在，，处各有1个小孔（孔的大小忽略不计），则该容器可装水的最大体积为______.

答案：6
解析：
思路：分类讨论水平面经过点，，的个数，结合体积公式以及基本不等式运算求解.
解答过程：1.当，，处的小孔都在水平面时，如图一，

三棱台的体积为，
所以容器所装水的多面体的体积；
2.当只有1个小孔在水平面上方时，
（1）当处的小孔在水平面上方时，如图二；
当处的小孔在水平面上方时，图三；
显然这两种情况，容器所装水的体积比多面体的体积小，不会最大；

（2）当处的小孔在水平面上方时，设水面所在平面为，
①当在线段上时，如图四，设，，则，
因为正方体的体积为，
棱台的体积为，，
可得，当且仅当，即时，等号成立，
所以棱台的体积无最小值，此时该容器可装水的体积小于6.

②当在线段上时，如图五，设，，的中点为，

可知：水平面为平行四边形，且四棱锥与四棱锥的体积相同，
可知：多面体的体积与三棱柱的体积相同，
所以三棱柱的体积为，此时该容器可装水的体积为.
综上所述：该容器可装水的最大体积为6.
故6.
方法提示：关键点睛：分类讨论水平面经过点，，的个数，结合图形分析求解.
四、解答题（本大题共5个小题，共77分）
15. 在锐角中，角所对的边分别为，且.
（1）求；
（2）若，求边上的高的长.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，进而求出角；
（2）先根据余弦定理求出边的值，再通过三角形面积公式求出边上的高.
（1）由正弦定理可得，
因为，所以，
又因为锐角三角形，，所以.
（2）由余弦定理
可知
又因即代入上式可得
则的面积为
则
解得.
16. 已知，，且.
（1）求向量与的夹角大小.
（2）求.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）利用向量数量积运算法则计算出，从而求出夹角大小；
（2）根据，结合向量数量积运算法则计算即可.
（1）由，得，
即，
，
解得.
又，.
（2）.
17. 如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，；点E在线段上，且．
（1）设平面平面，证明：；
（2）证明：；
（3）线段上是否存在点M，使得平面?若存在，请证明，并求出的长；若不存在，请说明理由．
答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）点M为线段上靠近C的四等分点，
解析：
思路：（1）根据线面平行的性质定理证明线线平行.
（2）通过证明线面垂直得平面，进而利用线面垂直的性质定理可证线线垂直.
（3）根据面面平行的判定定理作出平面平面.，再结合平行线分线段成比例定理求的长.
（1）因为四边形为矩形，所以，
因为平面，平面，所以平面.
又平面，平面平面，所以.
（2）因为平面，又平面，所以.
又底面为矩形，所以.
平面，，所以平面.
平面，所以.
在中，，，，
所以，所以.
平面，，所以平面.
又平面，所以.
（3）如图：
过作，交于点，过作交于点.
因为，平面，平面，所以平面.
同理平面.
又平面，，所以平面平面.
由（1）知，，又，则，
则，
因为，.
所以，
所以点M为线段上靠近C的四等分点，.
18. 如图1所示，在中，点在线段上，满足，是线段上的点，线段与线段交于点.
（1）若，求实数的值；
（2）若，且满足，
①求实数的值；
②如图2，过点的直线与边分别交于点，设，，，求的最小值.
答案：（1），；
（2）①；②.
解析：
思路：（1）由条件和平面向量基本定理可得；
（2）①根据三点共线及平面向量基本定理可得所求值；②由三点共线得，再用基本不等式可得最小值.
（1）因为，所以，
所以，
又，且与不共线，由平面向量基本定理得，；
（2）①因为三点共线，所以存在实数使得（），
所以，
因为，所以，所以，
又因为，所以，且与不共线，
所以，解得．
所以.
②由①可知，，且，，
所以，
因为三点共线，所以，且，，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为．
19. 在中，内角的对边分别为，且点是线段上的一点．已知．
（1）求角A的大小；
（2）若，求的值；
（3）若为的角平分线，且，求的最小值．
答案：（1）
（2） （3）．
解析：
思路：（1）利用正弦定理化简即可；
（2）解法一：根据正弦定理，计算即可；解法二：假设，利用余弦定理可知，，然后结合两式可知；
（3）根据可得，，结合正弦定理以及基本不等式计算.
（1），
由以及正弦定理边化角可得，
，
整理可得．
因为，所以，
所以，
因为，所以．
（2）解法一： 因为点是线段上的一点，且，
所以，所以，
因为，，所以，
因为，即，
所以，所以，
所以，所以．
解法二： 由已知可得，
所以为锐角，，，．
设，则，，
在中，由余弦定理可得
，
所以．
在中，由余弦定理可得
．
在中，由余弦定理可得
，
即，
整理可得，
平方可得，
整理可得．
所以有，解得，所以．
又为锐角，所以．
（3）因为是的一条角平分线，且，，，
所以，
所以，
所以，仅当时，“=”成立，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
又当，时，，，
，
故的最小值为．